第三章流體流動特性參考課件

第三章流體流動特性第三章流體流動特性優(yōu)選第三章流體流動特性2優(yōu)選第三章流體流動特性22.歐拉法又稱局部法，是以流體質(zhì)點流過空間某個點上時的運動特性，來研究整個流體的運動的。所以流體質(zhì)點的流動是空間點坐標（x，y，z）和時間t的函數(shù)，任一參量B可以表示為B=B(x，y，z，t)式中，x,y,z,t稱為歐拉變量。是與流體質(zhì)點無關(guān)的空間坐標值。

x，y，z值不變，改變t，表示空間某固定點的速度隨時間的變化規(guī)律。

t不變，改變x，y，z，代表某一時刻，空間各點的速度分布。3.1流場及其描述方法32.歐拉法又稱局部法，是以流體質(zhì)點流過空間某個點上時的運3.兩種方法的比較

3.1流場及其描述方法拉格朗日法歐拉法表達式復(fù)雜表達式簡單不能直接反映參數(shù)的空間分布直接反映參數(shù)的空間分布不適合描述流體元的運動變形特性適合描述流體元的運動變形特性拉格朗日觀點是重要的流體力學(xué)最常用的解析方法分別描述有限質(zhì)點的軌跡同時描述所有質(zhì)點的瞬時參數(shù)43.兩種方法的比較

3.1流場及其描述方法拉格3.2流體流動的速度場速度場——任一瞬時由空間點上速度矢量構(gòu)成的場，又稱速度分布。1.流體質(zhì)點運動的速度和加速度

在直角坐標系中采用歐拉方法描述的速度函數(shù)為

對于具體的流體質(zhì)點來說x，y，z有雙重意義：一方面它代表流場的空間坐標，另一方面它代表流體質(zhì)點在空間的位移。也就是說，空間坐標x，y，z也是流體質(zhì)點位移的變量，它也是時間t的函數(shù)x=x(t)y=y(t)z=z(t)——流體質(zhì)點的運動軌跡方程53.2流體流動的速度場速度場——任一瞬時由空間點上速度矢量流體質(zhì)點在x方向上的加速度分量為：上式對時間求導(dǎo)就可得流體質(zhì)點沿運動軌跡的三個速度分量所以同理3.2流體流動的速度場6流體質(zhì)點在x方向上的加速度分量為：上式對時間求導(dǎo)就可得流體表示成矢量形式，即歐拉方法中，流體質(zhì)點的加速度由兩項構(gòu)成當?shù)丶铀俣?固定點上流體質(zhì)點的速度隨時間的變化率，反映了流場的非定常性引起

(b)遷移加速度:流體質(zhì)點運動改變了空間位置而引起的速度變化率，反映了流場的非均勻性3-73.2流體流動的速度場7表示成矢量形式，即歐拉方法中，流體質(zhì)點的加速度由兩項構(gòu)成當?shù)刂苯臃从硡?shù)的空間分布有效截面：在流束中與各流線相垂直的橫截面稱為有效截面。質(zhì)量流量：以Qm表示。4粘性流體的流動形態(tài)【例3-2】有一流場，其流速分布規(guī)律為：u=-ky，v=kx，w=0，試求流線方程。x,y方向的線應(yīng)變率和xy平面內(nèi)的角變形率分別為B=B(x，y，z，t)（1）直徑為d的圓管

d=0.設(shè)圓截面上速度分布

呈拋物線分布即流線簇是以坐標原點為圓心的同心圓102(m）

χ=0.4粘性流體的流動形態(tài)圖中四邊形流體面在運動過程中面積保持不變，對角線與x軸的夾角不斷減小，流體面不斷拉長和變窄。流體力學(xué)最常用的解析方法不能直接反映參數(shù)的空間分布又稱局部法，是以流體質(zhì)點流過空間某個點上時的運動特性，來研究整個流體的運動的。B=B(x，y，z，t)由跡線方程可確定，t=1時刻質(zhì)點A位于x=3/2，y=1位置，

代入流線方程是與流體質(zhì)點無關(guān)的空間坐標值。3.2流體流動的速度場遷移加速度當?shù)丶铀俣?直接反映參數(shù)的空間分布3.2流體流動的速度場遷移加速度當?shù)赜脷W拉法求流體質(zhì)點任意物理量的時間變化率：稱為隨體導(dǎo)數(shù)（質(zhì)點導(dǎo)數(shù)）——表示跟隨流體質(zhì)點的導(dǎo)數(shù)3-8當?shù)貙?dǎo)數(shù)，局部導(dǎo)數(shù)或時變導(dǎo)數(shù)，表示流體質(zhì)點沒有空間位移時，物理量對時間的變化率遷移導(dǎo)數(shù)或位變導(dǎo)數(shù)，表示流體處于不同位置時物理量

