高中數(shù)學必修四北師大版-角的概念的推廣課件

§2角的概念的推廣

§2問題引航

1.角的定義是什么？它有幾種分類方式？2.什么是象限角？終邊相同的角如何表示？問題1.角的定義是什么？它有幾種分類方式？1.角(1)定義：平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形.(2)圖示：終邊始邊頂點1.角終邊始邊頂點2.角的分類(1)按旋轉(zhuǎn)方向分:逆時針順時針不作任何2.角的分類逆時針順時針不作任何(2)按終邊的位置分:①前提條件：(ⅰ)角的頂點與_____重合.(ⅱ)角的始邊與____的非負半軸重合.②分類：(ⅰ)象限角：角的終邊(除端點外)在第幾象限，就是____________.(ⅱ)終邊落在坐標軸上的角.原點x軸第幾象限角(2)按終邊的位置分:原點x軸第幾象限角3.終邊相同的角的表示一般地,所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),可構(gòu)成一個集合S={β|β=_________________}，即任何一個與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與周角的_______的和.α+k×360°,k∈Z整數(shù)倍3.終邊相同的角的表示α+k×360°,k∈Z整數(shù)倍1.判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)研究終邊相同的角的前提條件是角的頂點在坐標原點.()(2)銳角是第一象限的角，但第一象限的角不一定是銳角.()(3)象限角與終邊落在坐標軸上的角表示形式是唯一的.()1.判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”)【解析】(1)錯誤.研究終邊相同的角的前提條件是角的頂點在坐標原點,且角的始邊與x軸的非負半軸重合.(2)正確.如390°的角是第一象限的角，但不是銳角.(3)錯誤.不唯一，如終邊落在y軸的非正半軸上的角的集合可以表示為{α|α=k×360°+270°,k∈Z}，也可以表示為{α|α=k×360°-90°,k∈Z}.答案：(1)×(2)√

(3)×【解析】(1)錯誤.研究終邊相同的角的前提條件是角的頂點在坐2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上)(1)已知α=30°，將其終邊按順時針方向旋轉(zhuǎn)三周后的角度數(shù)是________.(2)把-1485°轉(zhuǎn)化為α+k×360°(0°≤α＜360°,k∈Z)的形式是________.(3)若角α=45°+k×180°,k∈Z，則角α的終邊落在________象限.2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上)【解析】(1)3×(-360°)+30°=-1050°.答案：-1050°(2)因為0°≤α＜360°，所以-1485°=315°-5×360°.答案：315°-5×360°(3)當k=0時，α=45°，此時α為第一象限角；當k=1時，α=225°，此時α為第三象限角.答案：第一或第三

