數(shù)學(xué)歸納法的變式及應(yīng)用

關(guān)于數(shù)學(xué)歸納法的變式及應(yīng)用第一頁，共二十二頁，2022年，8月28日1.引言

數(shù)學(xué)歸納法是一種完全歸納法。它是一種常用于證明與正整數(shù)集有關(guān)命題的重要論證方法，在幾何證明和代數(shù)證明中都有著廣泛的應(yīng)用。第二頁，共二十二頁，2022年，8月28日2.數(shù)學(xué)歸納法第一類數(shù)學(xué)歸納法（數(shù)學(xué)歸納法）第一類數(shù)學(xué)歸納法的基本形式為：設(shè)是一個關(guān)于自然數(shù)n的命題，如果(1)成立；(2)假設(shè)成立，則也成立；那么，對任意自然數(shù)n都成立。第三頁，共二十二頁，2022年，8月28日第二類數(shù)學(xué)歸納法

第二類數(shù)學(xué)歸納法又稱串值歸納法，它的基本形式為：設(shè)是一個關(guān)于自然數(shù)n的命題，如果(1)成立；(2)假設(shè)對于所有適合n<k的正整數(shù)n成立，則也成立；那么，對任意自然數(shù)n都成立。第四頁，共二十二頁，2022年，8月28日例2.3.2證明可以僅用4分和5分郵票來組成等于和超過12分的每種郵資。(1)當n=12,13,14,15時，命題為真。票加上1個4分郵票就可以了。為了組成n+1分郵資，用組成n-3分郵資的郵即可以用4分和5分郵票來組成k（）分郵資。(2)對于任意自然數(shù)n15,假定命題為真第五頁，共二十二頁，2022年，8月28日兩類數(shù)學(xué)歸納法是等價的

第一數(shù)學(xué)歸納法和第二數(shù)學(xué)歸納法是等價的，即用第一數(shù)學(xué)歸納法證明的可以用第二數(shù)學(xué)歸納法證明，反之亦然。第六頁，共二十二頁，2022年，8月28日3.數(shù)學(xué)歸納法的變式

1跳躍歸納法跳躍歸納法的基本形式為：那么，對任意自然數(shù)都成立。數(shù)k+l正確；(2)假設(shè)對于自然數(shù)k正確，就能推出命題對自然(1)成立；設(shè)是一個關(guān)于自然數(shù)n的命題，如果第七頁，共二十二頁，2022年，8月28日反歸納法的基本形式為：

設(shè)是一個關(guān)于自然數(shù)n的命題，如果(1)對無窮多個自然數(shù)成立；(2)假設(shè)對于自然數(shù)k正確，就能推出命題對自然數(shù)k-1正確；那么，對任意自然數(shù)n都成立。

2反歸納法（倒推歸納法）第八頁，共二十二頁，2022年，8月28日例求證n個正實數(shù)的算術(shù)平均值大于或等于這n個數(shù)的幾何平均值，即證明：(1)當n=2時，因此命題對n=2正確。當n=4時，

因此命題對n=4正確。同理可推出命題對都正確（s為任意自然數(shù)）。第九頁，共二十二頁，2022年，8月28日(2)設(shè)命題對n=k正確，令則由歸納假設(shè)命題對n=k正確，所以所以 即 第十頁，共二十二頁，2022年，8月28日

命題對n=k-1也正確，由反歸納法原理知，命題對一切自然數(shù)成立。

第一類數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵是：由成立往后推出也成立；而反歸納法的關(guān)鍵恰是：由成立往前推出成立。第十一頁，共二十二頁，2022年，8月28日雙歸納法的基本形式為：設(shè)命題P與兩個獨立的自然數(shù)對m與n有關(guān)，若(1)命題P對m=1與n=1是正確的；(2)從命題對自然數(shù)對（m,n）正確就能推出該命題對自然數(shù)對（m+1,n）正確，和對自然數(shù)對（m,n+1）也正確；則命題P對一切自然數(shù)對（m,n）都正確。3雙歸納法（二元歸納法）第十二頁，共二十二頁，2022年，8月28日蹺蹺板歸納法的基本形式為：有兩個命題,如果(1)正確；(2)假設(shè)正確，那么也是正確的；(3)假設(shè)正確，那么也是正確的；那么，對于任意自然數(shù)n,命題都是正確的。4蹺蹺板歸納法與螺旋式上升歸納法第十三頁，共二十二頁，2022年，8月28日例已知數(shù)列1，3，7，12，19，27，37，48，61……設(shè)為其第n項，為其前n項的和，其中求證：證明：令為；為為(1)，即是正確的。第十四頁，共二十二頁，2022年，8月28日(2)假設(shè)那么即，假設(shè)是正確的，那么也正確。即，假設(shè)是正確的，則也正確。(3)假設(shè)，那么因此，對任何自然數(shù)都是正確的。第十五頁，共二十二頁，2022年，8月28日說明：作為“蹺蹺板歸納法”的推廣，還可能要使用若干結(jié)論螺旋式上升的證明方法，這種方法的基本形式為：有五個命題，如果(1)是正確的；(2)那么，這五個命題都是正確的。第十六頁，共二十二頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)歸納法和反證法的關(guān)系

凡是用數(shù)學(xué)歸納法證明的命題都可以用反證法來證明，因而數(shù)學(xué)歸納法在使用上可以用反證法來代替，反之不然。第十七頁，共二十二頁，2022年，8月28日

每一種形式的數(shù)學(xué)歸納法都有兩個步驟，第一步是驗證步驟，第二步是歸納步驟。這兩步相輔相成，缺一不可。下面這個例子就是很好的說明。5.關(guān)于數(shù)學(xué)歸納法的若干說明第十八頁，共二十二頁，2022年，8月28日例

二項式曾引起數(shù)學(xué)家們的極大興趣，最使數(shù)學(xué)家們感性趣的是把它分解為具有整系數(shù)因子的乘積。

對許許多多特殊n的值，考查的分解式。數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)：在分解式中，x的各次冪的所有系數(shù)的絕對值都不超過1。實際上，第十九頁，共二十二頁，2022年，8月28日第二十頁