第三章-隨機向量課件

第一節(jié)二維隨機變量

一.隨機變量的定義

隨機向量主要用來描述用一維隨機變量不能完全刻劃的隨機現(xiàn)象。例如，煉鋼時，每爐鋼含碳量，含硫量，硬度三個指標組成的三維隨機向量；導彈的落點與目標之間的誤差：由兩個連續(xù)隨機變量組成的二維隨機向量；以及更一般的多維隨機向量。第一節(jié)二維隨機變量一.1二維隨機變量

如果

X

、Y都是定義在同一個樣本空間中的隨機變量，則它們構(gòu)成的向量(X,Y)就稱為一個二維隨機變量。隨機變量(X,Y)的概率性質(zhì)除了與每一個分量有關(guān)外，還依賴于這兩個分量之間的相互關(guān)系。二維隨機變量隨機變量(X,Y)的概率性質(zhì)2二.

聯(lián)合分布函數(shù)定義3.1.1設(shè)(X,Y)是二維隨機變量，對于任意的兩個實數(shù)

x、y

，二元函數(shù)

F(x,y)=P{

X

≤

x,

Y

≤

y

}稱為隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)，或者也稱

隨機變量

X、Y的聯(lián)合分布函數(shù)1.聯(lián)合分布函數(shù)的定義聯(lián)合分布函數(shù)是對隨機變量性質(zhì)的完整刻劃，本質(zhì)上是兩個隨機事件交事件的概率。二.聯(lián)合分布函數(shù)定義3.1.1設(shè)(X,Y3++––

ox1

x2xyy2y12.利用聯(lián)合分布函數(shù)計算概率P{x1

＜X≤x2,

y1＜Y≤y2}=F(x2,

y2)+F(x1,y1)–

F(x1,y2)–

F(x2,y1)思考1{

X

≤

x,Y

≤

y

}的對立事件是否{

X

＞

x,Y

＞

y

}？思考2

從F(x

,

y

)能不能計算出P{x1

＜X≤x2}？

++––ox1x24

定理3.1.1(聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì))設(shè)F(x,y)是任一隨機向量(X,Y)的分布函數(shù)，則(1)

(2)F(x,y)分別關(guān)于x及y單調(diào)不減，即當時，,當，

(3)(4)F(x,y)對每個變元是右連續(xù)的

定理3.1.1(聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì))設(shè)F(x,y)是任5例3.1.1已知(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)是：□x

y

,

當0＜

x,y

＜1x，當0＜

x

＜1，y≥1y，當0＜

y

＜1，x≥11，當

x≥1，y≥10，其它F(x,y)=問X、Y

至少有一個不大于0.4的概率。解.分析，要計算p=P{(X≤0.4)∪(Y≤0.4)}，利用加法公式，

p=P{X≤0.4}+P{Y≤0.4}

–

P{X≤0.4∩Y≤0.4}=F(0.4,+∞)+F(+∞,0.4)–

F(0.4,0.4)=0.4+0.4–0.4×0.4=0.64.例3.1.1已知(X,Y)的聯(lián)合分布6

三、二維離散型隨機變量

如果二維隨機變量(X,Y)的每個分量都是離散型隨機變量，則稱(X,Y)是一個離散型二維隨機變量。二維隨機變量(X,Y)所有可能的取值是有限對或者無窮多對數(shù).三、二維離散型隨機變量如果二維隨機7

定義3.1.2設(shè)二維離散型隨機變量(X,Y)的可能的取值為且取這些值的概率為

則稱為(X,Y)的聯(lián)合概率函數(shù)或聯(lián)合分布律（或聯(lián)合分布）1.離散隨機向量的聯(lián)合分布律①聯(lián)合分布律實質(zhì)上仍然是隨機事件交事件的概率，{

X=xi

，i

≥1}與{

Y=yj

，j

≥1}分別都是對樣本空間的劃分。定義3.1.2設(shè)二維離散型隨機變量(X,Y)的可能的1.82.二維聯(lián)合分布律的表格形式

y1…yj…

x1

p11…p1j……………

xi

pi1…pij……………

X

Y3.聯(lián)合分布律的兩個性質(zhì)(1)對任意的i、j，都有pi

j

≥

0,

(2)2.二維聯(lián)合分布律的表格形式9

一般地，若(X,Y)是離散型的，有分布律

則對任一實數(shù)對（x,y），有(3)二維離散型隨機向量的分布函數(shù)與概率分布的關(guān)系:

(3)二維離散型隨機向量的分布函數(shù)與概率分布的關(guān)系:10

例3.1.1p77例1。

例3.1.1p77例1。11四、二維連續(xù)型隨機變量

1.聯(lián)合密度函數(shù)的定義定義3.1.3對于二維隨機變量(X,Y)，如果存在一個非負可積的函數(shù)

f(x,y)