對時間的變化率。注：1.遷移導(dǎo)數(shù)雖然是參數(shù)在空間的分布，但并不是參數(shù)對

坐標的導(dǎo)數(shù)，變量仍然是t,通過中間變量x,y,z對時間求導(dǎo)。2.與拉格朗日坐標系下質(zhì)點導(dǎo)數(shù)的比較3.2流體流動的速度場9用歐拉法求流體質(zhì)點任意物理量的時間變化率：稱為隨體導(dǎo)數(shù)（質(zhì)點位移時，物理量對時間的變化率由跡線方程可確定，t=1時刻質(zhì)點A位于x=3/2，y=1位置，

代入流線方程流體微團內(nèi)部沿x方向運動，但是B點和A點流體可能存在x方向上的速度差，C點和A點可能存在y方向上的速度差，如圖。雷諾通過圓管定常流動系列實驗發(fā)現(xiàn)，層流與湍流的轉(zhuǎn)捩不僅僅取決于速度，而是取決于一個組合的無量綱數(shù)——雷諾數(shù)1m的圓管內(nèi)流動，流速V=0.1m的圓管內(nèi)流動，流速V=0.式中n是截面的外法線單位矢量即流線簇是以坐標原點為圓心的同心圓【例】設(shè)平面流場為u=ky,v=0(k為大于零的常數(shù)）。Dh=4Rh=0.在t=0時刻，流線通過原點x=y=0，可得C=0，相應(yīng)的流線方程為面積擴張率：面元的面積在平面內(nèi)的局部瞬時相對擴張速率B=B(x，y，z，t)4粘性流體的流動形態(tài)在t=0時刻，流線通過原點x=y=0，可得C=0，相應(yīng)的流線方程為三維條件繞x軸和y軸的旋轉(zhuǎn)角速度為：質(zhì)量流量：以Qm表示。濕周χ：在總流的有效截面上，流體與固體邊界接觸的長度(3)流線不能突然折轉(zhuǎn)，是一條光滑的連續(xù)曲線。體積流量：以Qv表示。面積擴張率：面元的面積在平面內(nèi)的局部瞬時相對擴張速率是與流體質(zhì)點無關(guān)的空間坐標值。適合描述流體元的運動變形特性直接反映參數(shù)的空間分布而在非定常流動時，一般說來流線要隨時間變化，故流線和跡線不相重合。(4)流線密集的地方，表示流場中該處的流速較大，稀疏的地方，表示該處的流速較小。AB和AC兩條正交直角邊在xy平面內(nèi)的局部瞬時變化速率為【例】已知用歐拉法表示的流場速度分布規(guī)律為將兩個分速度代入流線微分方程有旋流動：流場中存在存在著旋轉(zhuǎn)角速度ω不為零的流動率平均值圖中四邊形流體面在運動過程中面積保持不變，對角線與x軸的夾角不斷減小，流體面不斷拉長和變窄。位移時，物理量對時間的變化率4m/s，水的運動黏度ν=1×10-6m2/s，試問水在管中呈何種流態(tài)？若設(shè)管中的流體是油，流速不變而運動黏度ν=31×10-6m2/s，試問油在管中呈何種流態(tài)？濕周χ：在總流的有效截面上，流體與固體邊界接觸的長度因為B點和A點可能存在y方向上的速度差，而C點和A點可能存在x方向上的速度差使微團旋轉(zhuǎn)。x,y方向的線應(yīng)變率和xy平面內(nèi)的角變形率分別為流束：過流管橫截面上各點作流線，則得到充滿流管的一束流線簇，稱為流束?！纠恳阎脷W拉法表示的流場速度分布規(guī)律為求：在t=0時刻位于點（a,b）的流體質(zhì)點的運動軌跡。【解】由流體質(zhì)點的運動軌跡方程得