【解析】(1)3×(-360°)+30°=-1050°.【要點探究】知識點1角的概念對角的概念的四點說明(1)認識角的概念應注意三個要素：頂點、始邊、終邊.(2)這里定義的角是從運動的觀點下定義的，應抓住“旋轉(zhuǎn)”兩個字，它有正負之分，與初中學習的靜止觀點下的角是有區(qū)別的.【要點探究】(3)角的大小不僅與旋轉(zhuǎn)的大小有關(guān)，還與旋轉(zhuǎn)的方向有關(guān)，正角大于負角.(4)角的范圍推廣到任意角后，角的加減法運算類似于實數(shù)的加減法運算.(3)角的大小不僅與旋轉(zhuǎn)的大小有關(guān)，還與旋轉(zhuǎn)的方向有關(guān)，正角【微思考】(1)角的概念推廣后，角的范圍是什么？提示：根據(jù)角的定義可知，角的范圍推廣到了任意角，即(-∞,+∞).(2)角的概念推廣后，銳角、直角、鈍角的概念發(fā)生變化了嗎？提示：鈍角、直角、銳角是三角形中的特定角，它們不隨角的概念的推廣發(fā)生變化.【微思考】【即時練】下列說法正確的是()A.一條射線繞頂點旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)越多，則這個角越大B.在坐標系中，將y軸的非負方向繞坐標原點順時針旋轉(zhuǎn)到x軸的非負方向形成的角為90°C.將鐘表調(diào)快一個小時，則分針轉(zhuǎn)了360°D.順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角一定小于逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角【即時練】【解析】選D.如果一條射線繞頂點順時針方向旋轉(zhuǎn)，則它形成負角，旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)越多，則這個角越小，故A不正確.在坐標系中，將y軸的非負方向繞坐標原點旋轉(zhuǎn)到x軸的非負方向時，是按順時針方向旋轉(zhuǎn)，故它形成的角為-90°，故B不正確.將鐘表調(diào)快一個小時，也是按順時針轉(zhuǎn)動，故分針轉(zhuǎn)了-360°，C不正確.順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角為負角，它一定小于逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的正角，故D正確.【解析】選D.如果一條射線繞頂點順時針方向旋轉(zhuǎn)，則它形成負角知識點2終邊相同的角與象限角1.對終邊相同的角的三點說明所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)可以用式子k×360°+α,k∈Z表示，在運用時需注意以下三點：(1)k是整數(shù)，這個條件不能漏掉.(2)α是任意角.(3)k×360°與α之間用“+”連接，如k×360°-30°應看成k×360°+(-30°),k∈Z.知識點2終邊相同的角與象限角2.象限角的表示(1)終邊在第一象限內(nèi)的角為{α|α=k×360°+β,0°＜β＜90°,k∈Z}，即將不等式0°＜β＜90°的兩邊同時加上k×360°，可得終邊在第一象限的角的表示為{α|k×360°＜α＜k×360°+90°,k∈Z}.(2)終邊在第二象限的角的表示為{α|k×360°+90°＜α＜k×360°+180°,k∈Z}.2.象限角的表示(3)終邊在第三象限的角的表示為{α|k×360°+180°＜α＜k×360°+270°,k∈Z}.(4)終邊在第四象限的角的表示為{α|k×360°-90°＜α＜k×360°,k∈Z}.(3)終邊在第三象限的角的表示為3.終邊在坐標軸上的角的表示(1)終邊落在x軸非負半軸上的角的集合為{x|x=k×360°,k∈Z}.(2)終邊落在x軸非正半軸上的角的集合為{x|x=k×360°+180°,k∈Z}.(3)終邊落在x軸上的角的集合為{x|x=k×180°,k∈Z}.3.終邊在坐標軸上的角的表示(4)終邊落在y軸非負半軸上的角的集合為{x|x=k×360°+90°,k∈Z}.(5)終邊落在y軸非正半軸上的角的集合為{x|x=k×360°+270°,k∈Z}.(6)終邊落在y軸上的角的集合為{x|x=k×180°+90°,k∈Z}.(4)終邊落在y軸非負半軸上的角的集合為【微思考】(1)在坐標系中終邊相同的角不一定相等，相等的角終邊一定相同嗎？提示：一定.在平面直角坐標系中來討論角時必須滿足以下條件：角的頂點為坐標原點，角的始邊為x軸的非負半軸，因此，相等的角終邊一定相同.(2)0°角的終邊與始邊重合，終邊與始邊重合的角都是0°嗎？提示：不是，如±360°，±720°等.【微思考】【即時練】有下列說法:①第一象限角都為銳角；②第一象限角一定不是負角；③第四象限角大于第一象限角；④小于180°的角是鈍角、直角或銳角.其中錯誤說法的序號為_________.【即時練】【解析】對于①,390°角是第一象限角，但它不是銳角，故①錯誤.對于②,-330°角是第一象限角，但它是負角，故②錯誤.對于③,300°角是第四象限角，390°角是第一象限角，顯然390°＞300°，故③錯誤.對于④,0°小于180°，但它既不是鈍角，也不是直角或銳角，故④錯誤.答案：①②③④【解析】對于①,390°角是第一象限角，但它不是銳角，故①錯【題型示范】類型一角的概念及簡單應用【典例1】(1)鐘表的時針從8點轉(zhuǎn)到10點，所形成的角是()A.30°B.-30°