，使得對任意的實數(shù)

x、y有，則稱(X,Y)為二維連續(xù)型隨機變量，稱f(x,y)為二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)，簡稱概率密度。四、二維連續(xù)型隨機變量1.聯(lián)合密度函數(shù)的定義12(1)f

(x,y)

≥0；2.聯(lián)合密度函數(shù)的基本性質(zhì)(3)如果聯(lián)合密度函數(shù)在點(x,y)連續(xù)，則有

f(x,y)

=——————2

F(x,y)

xy(4)假設(shè)

D

是平面上的任意一個區(qū)域，則點(X,Y)落在D內(nèi)的概率，(1)f(x,y)≥0；2.13ox

yD

f(x,y)

oxyDf(x,y)14

例3.1.2設(shè)(X,Y)的概率密度函數(shù)為

其中c是常數(shù)。(1)求常數(shù)c；(2)計算P{0<X<1,0<Y<1}.例3.1.2設(shè)(X,Y)的概率密度函數(shù)為15

3.常見的二維連續(xù)型隨機變量1）二維均勻分布定義3.1.3：設(shè)D為平面上有界區(qū)域，其面積A>0，若二維隨機變量(X,Y)的概率密度函數(shù)為則稱(X,Y)服從D上的(二維)均勻分布.3.常見的二維連續(xù)型隨機變量16

例3.1.3設(shè)(X,Y)服從圓域上的均勻分布，計算，這里A是圖3.3.1中陰影部分的區(qū)域。例3.1.3設(shè)(X,Y)服從圓域17

2）二維正態(tài)分布定義3.1.4：若二維隨機變量(X,Y)的密度函數(shù)為

則稱(X,Y)服從參數(shù)為的二維正態(tài)分布記為。其中，2）二維正態(tài)分布18

4.n維隨機變量定義3.1.5：設(shè)是定義在同一概率空間上的n個隨機變量，則稱是n維隨機變量。n維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)為4.n維隨機變量19

定義3.1.6如果存在非負可積函數(shù)，使得,則稱是n維連續(xù)型隨機變量.稱為的密度函數(shù)，或稱為的聯(lián)合密度函數(shù)。定義3.1.6如果存在非負可積函數(shù)20第二節(jié)邊緣分布隨機變量(X,Y)的兩個分量

X、Y都是一維隨機變量，它們自身所具有的概率分布就稱為是(X,Y)關(guān)于

X與Y的邊緣分布。顯然，邊緣分布函數(shù)被聯(lián)合分布函數(shù)唯一地確定

FX(x)=F(x,+∞)，F(xiàn)Y(y)=F(+∞,y)

一.邊緣分布函數(shù)第二節(jié)邊緣分布隨機變量(X,Y)的21二.二維離散隨機變量的邊緣分布設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機變量，其概率分布為：P{X=ai

,Y=bj

}=pij

，i、j

=1，2，….。1X的邊緣分布律{pi·

，i

≥1}

P{X=ai}=∑j≥1P{X=ai

,Y=bj

}=∑j≥1

pi

j=

pi·2Y的邊緣分布律{p

·j，j

≥1}

P{Y=bj

}=∑i≥1

P{X=ai

,Y=bj

}=∑i≥1

pi

j=

p

·j二.二維離散隨機變量的邊緣分布設(shè)(X22

例3.2.1對于例3.1.2中的(X,Y)，求關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布律。例3.2.1對于例3.1.2中的(X,Y)，求關(guān)于23三.二維連續(xù)隨機變量的邊緣分布設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)隨機變量，其聯(lián)合密度函數(shù)為

f

(x,y)，–∞＜x，y＜+∞1X的邊緣密度函數(shù)fX(x)2Y的邊緣密度函數(shù)fY(y)三.二維連續(xù)隨機變量的邊緣分布設(shè)(X,Y24

例3.2.2設(shè)(X,Y)是二維正態(tài)隨機向量，求它的分量X和Y的邊緣密度函數(shù)。結(jié)論：X的邊緣密度函數(shù)為Y的邊緣密度函數(shù)為例3.2.2設(shè)(X,Y)是二維正態(tài)隨機向量，求它的分25

定理3.2.2：設(shè),則X及Y的邊緣分布有，

該定理說明：隨機向量(X,Y)的聯(lián)合密度一般不能由其兩個邊緣密度唯一確定.定理3.2.2：設(shè)26

第三節(jié)條件分布

兩個隨機變量之間的隨機相依關(guān)系身高X

與體重Y

的關(guān)系；條件分布主要用來研究隨機變量的相依關(guān)系第三節(jié)條件分布兩個隨27

一.離散型隨機變量的條件分布定義3.3.1設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機變量，其分布律為P{X=ai