積分得：由t=0時刻可得代回積分式，可得流體質(zhì)點軌跡方程為3.2流體流動的速度場10位移時，物理量對時間的變化率(3)流線不能突然折轉(zhuǎn)，是一條【例3-1】已知用速度場u=2x，v=2y,w=0。求質(zhì)點的加速度及流場中（1，1）點的加速度?！窘狻吭冢?，1）點上，3.2流體流動的速度場11【例3-1】已知用速度場u=2x，v=2y,w=0。求2.跡線和流線跡線——某一流體質(zhì)點在不同時刻所占有的空間位置連接成的空間曲線，或流體質(zhì)點的運動軌跡。與拉格朗日法相對應(yīng)其數(shù)學(xué)表達式為：3.2流體流動的速度場122.跡線和流線跡線——某一流體質(zhì)點在不同時刻所占有的空間位置旋轉(zhuǎn)角速度：兩正交線元在xy面內(nèi)繞一點的旋轉(zhuǎn)角速度平均值4粘性流體的流動形態(tài)式中，x,y,z,t稱為歐拉變量。流量：單位時間內(nèi)通過有效截面的流體的量(3)為確定t=1時刻質(zhì)點A的運動方向，需求此時刻過質(zhì)點A所在位置的

流線方程。濕周χ：在總流的有效截面上，流體與固體邊界接觸的長度化率，反映了流場的非定常性引起又稱速度分布。4粘性流體的流動形態(tài)(1)在定常流動時，因為流場中各流體質(zhì)點的速度不隨時間變化，所以通過同一點的流線形狀始終保持不變，因此流線和跡線相重合。直接反映參數(shù)的空間分布三維條件繞x軸和y軸的旋轉(zhuǎn)角速度為：由流線微分方程kydy=0,積分得流線方程率平均值在t=0時刻，流線通過原點x=y=0，可得C=0，相應(yīng)的流線方程為【例3-1】已知用速度場u=2x，v=2y,w=0?！窘狻克俣确植既鐖D所示。Dh=4Rh=0.說明一點鄰域內(nèi)的流體作順時針旋轉(zhuǎn)（形成速度線形增長的基礎(chǔ)）。B=B(x，y，z，t)當?shù)丶铀俣?固定點上流體質(zhì)點的速度隨時間的變遷移導(dǎo)數(shù)或位變導(dǎo)數(shù)，表示流體處于不同位置時物理量

對時間的變化率。將兩個分速度代入流線微分方程流線——某一時刻，各點的切線方向與通過該點的流體質(zhì)點速度方向相同的曲線。其數(shù)學(xué)表達式為：3.2流體流動的速度場13旋轉(zhuǎn)角速度：兩正交線元在xy面內(nèi)繞一點的旋轉(zhuǎn)角速度平均值流3.2流體流動的速度場143.2流體流動的速度場143.2流體流動的速度場流線的基本特性(1)在定常流動時，因為流場中各流體質(zhì)點的速度不隨時間變化，所以通過同一點的流線形狀始終保持不變，因此流線和跡線相重合。而在非定常流動時，一般說來流線要隨時間變化，故流線和跡線不相重合。(2)通過某一空間點在給定瞬間只能有一條流線，一般情況流線不能相交和分支。（駐點或奇點除外）(3)流線不能突然折轉(zhuǎn)，是一條光滑的連續(xù)曲線。(4)流線密集的地方，表示流場中該處的流速較大，稀疏的地方，表示該處的流速較小。153.2流體流動的速度場流線的基本特性(1)在定常流動時，3.2流體流動的速度場【例3-2】有一流場，其流速分布規(guī)律為：u=-ky，v=kx，w=0，試求流線方程?！窘狻坑捎趙=0，所以是二維流動，二維流動的流線方程微分為將兩個分速度代入流線微分方程積分上式得到即流線簇是以坐標原點為圓心的同心圓163.2流體流動的速度場【例3-2】有一流場，其流速分布【例】已知不定常流常速度場為u=t+1,v=1，t=0時刻流體質(zhì)點A位于原點。求：（1）質(zhì)點A的跡線方程；

（2）t=0時刻過原點的流線方程；

（3）t=1時刻質(zhì)點A的運動方向【解】(1)由跡線方程式，積分可得t=0時質(zhì)點A位于x=y=0，得c1=c2=0。質(zhì)點A的跡線方程為消去參數(shù)t可得(a)3.2流體流動的速度場17【例】已知不定常流常速度場為u=t+1,v=1，上式表明質(zhì)點A的跡線是一條以（－1/2，－1）為頂點，且通過原點的拋物線（見圖）。（2）由流線微分方程式，積分可得在t=0時刻，流線通過原點x=y=0，可得C=0，相應(yīng)的流線方程為x=y這是過原點的一、三象限角平分線，與質(zhì)點A的跡線在原點相切（見圖）。(b)(c)3.2流體流動的速度場18上式表明質(zhì)點A的跡線是一條以（－1/2，－1）(3)為確定t=1時刻質(zhì)點A的運動方向，需求此時刻過質(zhì)點A所在位置的