C.60°

D.-60°(2)射線OA繞端點O順時針旋轉(zhuǎn)80°到OB位置，接著逆時針旋轉(zhuǎn)250°到OC位置，然后再順時針旋轉(zhuǎn)270°到OD位置，則∠AOD=__________.【題型示范】【解題探究】1.題(1)中鐘表的表盤中共12個大格，每一格的角度是多少？2.題(2)中逆時針旋轉(zhuǎn)250°是+250°,還是-250°？順時針旋轉(zhuǎn)270°是+270°,還是-270°？【探究提示】1.鐘表的表盤中每一格的角度是30°.2.逆時針旋轉(zhuǎn)250°是+250°，順時針旋轉(zhuǎn)270°是-270°.【解題探究】1.題(1)中鐘表的表盤中共12個大格，每一格的【自主解答】(1)選D.因為鐘表的表盤中每一格的角度是30°，從8點轉(zhuǎn)到10點，共轉(zhuǎn)過2個格，故大小為60°，又時針為順時針方向旋轉(zhuǎn)，故形成的角為-60°.【自主解答】(1)選D.因為鐘表的表盤中每一格的角度是30°(2)如圖∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD=(-80°)+250°+(-270°)=-100°.答案：-100°(2)如圖【方法技巧】1.角的表示(1)通常用希臘字母α，β等表示，如“角α”或“∠α”，也可以簡化為“α”.(2)也可以用三個大寫字母表示(前面要加“∠”)，如“∠AOB”.【方法技巧】(3)用圖示表示角時，箭頭不可以丟掉，因為箭頭代表了旋轉(zhuǎn)的方向，也即箭頭代表著角的正負.(3)用圖示表示角時，箭頭不可以丟掉，因為箭頭代表了旋轉(zhuǎn)的方2.理解角的概念的三個“明確”2.理解角的概念的三個“明確”【變式訓練】寫出圖(1)(2)中的角α，β，γ的度數(shù).【變式訓練】寫出圖(1)(2)中的角α，β，γ的度數(shù).【解析】圖(1)中，α=360°-30°=330°.圖(2)中，β=-360°+60°+150°=-150°;γ=360°+60°+(-β)=360°+60°+150°=570°.【解析】圖(1)中，α=360°-30°=330°.【誤區(qū)警示】解答此題時，一定要注意角的旋轉(zhuǎn)方向是逆時針還是順時針，以免出現(xiàn)錯誤.【誤區(qū)警示】解答此題時，一定要注意角的旋轉(zhuǎn)方向是逆時針還是順【補償訓練】25°角的始邊是x軸的非負半軸，把終邊按順時針方向旋轉(zhuǎn)4.5周，所得的角是________.【解析】所求角為25°+(-360°×4.5)=-1595°.答案：-1595°【補償訓練】25°角的始邊是x軸的非負半軸，把終邊按順時針方類型二象限角【典例2】(1)已知角α是銳角，則2α是()A.第一象限角B.第二象限角C.小于180°的正角D.第一或第二象限角(2)(2014·宿遷高一檢測)-1250°是第______象限角.類型二象限角(3)已知角的頂點在原點，始邊在x軸的非負半軸上，作出下列各角，并指出它們是第幾象限角.①-50°；②780°；③-680°.(3)已知角的頂點在原點，始邊在x軸的非負半軸上，作出下列各【解題探究】1.題(1)中角α是銳角，則α的范圍是什么？2.題(2)中-1250°與360°有何關(guān)系？3.題(3)中如何作負角？【探究提示】1.0°＜α＜90°.2.-1250°=190°-4×360°.3.順時針旋轉(zhuǎn)即可得到負角.【解題探究】1.題(1)中角α是銳角，則α的范圍是什么？【自主解答】(1)選C.因為α是銳角，所以0°＜α＜90°，所以0°＜2α＜180°，故選C.(2)因為-1250°=190°-4×360°，其終邊在第三象限，所以它是第三象限角.答案：三【自主解答】(1)選C.因為α是銳角，所以0°＜α＜90°，(3)作出各角，其對應的終邊如圖所示.①-50°是第四象限角；②780°是第一象限角;③-680°是第一象限角.(3)作出各角，其對應的終邊如圖所示.【延伸探究】若把題(2)中的角改為1250°，試判斷它是第幾象限角？【解析】因為1250°=170°+3×360°，其終邊在第二象限，所以它是第二象限角.【延伸探究】若把題(2)中的角改為1250°，試判斷它是第【方法技巧】1.象限角的判定方法(1)根據(jù)圖像判定.利用圖像實際操作時，依據(jù)是終邊相同的角的概念，因為0°～360°之間的角與坐標系中的射線可建立一一對應的關(guān)系.(2)將角轉(zhuǎn)化到0°～360°范圍內(nèi).在直角坐標平面內(nèi)，0°～360°范圍內(nèi)沒有兩個角終邊是相同的.【方法技巧】2.α,2α,等角的終邊位置的確定方法(1)不等式法①利用象限角的概念或已知條件，寫出角α的范圍.②利用不等式的性質(zhì)，求出2α，等角的范圍.2.α,2α,等角的終邊位置的確定方法③利用“旋轉(zhuǎn)”的觀點，確定角終邊的位置.例如，如果得到k×120°＜＜k×120°+30°，k∈Z，可畫出0°＜＜30°所表示的區(qū)域，再將此區(qū)域依次逆時針或順時針轉(zhuǎn)動120°(如圖所示).③利用“旋轉(zhuǎn)”的觀點，確定角終邊的位置.(2)幾何法(或等分象限法)若已知α所在的象限，確定所在的象限，可先將各個象限n等分，從第一象限離x軸最近的區(qū)域開始逆時針方向依次循環(huán)標注號1,2,3,4,直到將所有區(qū)域標完為止.如果α在第幾象限，則在圖中標號為幾的區(qū)域內(nèi).(2)幾何法(或等分象限法)例如,已知α為第四象限角，則終邊所在的位置為如圖標4的區(qū)域內(nèi).例如,已知α為第四象限角，則終邊所在的位置為如圖標4【變式訓練】已知角的頂點與坐標原點重合，始邊落在x軸的非負半軸上，作出下列各角，并指出它們是第幾象限的角.(1)-75°.(2)855°.(3)-510°.【變式訓練】已知角的頂點與坐標原點重合，始邊落在x軸的非負半【解析】作出各角，其對應的終邊如圖所示：(1)由圖可知：-75°是第四象限的角.(2)由圖可知：855°是第二象限的角.(3)由圖可知：-510°是第三象限的角.【解析】作出各角，其對應的終邊如圖所示：【補償訓練】1.若角α的終邊經(jīng)過點(-1,-3)，則角α是第________象限角.【解析】因為點(-1,-3)在第三象限，所以角α的終邊落在第三象限，即它是第三象限角.【補償訓練】1.若角α的終邊經(jīng)過點(-1,-3)，則角α是第2.已知角α是第一象限角，則是第幾象限角？【解析】因為角α是第一象限角，所以角α的集合是{α|k×360°＜α＜90°+k×360°,k∈Z}，所以×360°＜＜45°+×360°,k∈Z，當k是偶數(shù)時，設(shè)k=2n(n∈Z)，則n×360°＜＜45°+n×360°,n∈Z，所以是第一象限角.當k是奇數(shù)時，設(shè)k=2n+1(n∈Z)，則180°+n×360°＜＜225°+n×360°,n∈Z，所以是第三象限角.綜上可知，是第一或第三象限角.2.已知角α是第一象限角，則是第幾象限角？類型三終邊相同角的表示【典例3】(1)(2014·石家莊高一檢測)下列角中終邊與-240°相同的角是()A.240°B.120°