,Y=bj

}=pij

，i、j

=1，2，….。若對固定的j(j=1,2,…),有邊緣分布,稱為在條件下X的條件分布律。類似地,若對固定的i,(i=1,2,…),有稱為在條件下Y的條件分布律。一.離散型隨機變量的條件分布28

條件分布的性質(zhì)1）非負性

2）規(guī)范性即聯(lián)系第一章，隨機事件A、B:條件分布的性質(zhì)聯(lián)系第一章，隨機事件A、B:29

例3.3.1一射手進行射擊，擊中目標的概率為p(0<p<1),射擊進行到擊中兩次為止.設(shè)X為第一次擊中目標時射擊的次數(shù)，Y表示總共射擊的次數(shù)，即第二次擊中目標時射擊的次數(shù)。試求：(1)X,Y的聯(lián)合分布律(2)關(guān)于X和Y的邊緣分布律(3)X和Y的條件分布律例3.3.1一射手進行射擊，擊中目標的概率為30

二.連續(xù)隨機變量的條件分布定義3.3.2：設(shè)(X,Y)是連續(xù)型的，對固定的y存在，使得對所有的，有且對每個實數(shù)x,極限存在，則稱此極限為Y=y條件下X的條件分布函數(shù)，記為或.若存在,使得則稱為在Y=y條件下X的條件密度函數(shù)。二.連續(xù)隨機變量的條件分布31

定理3.3.1：設(shè)二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)有聯(lián)合密度為f(x,y),Y的邊緣概率密度分別為.若f(x,y)在點(x,y)處連續(xù)，在y處連續(xù)，且則有同理，X的邊緣概率密度分別為.若f(x,y)在點(x,y)處連續(xù)，在x處連續(xù)，且則有

定理3.3.1：設(shè)二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)有聯(lián)合密度32

于是兩個條件分布函數(shù)分別表示為，于是兩個條件分布函數(shù)分別表示為，33

例3.3.2設(shè)(X,Y)服從單位圓域上的均勻分布，求X和Y的條件密度函數(shù)。

例3.3.2設(shè)(X,Y)服從單位圓域34

35①.Y關(guān)于(X=x)的條件分布仍然是正態(tài)分布

N(2+

——(x–1)

,22(1–2))

，例3.3.3試計算二維正態(tài)分布

(X,Y)

~(1,2

;12,22;)的條件概率密度函數(shù)。

2

1②.X關(guān)于(Y=y)的條件分布仍然是正態(tài)分布

N(1+

——(y–2)

,12(1–2))

。

1

2解：已知有X~N(1,12)，Y~N(2

,22)。

①.Y關(guān)于(X=x)的條件分布仍然是正態(tài)分布36三.聯(lián)合分布、邊緣分布與條件分布的關(guān)系與概率乘法公式相比較：

P(AB)=P(A)×P(B|A)=P(B)×P(A|B)1.對于二維離散隨機變量

pij

=pi·×p

j|i=p·j×p

i|j對于二維連續(xù)隨機變量

三.聯(lián)合分布、邊緣分布與條件分布的關(guān)系與概率乘法公37聯(lián)合分布與邊緣分布的關(guān)系如同“整體”與“部分”的關(guān)系：整體能夠決定部分；但是各個部分的簡單疊加并不一定能構(gòu)成一個有機的整體。2.聯(lián)合分布能夠唯一地決定邊緣分布，反之一般情況下從邊緣分布得不出聯(lián)合分布。當分量相互獨立時，邊緣分布就可以決定聯(lián)合分布3.邊緣分布與條件分布本身也是一個分布

聯(lián)合分布與邊緣分布的關(guān)系如同“整體”與“部分”的關(guān)系：整38混合偏導二重積分一階偏導一重積分定積分極限？？FX(x)或FY(y)fX(x)或fY(y)F(x,y)f(x,y)混合偏導二重積分一階偏導一重積分定積分極限？？FX(x)39

定義3.4.1：設(shè)X,Y是兩個隨機變量，若對任意實數(shù)x,y有，事件相互獨立，即則稱隨機變量X與Y相互獨立.(independent,縮寫為：ind)

第四節(jié)隨機變量的獨立性定義3.4.1：設(shè)X,Y是兩個隨機變量，若對任意實40

定理3.4.1：設(shè)隨機變量X,Y的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y),X和Y的邊緣分布函數(shù)分別為，隨機變量X與Y相互獨立的充要條件是，對任意實數(shù)x,y有

定理3.4.1：設(shè)隨機變量X,Y的聯(lián)合分布函數(shù)為41注意要判斷兩個離散隨機變量不獨立，只需要找到

某一對整數(shù)i0、j0，使得：

pij≠pi·

×p·

j

0000聯(lián)合分布律等于邊緣分布律的乘積.即，pij

=pi·×p·j

對全部i、j成立兩個離散隨機變量的獨立注意00042

例3.4.1求X和Y的獨立性。解:

(X,Y)的分布律為因為

從而X和Y不相互獨立。例3.4.1求X和Y的獨立性。43

例3.4.2設(shè)隨機變量X與Y獨立，下表列出隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布律及邊緣分布律中部分數(shù)值，將其余數(shù)值填入空白處例3.4.2設(shè)隨機變量X與Y獨立，下表列出隨機變量(X,44兩個連續(xù)隨機變量的獨立聯(lián)合密度函數(shù)等于邊緣密度函數(shù)的乘積。即，對全部x、y成立注：連續(xù)隨機變量

X、Y相互獨立，當且僅當：對所有實數(shù)

x、y，聯(lián)合密度函數(shù)能夠分解成：

f(x,y)

=g(x)×h(y)的形式

。并且，邊緣密度函數(shù)可以直接寫出：=C1g(x)

，=C2h(y)

這里C1、C2

是常數(shù)因子。

兩個連續(xù)隨機變量的獨立聯(lián)合密度函數(shù)等于邊緣密度函數(shù)的乘積。即45

例3.4.3設(shè)(X,Y)服從單位圓域上的均勻分布，討論X和Y的獨立性。

例3.4.3設(shè)(X,Y)服從單位圓域46

47例3.4.4設(shè)X和Y都服從參數(shù)的指數(shù)分布，且相互獨立，試求例3.4.4設(shè)X和Y都服從參數(shù)的指數(shù)分布48例3.4.5X、Y

服從二維正態(tài)分布

(X,Y)

~N(1,2

;12,22;)

證明X、Y相互獨立的充分必要條件是=0。證明.

(充分性)已知

=0，因此

X、Y相互獨立；(必要性)已知X、Y獨立，特別取

x=

1、y=2，

根據(jù)

例3.4.5X、Y服從二維正態(tài)分布證明.(充49

50注：

條件分布等于無條件分布蘊涵了獨立性離散型：

聯(lián)系第一章，隨機事件A、B相互的獨立。

P(A|B)=P(A),P(B|A)=P(B).連續(xù)型：

或者注：條件分布等于無條件分布蘊涵了獨立性離散型：聯(lián)系第51如何應(yīng)用隨機變量的獨立兩個隨機變量的獨立可以理解成：與這兩個隨機變量有關(guān)的所有隨機事件都是獨立的(1)大多數(shù)的情況下，隨機變量的獨立性是用于：從各自的(邊緣)分布得到聯(lián)合分布。(2)可以證明，如果X,Y相互獨立，

g(·)與h(·)都是連續(xù)(或者單調(diào))函數(shù)，那么

g(X)與h(Y)也是相互獨立的隨機變量。如何應(yīng)用隨機變量的獨立兩個隨機變量的獨立可以理52第五節(jié)兩個隨機變量函數(shù)的分布

如果(X,Y)的聯(lián)合分布是已知，對于給定的

一個二元函數(shù)g(·,·)，如何去計算新的隨機變量Z=g(X,Y)的分布？第五節(jié)兩個隨機變量函數(shù)的分布如果(X53

一.二維離散型隨機變量函數(shù)的分布設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機變量，有聯(lián)合分布律設(shè)Z=g(X,Y)是(X,Y)的函數(shù)，則Z也是離散型的，其可能的取值是。其分布律為若有若干的值相等，應(yīng)將它們合為一項，把相應(yīng)的概率相加。一.二維離散型隨機變量函數(shù)的分布54

例3.5.1：已知隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為求：(1)Z=XY(2)W=X+Y的概率分布例3.5.1：已知隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為55

解：聯(lián)合分布律可寫成以下形式：(I)顯然Z可能的取值為0,1,2.由此可得分布律為

解：聯(lián)合分布律可寫成以下形式：56

(II)W可能的取值為0,1,2,3.由此可得分布律為(II)W可能的取值為0,1,2,3.由此可得分布律為57例3.5.2：泊松分布的可加性設(shè)X和Y是相互獨立的隨機變量，分別服從參數(shù)為的泊松分布，則隨機變量Z=X+Y服從參數(shù)為的泊松分布。例3.5.2：泊松分布的可加性58

二.二維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布1.一般方法例3.5.3:大炮打靶時,炮彈彈著點(X,Y)(以靶心為原點)服從正態(tài)分布，求彈著點到靶心距離的密度函數(shù).二.二維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布59

60

設(shè)Z=g(X,Y)是(X,Y)的函數(shù)，求Z的密度函數(shù)的一般方法：(1)確定Z的值域R(Z)(2)對任意，求出Z的分布函數(shù)此處由不等式解出。(3)求導，(4)對加以總結(jié)，當時,取設(shè)Z=g(X,Y)是(X,Y)的函數(shù)，求Z的密度函數(shù)61