流線方程。由跡線方程可確定，t=1時刻質(zhì)點A位于x=3/2，y=1位置，

代入流線方程可得C=－1/4t=1時刻過流體質(zhì)點A所在位置的流線方程為x=2y－1/2

上式是一條與流體質(zhì)點A的跡線相切于（3/2，1）點的斜直線，運動方向為沿該直線朝x,y值增大方向。討論：以上可見，不定常流動中跡線與流線不重合；不同時刻通過某固定點的流線可以不同（見b式），通過某流體質(zhì)點所在位置的流線也可以不同（見c和d式）。(d)3.2流體流動的速度場19(3)為確定t=1時刻質(zhì)點A的運動方向，需求此時刻過質(zhì)點3.流管、流束和總流流管：在流場中任取一條不是流線的封閉曲線，通過曲線上各點作流線，這些流線組成一個管狀表面，稱之為流管。流管表面上流體的速度與流管表面平行，即流管表面法向單位向量n與該點的速度V相垂直。流管方程為：流體質(zhì)點不能穿過流管流入或流出。流束：過流管橫截面上各點作流線，則得到充滿流管的一束流線簇，稱為流束。有效截面：在流束中與各流線相垂直的橫截面稱為有效截面。也稱為過流斷面。3.2流體流動的速度場203.流管、流束和總流流管：在流場中任取一條不是流線的封閉曲3.2流體流動的速度場213.2流體流動的速度場214.流量和平均流速流量：單位時間內(nèi)通過有效截面的流體的量體積流量：以Qv表示。單位為m3/s質(zhì)量流量：以Qm表示。單位為kg/s對于在流管有效截面上流速不等的流動，其體積流量為當流速與截面A不垂直時，體積流量變?yōu)槭街衝是截面的外法線單位矢量3.2流體流動的速度場224.流量和平均流速流量：單位時間內(nèi)通過有效截面的流體的量體平均流速：平均流速是一個假想的流速，即假定在有效截面上各點都以相同的流速流過，這時通過該有效截面上的體積流量與各點以真實流速流動時所得到的體積流量相同。3.2流體流動的速度場對于非圓截面管道引入濕周、水力半徑和當量直徑概念濕周χ：在總流的有效截面上，流體與固體邊界接觸的長度水力半徑Rh：總流的有效截面面積與濕周之比當量直徑Dh：4倍的水力半徑23平均流速：平均流速是一個假想的流速，即假定在有效截面上各點都【例】已知:粘性流體在圓管（半徑R）內(nèi)作定常流動。設(shè)圓截面上速度分布

呈拋物線分布求：（1）流量Q的表達式；（2）截面上平均速度V

其中um截面速度分布的最大速度?！窘狻苛髁坑嬎銜rdA=2πrdr，拋物線分布的流量為其平均速度為：3.2流體流動的速度場24【例】已知:粘性流體在圓管（半徑R）內(nèi)作定常流動。設(shè)圓截面上3.2流體流動的速度場【例3-3】直徑為d的圓形管道，邊長為a的正方形管道和高為h,寬為3h的矩形管道，具有相同的有效截面積A0=0.0314m2，分別求出這三種充滿流體的管道的濕周χ、水力半徑Rh和當量直徑Dh，并說明那種管道最省材料（1）直徑為d的圓管

d=0.20(m）

χ=πd=0.628(m)

Rh

=A0/χ=0.05(m)Dh=4Rh=0.2(m)=d（2）邊長為a正方形

d=0.177(m）

χ=4a=0.708(m)

Rh=A0/χ=0.044(m)Dh=4Rh=0.177(m)【解】（3）高為h的長方形

h=0.102(m）

χ=0.816(m)

Rh=A0/χ=0.038(m)Dh=4Rh=0.153(m)圓形截面濕周最小，過流截面積最大，最省料253.2流體流動的速度場【例3-3】直徑為d的圓形管道，邊長3.3流體微團運動分析1.亥姆霍茲速度分解定理

在

xy平面流場中，M0點的速度為在x方向上的速度為u0，則利用流體參數(shù)的連續(xù)性用泰勒展開可以得到鄰近的M點的速度在x方向的分量u可表示為旋轉(zhuǎn)速率線變形速率角變形速率