C.-120°

D.-60°(2)寫出終邊在直線上的角的集合.類型三終邊相同角的表示【解題探究】1.題(1)中-240°的終邊在第幾象限？2.題(2)中直線的傾斜角是多少？【探究提示】1.-240°的終邊在第二象限.2.直線的斜率k==tan60°，所以直線的傾斜角為60°.【解題探究】1.題(1)中-240°的終邊在第幾象限？【自主解答】(1)選B.因為-240°=120°-360°，所以-240°與120°的終邊相同.(2)在0°～360°范圍內(nèi)，終邊在直線上的角有兩個：60°和240°.因此終邊在上的角的集合為S={β|β=60°+k×360°,k∈Z}∪{β|β=240°+k×360°,k∈Z}={β|β=60°+2k×180°,k∈Z}∪{β|β=60°+(2k+1)×180°,k∈Z}={β|β=60°+n×180°,n∈Z}.【自主解答】(1)選B.因為-240°=120°-360°，【方法技巧】1.終邊相同角常用的兩個結(jié)論(1)終邊在同一直線上的角之間相差180°的整數(shù)倍.(2)終邊在相互垂直的兩直線上的角之間相差90°的整數(shù)倍.【方法技巧】2.表示區(qū)間角的三個步驟第一步：先按逆時針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界；第二步：按由小到大分別標出起始和終止邊界對應的-180°～180°范圍內(nèi)的角α和β，寫出最簡區(qū)間{x|α≤x≤β}；第三步：起始、終止邊界對應角α，β再加上360°的整數(shù)倍，即得區(qū)間角集合.2.表示區(qū)間角的三個步驟【變式訓練】如圖所示：則終邊在圖中所示直線上的角的集合為________.【變式訓練】如圖所示：【解題指南】在0°～360°范圍內(nèi)找出終邊落在圖中直線上的角，利用終邊相同的角表示出集合即可.【解析】由題干圖易知，在0°～360°范圍內(nèi)，終邊在直線y=-x上的角有兩個，即135°和315°，因此，終邊在直線y=-x上的角的集合為S={β|β=135°+k×360°,k∈Z}∪{β|β=315°+k×360°,k∈Z}={β|β=135°+k×180°,k∈Z}.答案:{β|β=135°+k×180°,k∈Z}【解題指南】在0°～360°范圍內(nèi)找出終邊落在圖中直線上的角【補償訓練】如圖所示，如按逆時針旋轉(zhuǎn)，終邊落在OA位置時的角的集合是______________；終邊落在OB位置時角的集合是_________________．【補償訓練】如圖所示，如按逆時針旋轉(zhuǎn)，終邊落在OA位置時的角【解析】根據(jù)終邊相同的角的表示，故終邊落在OA位置時的角的集合是{α|α=60°+k×360°,k∈Z};終邊落在OB位置時的角的集合是{β|β=225°+k×360°,k∈Z}.答案:{α|α=60°+k×360°,k∈Z}{β|β=225°+k×360°,k∈Z}