計算兩個隨機變量函數(shù)分布的關(guān)鍵問題：這個二重積分能夠被計算出來，或者是能夠被轉(zhuǎn)化為二次積分的形式。計算兩個隨機變量函數(shù)分布的關(guān)鍵問題：62

2.連續(xù)型卷積公式及隨機變量的可加性(1)卷積公式定理3.5.1設(shè)二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合密度為f(x,y),Z=X+Y,則Z的密度函數(shù)為特別地，當X與Y獨立時，則2.連續(xù)型卷積公式及隨機變量的可加性63

(2)可加性定理3.5.2(正態(tài)分布的可加性)設(shè),且X與Y獨立，則定理3.5.3設(shè)隨機變量相互獨立，且都服從正態(tài)分布：,則它們的線性組合也是正態(tài)的，即

其中，為常數(shù)。(2)可加性64

3.兩個隨機變量之商的分布定理3.5.4:設(shè)二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合密度為f(x,y)，Z=X/Y，則Z的密度函數(shù)

若X與Y獨立，則3.兩個隨機變量之商的分布65

4.Max、Min型隨機變量的分布設(shè)X,Y是兩個相互獨立的隨機變量，其分布函數(shù)分別為,又設(shè)，,,則M,N也是隨機變量。

定理3.5.5在上述條件下，M,N的分布函數(shù)為4.Max、Min型隨機變量的分布66

例3.5.4：設(shè)系統(tǒng)L有兩個相互獨立的子系統(tǒng)聯(lián)接而成，聯(lián)接的方式分別為(1)串聯(lián)，(2)并聯(lián)，(3)備用。設(shè)的壽命分別為X、Y,其概率密度函數(shù)分別為其中，且.分別對以上三種聯(lián)接方式寫出L的壽命Z的概率密度函數(shù)。例3.5.4：設(shè)系統(tǒng)L有兩個相互獨立的子系統(tǒng)67

68

69

定理3.5.6設(shè)隨機變量相互獨立，且的分布函數(shù)為，記,則推論：設(shè)是n個相互獨立的隨機變量，且有相同的分布函數(shù)F(x),則定理3.5.6設(shè)隨機變量相互獨立70

特別地，如果上述隨機變量是連續(xù)型的，有相同的密度函數(shù)f(x),則M,N的密度函數(shù)為特別地，如果上述隨機變量是連續(xù)型的，有相同的密度71

第一節(jié)二維隨機變量

一.隨機變量的定義

隨機向量主要用來描述用一維隨機變量不能完全刻劃的隨機現(xiàn)象。例如，煉鋼時，每爐鋼含碳量，含硫量，硬度三個指標組成的三維隨機向量；導彈的落點與目標之間的誤差：由兩個連續(xù)隨機變量組成的二維隨機向量；以及更一般的多維隨機向量。第一節(jié)二維隨機變量一.72二維隨機變量

如果

X

、Y都是定義在同一個樣本空間中的隨機變量，則它們構(gòu)成的向量(X,Y)就稱為一個二維隨機變量。隨機變量(X,Y)的概率性質(zhì)除了與每一個分量有關(guān)外，還依賴于這兩個分量之間的相互關(guān)系。二維隨機變量隨機變量(X,Y)的概率性質(zhì)73二.

聯(lián)合分布函數(shù)定義3.1.1設(shè)(X,Y)是二維隨機變量，對于任意的兩個實數(shù)

x、y

，二元函數(shù)

F(x,y)=P{

X

≤

x,

Y

≤

y

}稱為隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)，或者也稱

隨機變量

X、Y的聯(lián)合分布函數(shù)1.聯(lián)合分布函數(shù)的定義聯(lián)合分布函數(shù)是對隨機變量性質(zhì)的完整刻劃，本質(zhì)上是兩個隨機事件交事件的概率。二.聯(lián)合分布函數(shù)定義3.1.1設(shè)(X,Y74++––

ox1

x2xyy2y12.利用聯(lián)合分布函數(shù)計算概率P{x1

＜X≤x2,

y1＜Y≤y2}=F(x2,

y2)+F(x1,y1)–

F(x1,y2)–

F(x2,y1)思考1{

X

≤

x,Y

≤

y

}的對立事件是否{

X

＞

x,Y

＞

y

}？思考2

從F(x

,

y

)能不能計算出P{x1

＜X≤x2}？

++––ox1x275

定理3.1.1(聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì))設(shè)F(x,y)是任一隨機向量(X,Y)的分布函數(shù)，則(1)