M0平移速度

M相對M0的速度263.3流體微團運動分析1.亥姆霍茲速度分解定理在xy2.流體微團運動分析（1）平移運動表現(xiàn)為流體微團整體從ABC點運動平移運動到A'B'C'點，微團內(nèi)部任一流體質(zhì)點在x,y方向上的速度均為u,v，不存在速度梯度。3.3流體微團運動分析xy272.流體微團運動分析（1）平移運動表現(xiàn)為流體微團整體從A（2）線變形運動流體微團內(nèi)部沿x方向運動，但是B點和A點流體可能存在x方向上的速度差，C點和A點可能存在y方向上的速度差，如圖。3.3流體微團運動分析xy28（2）線變形運動流體微團內(nèi)部沿x方向運動，但是B點和A點線變形速率：單位時間、單位長度的伸長（縮短）率3.3流體微團運動分析同理y和z方向上的線變形速率為面積擴張率：面元的面積在平面內(nèi)的局部瞬時相對擴張速率體積膨脹率：體元的體積在空間的局部瞬時相對膨脹速率不可壓縮流體的速度散度——面積擴張率和體積膨脹率為零速度的散度29線變形速率：單位時間、單位長度的伸長（縮短）率3.3流體微【例3-1】已知用速度場u=2x，v=2y,w=0。式中，x,y,z,t稱為歐拉變量。的速度變化率，反映了流場的非均勻性在xy平面流場中，M0點的速度為在x方向上的速度為u0，則利用流體參數(shù)的連續(xù)性用泰勒展開可以得到鄰近的M點的速度在x方向的分量u可表示為由跡線方程可確定，t=1時刻質(zhì)點A位于x=3/2，y=1位置，

代入流線方程這是過原點的一、三象限角平分線，與質(zhì)點A的跡線在原點相切（見圖）。708(m)

Rh=A0/χ=0.εyx>0，流體自左向右流動時正交線元的夾角不斷減小。（1）直徑為d的圓管

d=0.不可壓縮流體的速度散度——面積擴張率和體積膨脹率為零177(m）

χ=4a=0.其中V流速，d特征長度，ρ流體密度、μ粘度流管表面上流體的速度與流管表面平行，即流管表面法向單位向量n與該點的速度V相垂直。不可壓縮流體的速度散度——面積擴張率和體積膨脹率為零B=B(x，y，z，t)【例3-1】已知用速度場u=2x，v=2y,w=0。說明一點鄰域內(nèi)的流體作順時針旋轉(zhuǎn)（形成速度線形增長的基礎(chǔ)）。在t=0時刻，流線通過原點x=y=0，可得C=0，相應(yīng)的流線方程為（3）旋轉(zhuǎn)運動因為B點和A點可能存在y方向上的速度差，而C點和A點可能存在x方向上的速度差使微團旋轉(zhuǎn)。如圖。3.3流體微團運動分析xy30【例3-1】已知用速度場u=2x，v=2y,w=0。（旋轉(zhuǎn)角速度：兩正交線元在xy面內(nèi)繞一點的旋轉(zhuǎn)角速度平均值

3.3流體微團運動分析規(guī)定逆時針方向旋轉(zhuǎn)為正，則

AB邊的旋轉(zhuǎn)角速度為AC邊的旋轉(zhuǎn)角速度為表現(xiàn)為流體微團兩條正交邊的角平分線在xy面內(nèi)繞一點的旋轉(zhuǎn)角速度

31旋轉(zhuǎn)角速度：兩正交線元在xy面內(nèi)繞一點的旋轉(zhuǎn)角速度平均值渦量寫成矢量為：——速度的旋度流動無旋流動有旋3.3流體微團運動分析三維條件繞x軸和y軸的旋轉(zhuǎn)角速度為：32渦量寫成矢量為：——速度的旋度流動無旋流動有旋3.3流體微（4）角變形運動僅用旋轉(zhuǎn)運動并不能完全描述流體微團的變形運動，如圖所示，若3.3流體微團運動分析則旋轉(zhuǎn)角速度為零，表現(xiàn)為流體微團的角平分線不產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)，但是AB和AC間的夾角改變了。xy33（4）角變形運動僅用旋轉(zhuǎn)運動并不能完全描述流體微團的變形運動角變形速率：兩正交線元的與角平分線夾角在xy平面內(nèi)的局部瞬時變化速率平均值同理：3.3流體微團運動分析AB和AC兩條正交直角邊在xy平面內(nèi)的局部瞬時變化速率為34角變形速率：兩正交線元的與角平分線夾角在xy平面內(nèi)的局部所以，對于流體微團在三維空間的運動，速度可以寫為3.3流體微團運動分析35所以，對于流體微團在三維空間的運動，速度可以寫為3.3流體3.有旋流動的描述有旋流動：流場中存在存在著旋轉(zhuǎn)角速度ω不為零的流動窩量場：旋轉(zhuǎn)角速度ω或者Ω在流場中的分布渦線：線上任意點的切線方向與該點的渦量方向一致的假想曲線，渦線