【解析】根據(jù)終邊相同的角的表示，故終邊落在OA位置時的角的集【易錯誤區(qū)】角的相關(guān)概念理解不正確致誤

【典例】下列說法正確的是()A.第一象限角小于第二象限角B.若90°≤α≤180°，則α是第二象限角C.小于90°的角都是銳角D.有些角不是任何象限角【易錯誤區(qū)】角的相關(guān)概念理解不正確致誤【解析】選D.30°角是第一象限角，-240°①角是第二象限角，顯然30°不小于-240°，故A不正確；當α=90°或180°②時，其終邊落在坐標軸上，不是任何象限的角，可知B不正確，D正確；小于90°的角也可能是零角或負角①，它不一定是銳角，故C不正確.【解析】選D.30°角是第一象限角，-240°①角是第二象限【常見誤區(qū)】錯解

錯因剖析

選A或選C

對角的概念的推廣理解不透徹，如①處忽略負角，導致誤判

選B

忽略②處終邊落在坐標軸的角的情況，導致錯誤【常見誤區(qū)】錯解錯因剖析選A或選C對角的概念的推【防范措施】1.對角的概念的推廣的認識對角的認識不能僅僅局限于正角的范圍，還有負角和零角，如本例中①處的理解.2.明確角的分類按照角的旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負角和零角；按照角的終邊位置分為象限角和終邊在坐標軸上的角，如在本例②處易忽略終邊落在坐標軸上的角的情況.

【防范措施】【類題試解】下列說法中，正確的是()A.三角形的內(nèi)角必是第一、二象限角B.0°～90°的角都是銳角C.不相等的角終邊一定不同D.若β=α+k×360°(k∈Z),則α和β終邊相同【類題試解】下列說法中，正確的是()§2角的概念的推廣

§2問題引航

1.角的定義是什么？它有幾種分類方式？2.什么是象限角？終邊相同的角如何表示？問題1.角的定義是什么？它有幾種分類方式？1.角(1)定義：平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形.(2)圖示：終邊始邊頂點1.角終邊始邊頂點2.角的分類(1)按旋轉(zhuǎn)方向分:逆時針順時針不作任何2.角的分類逆時針順時針不作任何(2)按終邊的位置分:①前提條件：(ⅰ)角的頂點與_____重合.(ⅱ)角的始邊與____的非負半軸重合.②分類：(ⅰ)象限角：角的終邊(除端點外)在第幾象限，就是____________.(ⅱ)終邊落在坐標軸上的角.原點x軸第幾象限角(2)按終邊的位置分:原點x軸第幾象限角3.終邊相同的角的表示一般地,所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),可構(gòu)成一個集合S={β|β=_________________}，即任何一個與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與周角的_______的和.α+k×360°,k∈Z整數(shù)倍3.終邊相同的角的表示α+k×360°,k∈Z整數(shù)倍1.判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)研究終邊相同的角的前提條件是角的頂點在坐標原點.()(2)銳角是第一象限的角，但第一象限的角不一定是銳角.()(3)象限角與終邊落在坐標軸上的角表示形式是唯一的.()1.判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”)【解析】(1)錯誤.研究終邊相同的角的前提條件是角的頂點在坐標原點,且角的始邊與x軸的非負半軸重合.(2)正確.如390°的角是第一象限的角，但不是銳角.(3)錯誤.不唯一，如終邊落在y軸的非正半軸上的角的集合可以表示為{α|α=k×360°+270°,k∈Z}，也可以表示為{α|α=k×360°-90°,k∈Z}.答案：(1)×(2)√

(3)×【解析】(1)錯誤.研究終邊相同的角的前提條件是角的頂點在坐2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上)(1)已知α=30°，將其終邊按順時針方向旋轉(zhuǎn)三周后的角度數(shù)是________.(2)把-1485°轉(zhuǎn)化為α+k×360°(0°≤α＜360°,k∈Z)的形式是________.(3)若角α=45°+k×180°,k∈Z，則角α的終邊落在________象限.2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上)【解析】(1)3×(-360°)+30°=-1050°.答案：-1050°(2)因為0°≤α＜360°，所以-1485°=315°-5×360°.答案：315°-5×360°(3)當k=0時，α=45°，此時α為第一象限角；當k=1時，α=225°，此時α為第三象限角.答案：第一或第三