(2)F(x,y)分別關(guān)于x及y單調(diào)不減，即當時，,當，

(3)(4)F(x,y)對每個變元是右連續(xù)的

定理3.1.1(聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì))設(shè)F(x,y)是任76例3.1.1已知(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)是：□x

y

,

當0＜

x,y

＜1x，當0＜

x

＜1，y≥1y，當0＜

y

＜1，x≥11，當

x≥1，y≥10，其它F(x,y)=問X、Y

至少有一個不大于0.4的概率。解.分析，要計算p=P{(X≤0.4)∪(Y≤0.4)}，利用加法公式，

p=P{X≤0.4}+P{Y≤0.4}

–

P{X≤0.4∩Y≤0.4}=F(0.4,+∞)+F(+∞,0.4)–

F(0.4,0.4)=0.4+0.4–0.4×0.4=0.64.例3.1.1已知(X,Y)的聯(lián)合分布77

三、二維離散型隨機變量

如果二維隨機變量(X,Y)的每個分量都是離散型隨機變量，則稱(X,Y)是一個離散型二維隨機變量。二維隨機變量(X,Y)所有可能的取值是有限對或者無窮多對數(shù).三、二維離散型隨機變量如果二維隨機78

定義3.1.2設(shè)二維離散型隨機變量(X,Y)的可能的取值為且取這些值的概率為

則稱為(X,Y)的聯(lián)合概率函數(shù)或聯(lián)合分布律（或聯(lián)合分布）1.離散隨機向量的聯(lián)合分布律①聯(lián)合分布律實質(zhì)上仍然是隨機事件交事件的概率，{

X=xi

，i

≥1}與{

Y=yj

，j

≥1}分別都是對樣本空間的劃分。定義3.1.2設(shè)二維離散型隨機變量(X,Y)的可能的1.792.二維聯(lián)合分布律的表格形式

y1…yj…

x1

p11…p1j……………

xi

pi1…pij……………

X

Y3.聯(lián)合分布律的兩個性質(zhì)(1)對任意的i、j，都有pi

j

≥

0,

(2)2.二維聯(lián)合分布律的表格形式80

一般地，若(X,Y)是離散型的，有分布律

則對任一實數(shù)對（x,y），有(3)二維離散型隨機向量的分布函數(shù)與概率分布的關(guān)系:

(3)二維離散型隨機向量的分布函數(shù)與概率分布的關(guān)系:81

例3.1.1p77例1。

例3.1.1p77例1。82四、二維連續(xù)型隨機變量

1.聯(lián)合密度函數(shù)的定義定義3.1.3對于二維隨機變量(X,Y)，如果存在一個非負可積的函數(shù)

f(x,y)

，使得對任意的實數(shù)

x、y有，則稱(X,Y)為二維連續(xù)型隨機變量，稱f(x,y)為二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)，簡稱概率密度。四、二維連續(xù)型隨機變量1.聯(lián)合密度函數(shù)的定義83(1)f

(x,y)

≥0；2.聯(lián)合密度函數(shù)的基本性質(zhì)(3)如果聯(lián)合密度函數(shù)在點(x,y)連續(xù)，則有

f(x,y)

=——————2

F(x,y)

xy(4)假設(shè)

D

是平面上的任意一個區(qū)域，則點(X,Y)落在D內(nèi)的概率，(1)f(x,y)≥0；2.84ox

yD

f(x,y)

oxyDf(x,y)85

例3.1.2設(shè)(X,Y)的概率密度函數(shù)為

其中c是常數(shù)。(1)求常數(shù)c；(2)計算P{0<X<1,0<Y<1}.例3.1.2設(shè)(X,Y)的概率密度函數(shù)為86

3.常見的二維連續(xù)型隨機變量1）二維均勻分布定義3.1.3：設(shè)D為平面上有界區(qū)域，其面積A>0，若二維隨機變量(X,Y)的概率密度函數(shù)為則稱(X,Y)服從D上的(二維)均勻分布.3.常見的二維連續(xù)型隨機變量87

例3.1.3設(shè)(X,Y)服從圓域上的均勻分布，計算，這里A是圖3.3.1中陰影部分的區(qū)域。例3.1.3設(shè)(X,Y)服從圓域88

2）二維正態(tài)分布定義3.1.4：若二維隨機變量(X,Y)的密度函數(shù)為

則稱(X,Y)服從參數(shù)為的二維正態(tài)分布記為。其中，2）二維正態(tài)分布89

4.n維隨機變量定義3.1.5：設(shè)是定義在同一概率空間上的n個隨機變量，則稱是n維隨機變量。n維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)為4.n維隨機變量90

定義3.1.6如果存在非負可積函數(shù)，使得,則稱是n維連續(xù)型隨機變量.稱為的密度函數(shù)，或稱為的聯(lián)合密度函數(shù)。定義3.1.6如果存在非負可積函數(shù)91第二節(jié)邊緣分布隨機變量(X,Y)的兩個分量