組成的集束稱為渦束

渦線的方程，由得到：3.3流體微團運動分析363.有旋流動的描述有旋流動：流場中存在存在著旋轉(zhuǎn)角速度ω不【例】設(shè)平面流場為u=ky,v=0(k為大于零的常數(shù)）。

試分析該流場的運動學(xué)特征。【解】速度分布如圖所示。由流線微分方程kydy=0,積分得流線方程y=C說明流線是平行于x軸的直線族。x,y方向的線應(yīng)變率和xy平面內(nèi)的角變形率分別為線元既不伸長也不縮短，互相正交的線元隨時間增長夾角不斷變化。εyx>0，流體自左向右流動時正交線元的夾角不斷減小。3.3流體微團運動分析37【例】設(shè)平面流場為u=ky,v=0(k為大于零的常數(shù)）。流體的旋轉(zhuǎn)角速度為說明一點鄰域內(nèi)的流體作順時針旋轉(zhuǎn)（形成速度線形增長的基礎(chǔ)）。面積擴張率為屬不可壓縮流動。圖中四邊形流體面在運動過程中面積保持不變，對角線與x軸的夾角不斷減小，流體面不斷拉長和變窄。3.3流體微團運動分析38流體的旋轉(zhuǎn)角速度為說明一點鄰域內(nèi)的流體作順時針旋轉(zhuǎn)（形成3.4粘性流體的流動形態(tài)1.雷諾實驗

雷諾實驗裝置393.4粘性流體的流動形態(tài)1.雷諾實驗雷諾實驗裝置39直接反映參數(shù)的空間分布【例】設(shè)平面流場為u=ky,v=0(k為大于零的常數(shù)）。x,y方向的線應(yīng)變率和xy平面內(nèi)的角變形率分別為(3)為確定t=1時刻質(zhì)點A的運動方向，需求此時刻過質(zhì)點A所在位置的

流線方程。4粘性流體的流動形態(tài)跡線——某一流體質(zhì)點在不同時刻所占有的空間位置連接成亥姆霍茲速度分解定理AB和AC兩條正交直角邊在xy平面內(nèi)的局部瞬時變化速率為流量：單位時間內(nèi)通過有效截面的流體的量4粘性流體的流動形態(tài)圖中四邊形流體面在運動過程中面積保持不變，對角線與x軸的夾角不斷減小，流體面不斷拉長和變窄。率平均值4粘性流體的流動形態(tài)測速信號發(fā)生間歇性脈動，說明流動開始向不穩(wěn)定狀態(tài)轉(zhuǎn)變；則旋轉(zhuǎn)角速度為零，表現(xiàn)為流體微團的角平分線不產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)，但是AB和AC間的夾角改變了。而在非定常流動時，一般說來流線要隨時間變化，故流線和跡線不相重合。流體質(zhì)點不能穿過流管流入或流出。圖中四邊形流體面在運動過程中面積保持不變，對角線與x軸的夾角不斷減小，流體面不斷拉長和變窄。3.4粘性流體的流動形態(tài)（1）當速度較小時，染液線為一條平滑直線；測速信號也是一條平滑直線；hf與V呈線性關(guān)系（2）當速度逐漸增大后，染液開始波動；測速信號發(fā)生間歇性脈動，說明流動開始向不穩(wěn)定狀態(tài)轉(zhuǎn)變；hf與V關(guān)系不確定實驗結(jié)果（3）當速度繼續(xù)增大后，染液線突然變得模糊，并彌散到整個管內(nèi)；測速信號變?yōu)檫B續(xù)不斷的隨機脈；hf與V的1.75～2次方成正比40直接反映參數(shù)的空間分布3.4粘性流體的流動形態(tài)（1）當速度3.4粘性流體的流動形態(tài)

過渡區(qū)湍流區(qū)413.4粘性流體的流動形態(tài)