【解析】(1)3×(-360°)+30°=-1050°.【要點探究】知識點1角的概念對角的概念的四點說明(1)認識角的概念應注意三個要素：頂點、始邊、終邊.(2)這里定義的角是從運動的觀點下定義的，應抓住“旋轉(zhuǎn)”兩個字，它有正負之分，與初中學習的靜止觀點下的角是有區(qū)別的.【要點探究】(3)角的大小不僅與旋轉(zhuǎn)的大小有關(guān)，還與旋轉(zhuǎn)的方向有關(guān)，正角大于負角.(4)角的范圍推廣到任意角后，角的加減法運算類似于實數(shù)的加減法運算.(3)角的大小不僅與旋轉(zhuǎn)的大小有關(guān)，還與旋轉(zhuǎn)的方向有關(guān)，正角【微思考】(1)角的概念推廣后，角的范圍是什么？提示：根據(jù)角的定義可知，角的范圍推廣到了任意角，即(-∞,+∞).(2)角的概念推廣后，銳角、直角、鈍角的概念發(fā)生變化了嗎？提示：鈍角、直角、銳角是三角形中的特定角，它們不隨角的概念的推廣發(fā)生變化.【微思考】【即時練】下列說法正確的是()A.一條射線繞頂點旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)越多，則這個角越大B.在坐標系中，將y軸的非負方向繞坐標原點順時針旋轉(zhuǎn)到x軸的非負方向形成的角為90°C.將鐘表調(diào)快一個小時，則分針轉(zhuǎn)了360°D.順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角一定小于逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角【即時練】【解析】選D.如果一條射線繞頂點順時針方向旋轉(zhuǎn)，則它形成負角，旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)越多，則這個角越小，故A不正確.在坐標系中，將y軸的非負方向繞坐標原點旋轉(zhuǎn)到x軸的非負方向時，是按順時針方向旋轉(zhuǎn)，故它形成的角為-90°，故B不正確.將鐘表調(diào)快一個小時，也是按順時針轉(zhuǎn)動，故分針轉(zhuǎn)了-360°，C不正確.順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角為負角，它一定小于逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的正角，故D正確.【解析】選D.如果一條射線繞頂點順時針方向旋轉(zhuǎn)，則它形成負角知識點2終邊相同的角與象限角1.對終邊相同的角的三點說明所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)可以用式子k×360°+α,k∈Z表示，在運用時需注意以下三點：(1)k是整數(shù)，這個條件不能漏掉.(2)α是任意角.(3)k×360°與α之間用“+”連接，如k×360°-30°應看成k×360°+(-30°),k∈Z.知識點2終邊相同的角與象限角2.象限角的表示(1)終邊在第一象限內(nèi)的角為{α|α=k×360°+β,0°＜β＜90°,k∈Z}，即將不等式0°＜β＜90°的兩邊同時加上k×360°，可得終邊在第一象限的角的表示為{α|k×360°＜α＜k×360°+90°,k∈Z}.(2)終邊在第二象限的角的表示為{α|k×360°+90°＜α＜k×360°+180°,k∈Z}.2.象限角的表示(3)終邊在第三象限的角的表示為{α|k×360°+180°＜α＜k×360°+270°,k∈Z}.(4)終邊在第四象限的角的表示為{α|k×360°-90°＜α＜k×360°,k∈Z}.(3)終邊在第三象限的角的表示為3.終邊在坐標軸上的角的表示(1)終邊落在x軸非負半軸上的角的集合為{x|x=k×360°,k∈Z}.(2)終邊落在x軸非正半軸上的角的集合為{x|x=k×360°+180°,k∈Z}.(3)終邊落在x軸上的角的集合為{x|x=k×180°,k∈Z}.3.終邊在坐標軸上的角的表示(4)終邊落在y軸非負半軸上的角的集合為{x|x=k×360°+90°,k∈Z}.(5)終邊落在y軸非正半軸上的角的集合為{x|x=k×360°+270°,k∈Z}.(6)終邊落在y軸上的角的集合為{x|x=k×180°+90°,k∈Z}.(4)終邊落在y軸非負半軸上的角的集合為【微思考】(1)在坐標系中終邊相同的角不一定相等，相等的角終邊一定相同嗎？提示：一定.在平面直角坐標系中來討論角時必須滿足以下條件：角的頂點為坐標原點，角的始邊為x軸的非負半軸，因此，相等的角終邊一定相同.(2)0°角的終邊與始邊重合，終邊與始邊重合的角都是0°嗎？提示：不是，如±360°，±720°等.【微思考】【即時練】有下列說法:①第一象限角都為銳角；②第一象限角一定不是負角；③第四象限角大于第一象限角；④小于180°的角是鈍角、直角或銳角.其中錯誤說法的序號為_________.【即時練】【解析】對于①,390°角是第一象限角，但它不是銳角，故①錯誤.對于②,-330°角是第一象限角，但它是負角，故②錯誤.對于③,300°角是第四象限角，390°角是第一象限角，顯然390°＞300°，故③錯誤.對于④,0°小于180°，但它既不是鈍角，也不是直角或銳角，故④錯誤.答案：①②③④【解析】對于①,390°角是第一象限角，但它不是銳角，故①錯【題型示范】類型一角的概念及簡單應用【典例1】(1)鐘表的時針從8點轉(zhuǎn)到10點，所形成的角是()A.30°B.-30°