X、Y都是一維隨機變量，它們自身所具有的概率分布就稱為是(X,Y)關(guān)于

X與Y的邊緣分布。顯然，邊緣分布函數(shù)被聯(lián)合分布函數(shù)唯一地確定

FX(x)=F(x,+∞)，F(xiàn)Y(y)=F(+∞,y)

一.邊緣分布函數(shù)第二節(jié)邊緣分布隨機變量(X,Y)的92二.二維離散隨機變量的邊緣分布設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機變量，其概率分布為：P{X=ai

,Y=bj

}=pij

，i、j

=1，2，….。1X的邊緣分布律{pi·

，i

≥1}

P{X=ai}=∑j≥1P{X=ai

,Y=bj

}=∑j≥1

pi

j=

pi·2Y的邊緣分布律{p

·j，j

≥1}

P{Y=bj

}=∑i≥1

P{X=ai

,Y=bj

}=∑i≥1

pi

j=

p

·j二.二維離散隨機變量的邊緣分布設(shè)(X93

例3.2.1對于例3.1.2中的(X,Y)，求關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布律。例3.2.1對于例3.1.2中的(X,Y)，求關(guān)于94三.二維連續(xù)隨機變量的邊緣分布設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)隨機變量，其聯(lián)合密度函數(shù)為

f

(x,y)，–∞＜x，y＜+∞1X的邊緣密度函數(shù)fX(x)2Y的邊緣密度函數(shù)fY(y)三.二維連續(xù)隨機變量的邊緣分布設(shè)(X,Y95

例3.2.2設(shè)(X,Y)是二維正態(tài)隨機向量，求它的分量X和Y的邊緣密度函數(shù)。結(jié)論：X的邊緣密度函數(shù)為Y的邊緣密度函數(shù)為例3.2.2設(shè)(X,Y)是二維正態(tài)隨機向量，求它的分96

定理3.2.2：設(shè),則X及Y的邊緣分布有，

該定理說明：隨機向量(X,Y)的聯(lián)合密度一般不能由其兩個邊緣密度唯一確定.定理3.2.2：設(shè)97

第三節(jié)條件分布

兩個隨機變量之間的隨機相依關(guān)系身高X

與體重Y

的關(guān)系；條件分布主要用來研究隨機變量的相依關(guān)系第三節(jié)條件分布兩個隨98

一.離散型隨機變量的條件分布定義3.3.1設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機變量，其分布律為P{X=ai

,Y=bj

}=pij

，i、j

=1，2，….。若對固定的j(j=1,2,…),有邊緣分布,稱為在條件下X的條件分布律。類似地,若對固定的i,(i=1,2,…),有稱為在條件下Y的條件分布律。一.離散型隨機變量的條件分布99

條件分布的性質(zhì)1）非負性

2）規(guī)范性即聯(lián)系第一章，隨機事件A、B:條件分布的性質(zhì)聯(lián)系第一章，隨機事件A、B:100

例3.3.1一射手進行射擊，擊中目標的概率為p(0<p<1),射擊進行到擊中兩次為止.設(shè)X為第一次擊中目標時射擊的次數(shù)，Y表示總共射擊的次數(shù)，即第二次擊中目標時射擊的次數(shù)。試求：(1)X,Y的聯(lián)合分布律(2)關(guān)于X和Y的邊緣分布律(3)X和Y的條件分布律例3.3.1一射手進行射擊，擊中目標的概率為101

二.連續(xù)隨機變量的條件分布定義3.3.2：設(shè)(X,Y)是連續(xù)型的，對固定的y存在，使得對所有的，有且對每個實數(shù)x,極限存在，則稱此極限為Y=y條件下X的條件分布函數(shù)，記為或.若存在,使得則稱為在Y=y條件下X的條件密度函數(shù)。二.連續(xù)隨機變量的條件分布102

定理3.3.1：設(shè)二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)有聯(lián)合密度為f(x,y),Y的邊緣概率密度分別為.若f(x,y)在點(x,y)處連續(xù)，在y處連續(xù)，且則有同理，X的邊緣概率密度分別為.若f(x,y)在點(x,y)處連續(xù)，在x處連續(xù)，且則有

定理3.3.1：設(shè)二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)有聯(lián)合密度103

于是兩個條件分布函數(shù)分別表示為，于是兩個條件分布函數(shù)分別表示為，104

例3.3.2設(shè)(X,Y)服從單位圓域上的均勻分布，求X和Y的條件密度函數(shù)。

例3.3.2設(shè)(X,Y)服從單位圓域105

106①.Y關(guān)于(X=x)的條件分布仍然是正態(tài)分布

N(2+

——(x–1)