過渡區(qū)湍流區(qū)412.雷諾準則

雷諾通過圓管定常流動系列實驗發(fā)現(xiàn)，層流與湍流的轉(zhuǎn)捩不僅僅取決于速度，而是取決于一個組合的無量綱數(shù)——雷諾數(shù)其中V流速，d特征長度，ρ流體密度、μ粘度圓管臨界雷諾數(shù)當Re<2300時流動必為層流，Re>2300時將發(fā)生湍流。

3.4粘性流體的流動形態(tài)上臨界雷諾數(shù)：流體流動從層流完全轉(zhuǎn)變?yōu)橥牧鞯睦字Z數(shù)下臨界雷諾數(shù)：流體流動從湍流完全轉(zhuǎn)變?yōu)閷恿鞯睦字Z數(shù)422.雷諾準則雷諾通過圓管定常流動系列實驗發(fā)現(xiàn)【例3-4】水在內(nèi)徑d=0.1m的圓管內(nèi)流動，流速V=0.4m/s，水的運動黏度ν=1×10-6m2/s，試問水在管中呈何種流態(tài)？若設(shè)管中的流體是油，流速不變而運動黏度ν=31×10-6m2/s，試問油在管中呈何種流態(tài)？【解】水的流動雷諾數(shù)水在管中呈湍流狀態(tài)油的流動雷諾數(shù)油在管中呈層流狀態(tài)3.4粘性流體的流動形態(tài)43【例3-4】水在內(nèi)徑d=0.1m的圓管內(nèi)流動，流速V=0.708(m)

Rh=A0/χ=0.流管表面上流體的速度與流管表面平行，即流管表面法向單位向量n與該點的速度V相垂直。B=B(x，y，z，t)(4)流線密集的地方，表示流場中該處的流速較大，稀疏的地方，表示該處的流速較小。濕周χ：在總流的有效截面上，流體與固體邊界接觸的長度4粘性流體的流動形態(tài)在xy平面流場中，M0點的速度為在x方向上的速度為u0，則利用流體參數(shù)的連續(xù)性用泰勒展開可以得到鄰近的M點的速度在x方向的分量u可表示為不能直接反映參數(shù)的空間分布因為B點和A點可能存在y方向上的速度差，而C點和A點可能存在x方向上的速度差使微團旋轉(zhuǎn)。（2）截面上平均速度V（2）由流線微分方程式，濕周χ：在總流的有效截面上，流體與固體邊界接觸的長度當?shù)丶铀俣?固定點上流體質(zhì)點的速度隨時間的變式中n是截面的外法線單位矢量628(m)

Rh=A0/χ=0.有旋流動：流場中存在存在著旋轉(zhuǎn)角速度ω不為零的流動討論：以上可見，不定常流動中跡線與流線不重合；由跡線方程可確定，t=1時刻質(zhì)點A位于x=3/2，y=1位置，

代入流線方程不同時刻通過某固定點的流線可以不同（見b式），通過某流體質(zhì)點所在位置的流線也可以不同（見c和d式）。上式表明質(zhì)點A的跡線是一條以（－1/2，－1）為頂點，且通過原點的拋物線（見圖）。面積擴張率：面元的面積在平面內(nèi)的局部瞬時相對擴張速率直接反映參數(shù)的空間分布而在非定常流動時，一般說來流線要隨時間變化，故流線和跡線不相重合。由跡線方程可確定，t=1時刻質(zhì)點A位于x=3/2，y=1位置，

代入流線方程Dh=4Rh=0.上式對時間求導(dǎo)就可得流體質(zhì)點沿運動軌跡的三個速度分量177(m）

χ=4a=0.628(m)

Rh=A0/χ=0.這是過原點的一、三象限角平分線，與質(zhì)點A的跡線在原點相切（見圖）。在xy平面流場中，M0點的速度為在x方向上的速度為u0，則利用流體參數(shù)的連續(xù)性用泰勒展開可以得到鄰近的M點的速度在x方向的分量u可表示為t=0時質(zhì)點A位于x=y=0，得c1=c2=0。4粘性流體的流動形態(tài)由跡線方程可確定，t=1時刻質(zhì)點A位于x=3/2，y=1位置，

代入流線方程位移時，物理量對時間的變化率質(zhì)量流量：以Qm表示。將兩個分速度代入流線微分方程4粘性流體的流動形態(tài)x，y，z值不變，改變t，表示空間某固定點的速度隨時間的變化規(guī)律。不可壓縮流體的速度散度——面積擴張率和體積膨脹率為零適合描述流體元的運動變形特性有效截面：在流束中與各流線相垂直的橫截面稱為有效截面。由跡線方程可確定，t=1時刻質(zhì)點A位于x=3/2，y=1位置，