C.60°

D.-60°(2)射線OA繞端點O順時針旋轉(zhuǎn)80°到OB位置，接著逆時針旋轉(zhuǎn)250°到OC位置，然后再順時針旋轉(zhuǎn)270°到OD位置，則∠AOD=__________.【題型示范】【解題探究】1.題(1)中鐘表的表盤中共12個大格，每一格的角度是多少？2.題(2)中逆時針旋轉(zhuǎn)250°是+250°,還是-250°？順時針旋轉(zhuǎn)270°是+270°,還是-270°？【探究提示】1.鐘表的表盤中每一格的角度是30°.2.逆時針旋轉(zhuǎn)250°是+250°，順時針旋轉(zhuǎn)270°是-270°.【解題探究】1.題(1)中鐘表的表盤中共12個大格，每一格的【自主解答】(1)選D.因為鐘表的表盤中每一格的角度是30°，從8點轉(zhuǎn)到10點，共轉(zhuǎn)過2個格，故大小為60°，又時針為順時針方向旋轉(zhuǎn)，故形成的角為-60°.【自主解答】(1)選D.因為鐘表的表盤中每一格的角度是30°(2)如圖∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD=(-80°)+250°+(-270°)=-100°.答案：-100°(2)如圖【方法技巧】1.角的表示(1)通常用希臘字母α，β等表示，如“角α”或“∠α”，也可以簡化為“α”.(2)也可以用三個大寫字母表示(前面要加“∠”)，如“∠AOB”.【方法技巧】(3)用圖示表示角時，箭頭不可以丟掉，因為箭頭代表了旋轉(zhuǎn)的方向，也即箭頭代表著角的正負.(3)用圖示表示角時，箭頭不可以丟掉，因為箭頭代表了旋轉(zhuǎn)的方2.理解角的概念的三個“明確”2.理解角的概念的三個“明確”【變式訓練】寫出圖(1)(2)中的角α，β，γ的度數(shù).【變式訓練】寫出圖(1)(2)中的角α，β，γ的度數(shù).【解析】圖(1)中，α=360°-30°=330°.圖(2)中，β=-360°+60°+150°=-150°;γ=360°+60°+(-β)=360°+60°+150°=570°.【解析】圖(1)中，α=360°-30°=330°.【誤區(qū)警示】解答此題時，一定要注意角的旋轉(zhuǎn)方向是逆時針還是順時針，以免出現(xiàn)錯誤.【誤區(qū)警示】解答此題時，一定要注意角的旋轉(zhuǎn)方向是逆時針還是順【補償訓練】25°角的始邊是x軸的非負半軸，把終邊按順時針方向旋轉(zhuǎn)4.5周，所得的角是________.【解析】所求角為25°+(-360°×4.5)=-1595°.答案：-1595°【補償訓練】25°角的始邊是x軸的非負半軸，把終邊按順時針方類型二象限角【典例2】(1)已知角α是銳角，則2α是()A.第一象限角B.第二象限角C.小于180°的正角D.第一或第二象限角(2)(2014·宿遷高一檢測)-1250°是第______象限角.類型二象限角(3)已知角的頂點在原點，始邊在x軸的非負半軸上，作出下列各角，并指出它們是第幾象限角.①-50°；②780°；③-680°.(3)已知角的頂點在原點，始邊在x軸的非負半軸上，作出下列各【解題探究】1.題(1)中角α是銳角，則α的范圍是什么？2.題(2)中-1250°與360°有何關(guān)系？3.題(3)中如何作負角？【探究提示】1.0°＜α＜90°.2.-1250°=190°-4×360°.3.順時針旋轉(zhuǎn)即可得到負角.【解題探究】1.題(1)中角α是銳角，則α的范圍是什么？【自主解答】(1)選C.因為α是銳角，所以0°＜α＜90°，所以0°＜2α＜180°，故選C.(2)因為-1250°=190°-4×360°，其終邊在第三象限，所以它是第三象限角.答案：三【自主解答】(1)選C.因為α是銳角，所以0°＜α＜90°，(3)作出各角，其對應的終邊如圖所示.