,22(1–2))

，例3.3.3試計算二維正態(tài)分布

(X,Y)

~(1,2

;12,22;)的條件概率密度函數(shù)。

2

1②.X關(guān)于(Y=y)的條件分布仍然是正態(tài)分布

N(1+

——(y–2)

,12(1–2))

。

1

2解：已知有X~N(1,12)，Y~N(2

,22)。

①.Y關(guān)于(X=x)的條件分布仍然是正態(tài)分布107三.聯(lián)合分布、邊緣分布與條件分布的關(guān)系與概率乘法公式相比較：

P(AB)=P(A)×P(B|A)=P(B)×P(A|B)1.對于二維離散隨機變量

pij

=pi·×p

j|i=p·j×p

i|j對于二維連續(xù)隨機變量

三.聯(lián)合分布、邊緣分布與條件分布的關(guān)系與概率乘法公108聯(lián)合分布與邊緣分布的關(guān)系如同“整體”與“部分”的關(guān)系：整體能夠決定部分；但是各個部分的簡單疊加并不一定能構(gòu)成一個有機的整體。2.聯(lián)合分布能夠唯一地決定邊緣分布，反之一般情況下從邊緣分布得不出聯(lián)合分布。當分量相互獨立時，邊緣分布就可以決定聯(lián)合分布3.邊緣分布與條件分布本身也是一個分布

聯(lián)合分布與邊緣分布的關(guān)系如同“整體”與“部分”的關(guān)系：整109混合偏導二重積分一階偏導一重積分定積分極限？？FX(x)或FY(y)fX(x)或fY(y)F(x,y)f(x,y)混合偏導二重積分一階偏導一重積分定積分極限？？FX(x)110

定義3.4.1：設(shè)X,Y是兩個隨機變量，若對任意實數(shù)x,y有，事件相互獨立，即則稱隨機變量X與Y相互獨立.(independent,縮寫為：ind)

第四節(jié)隨機變量的獨立性定義3.4.1：設(shè)X,Y是兩個隨機變量，若對任意實111

定理3.4.1：設(shè)隨機變量X,Y的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y),X和Y的邊緣分布函數(shù)分別為，隨機變量X與Y相互獨立的充要條件是，對任意實數(shù)x,y有

定理3.4.1：設(shè)隨機變量X,Y的聯(lián)合分布函數(shù)為112注意要判斷兩個離散隨機變量不獨立，只需要找到

某一對整數(shù)i0、j0，使得：

pij≠pi·

×p·

j

0000聯(lián)合分布律等于邊緣分布律的乘積.即，pij

=pi·×p·j

對全部i、j成立兩個離散隨機變量的獨立注意000113

例3.4.1求X和Y的獨立性。解:

(X,Y)的分布律為因為

從而X和Y不相互獨立。例3.4.1求X和Y的獨立性。114

例3.4.2設(shè)隨機變量X與Y獨立，下表列出隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布律及邊緣分布律中部分數(shù)值，將其余數(shù)值填入空白處例3.4.2設(shè)隨機變量X與Y獨立，下表列出隨機變量(X,115兩個連續(xù)隨機變量的獨立聯(lián)合密度函數(shù)等于邊緣密度函數(shù)的乘積。即，對全部x、y成立注：連續(xù)隨機變量

X、Y相互獨立，當且僅當：對所有實數(shù)

x、y，聯(lián)合密度函數(shù)能夠分解成：

f(x,y)

=g(x)×h(y)的形式

。并且，邊緣密度函數(shù)可以直接寫出：=C1g(x)

，=C2h(y)

這里C1、C2

是常數(shù)因子。

兩個連續(xù)隨機變量的獨立聯(lián)合密度函數(shù)等于邊緣密度函數(shù)的乘積。即116

例3.4.3設(shè)(X,Y)服從單位圓域上的均勻分布，討論X和Y的獨立性。

例3.4.3設(shè)(X,Y)服從單位圓域117

118例3.4.4設(shè)X和Y都服從參數(shù)的指數(shù)分布，且相互獨立，試求例3.4.4設(shè)X和Y都服從參數(shù)的指數(shù)分布119例3.4.5X、Y

服從二維正態(tài)分布

(X,Y)

~N(1,2

;12,22;)

證明X、Y相互獨立的充分必要條件是=0。證明.

(充分性)已知

=0，因此

X、Y相互獨立；(必要性)已知X、Y獨立，特別取

x=

1、y=2，

根據(jù)

例3.4.5X、Y服從二維正態(tài)分布證明.(充120

121注：

條件分布等于無條件分布蘊涵了獨立性離散型：

聯(lián)系第一章，隨機事件A、B相互的獨立。

P(A|B)=P(A),P(B|A)=P(B).連續(xù)型：