①-50°是第四象限角；②780°是第一象限角;③-680°是第一象限角.(3)作出各角，其對應的終邊如圖所示.【延伸探究】若把題(2)中的角改為1250°，試判斷它是第幾象限角？【解析】因為1250°=170°+3×360°，其終邊在第二象限，所以它是第二象限角.【延伸探究】若把題(2)中的角改為1250°，試判斷它是第【方法技巧】1.象限角的判定方法(1)根據(jù)圖像判定.利用圖像實際操作時，依據(jù)是終邊相同的角的概念，因為0°～360°之間的角與坐標系中的射線可建立一一對應的關(guān)系.(2)將角轉(zhuǎn)化到0°～360°范圍內(nèi).在直角坐標平面內(nèi)，0°～360°范圍內(nèi)沒有兩個角終邊是相同的.【方法技巧】2.α,2α,等角的終邊位置的確定方法(1)不等式法①利用象限角的概念或已知條件，寫出角α的范圍.②利用不等式的性質(zhì)，求出2α，等角的范圍.2.α,2α,等角的終邊位置的確定方法③利用“旋轉(zhuǎn)”的觀點，確定角終邊的位置.例如，如果得到k×120°＜＜k×120°+30°，k∈Z，可畫出0°＜＜30°所表示的區(qū)域，再將此區(qū)域依次逆時針或順時針轉(zhuǎn)動120°(如圖所示).③利用“旋轉(zhuǎn)”的觀點，確定角終邊的位置.(2)幾何法(或等分象限法)若已知α所在的象限，確定所在的象限，可先將各個象限n等分，從第一象限離x軸最近的區(qū)域開始逆時針方向依次循環(huán)標注號1,2,3,4,直到將所有區(qū)域標完為止.如果α在第幾象限，則在圖中標號為幾的區(qū)域內(nèi).(2)幾何法(或等分象限法)例如,已知α為第四象限角，則終邊所在的位置為如圖標4的區(qū)域內(nèi).例如,已知α為第四象限角，則終邊所在的位置為如圖標4【變式訓練】已知角的頂點與坐標原點重合，始邊落在x軸的非負半軸上，作出下列各角，并指出它們是第幾象限的角.(1)-75°.(2)855°.(3)-510°.【變式訓練】已知角的頂點與坐標原點重合，始邊落在x軸的非負半【解析】作出各角，其對應的終邊如圖所示：(1)由圖可知：-75°是第四象限的角.(2)由圖可知：855°是第二象限的角.(3)由圖可知：-510°是第三象限的角.【解析】作出各角，其對應的終邊如圖所示：【補償訓練】1.若角α的終邊經(jīng)過點(-1,-3)，則角α是第________象限角.【解析】因為點(-1,-3)在第三象限，所以角α的終邊落在第三象限，即它是第三象限角.【補償訓練】1.若角α的終邊經(jīng)過點(-1,-3)，則角α是第2.已知角α是第一象限角，則是第幾象限角？【解析】因為角α是第一象限角，所以角α的集合是{α|k×360°＜α＜90°+k×360°,k∈Z}，所以×360°＜＜45°+×360°,k∈Z，當k是偶數(shù)時，設(shè)k=2n(n∈Z)，則n×360°＜＜45°+n×360°,n∈Z，所以是第一象限角.當k是奇數(shù)時，設(shè)k=2n+1(n∈Z)，則180°+n×360°＜＜225°+n×360°,n∈Z，所以是第三象限角.綜上可知，是第一或第三象限角.2.已知角α是第一象限角，則是第幾象限角？類型三終邊相同角的表示【典例3】(1)(2014·石家莊高一檢測)下列角中終邊與-240°相同的角是()A.240°B.120°

C.-120°

D.-60°(2)寫出終邊在直線上的角的集合.類型三終邊相同角的表示【解題探究】1.題(1)中-240°的終邊在第幾象限？2.題(2)中直線的傾斜角是多少？【探究提示】1.-240°的終邊在第二象限.2.直線的斜率k==tan60°，所以直線的傾斜角為60°.【解題探究】1.題(1)中-240°的終邊在第幾象限？【自主解答】(1)選B.因為-240°=120°-360°，所以-240°與120°的終邊相同.(2)在0°～360°范圍內(nèi)，終邊在直線