代入流線方程AB和AC兩條正交直角邊在xy平面內(nèi)的局部瞬時變化速率為求：在t=0時刻位于點（a,b）的流體質(zhì)點的運動軌跡?！窘狻坑捎趙=0，所以是二維流動，二維流動的流線方程微分為【例】已知:粘性流體在圓管（半徑R）內(nèi)作定常流動。優(yōu)選第三章流體流動特性【例3-1】已知用速度場u=2x，v=2y,w=0。t=0時質(zhì)點A位于x=y=0，得c1=c2=0。體積流量：以Qv表示。在直角坐標系中采用歐拉方法描述的速度函數(shù)為流束：過流管橫截面上各點作流線，則得到充滿流管的一束流線簇，稱為流束。B=B(x，y，z，t)流體力學(xué)最常用的解析方法試分析該流場的運動學(xué)特征。位移時，物理量對時間的變化率由跡線方程可確定，t=1時刻質(zhì)點A位于x=3/2，y=1位置，

代入流線方程x，y，z值不變，改變t，表示空間某固定點的速度隨時間的變化規(guī)律。B=B(x，y，z，t)x，y，z值不變，改變t，表示空間某固定點的速度隨時間的變化規(guī)律。所以，對于流體微團在三維空間的運動，速度可以寫為求質(zhì)點的加速度及流場中（1，1）點的加速度。由跡線方程可確定，t=1時刻質(zhì)點A位于x=3/2，y=1位置，

代入流線方程的空間曲線，或流體質(zhì)點的運動軌跡。AB和AC兩條正交直角邊在xy平面內(nèi)的局部瞬時變化速率為流體的旋轉(zhuǎn)角速度為這是過原點的一、三象限角平分線，與質(zhì)點A的跡線在原點相切（見圖）。B=B(x，y，z，t)線元既不伸長也不縮短，互相正交的線元隨時間增長夾角不斷變化。不同時刻通過某固定點的流線可以不同（見b式），通過某流體質(zhì)點所在位置的流線也可以不同（見c和d式）。(3)為確定t=1時刻質(zhì)點A的運動方向，需求此時刻過質(zhì)點A所在位置的

流線方程。其中V流速，d特征長度，ρ流體密度、μ粘度的速度變化率，反映了流場的非均勻性（1）當速度較小時，染液線為一條平滑直線；AB和AC兩條正交直角邊在xy平面內(nèi)的局部瞬時變化速率為將兩個分速度代入流線微分方程不可壓縮流體的速度散度——面積擴張率和體積膨脹率為零速度場——任一瞬時由空間點上速度矢量構(gòu)成的場，【例3-2】有一流場，其流速分布規(guī)律為：u=-ky，v=kx，w=0，試求流線方程。說明一點鄰域內(nèi)的流體作順時針旋轉(zhuǎn)（形成速度線形增長的基礎(chǔ)）。表現(xiàn)為流體微團整體從ABC點運動平移運動到A'B'C'點，微團內(nèi)部任一流體質(zhì)點在x,y方向上的速度均為u,v，不存在速度梯度。1m的圓管內(nèi)流動，流速V=0.討論：以上可見，不定常流動中跡線與流線不重合；圖中四邊形流體面在運動過程中面積保持不變，對角線與x軸的夾角不斷減小，流體面不斷拉長和變窄。圓形截面濕周最小，過流截面積最大，最省料x,y方向的線應(yīng)變率和xy平面內(nèi)的角變形率分別為B=B(x，y，z，t)εyx>0，流體自左向右流動時正交線元的夾角不斷減小。【例】設(shè)平面流場為u=ky,v=0(k為大于零的常數(shù)）。式中n是截面的外法線單位矢量流體質(zhì)點不能穿過流管流入或流出。速度場——任一瞬時由空間點上速度矢量構(gòu)成的場，4粘性流體的流動形態(tài)B=B(x，y，z，t)跡線——某一流體質(zhì)點在不同時刻所占有的空間位置連接成式中n是截面的外法線單位矢量4粘性流體的流動形態(tài)圖中四邊形流體面在運動過程中面積保持不變，對角線與x軸的夾角不斷減小，流體面不斷拉長和變窄。177(m）

χ=4a=0.所以，對于流體微團在三維空間的運動，速度可以寫為跡線——某一流體質(zhì)點在不同時刻所占有的空間位置連接成將兩個分速度代入流線微分方程在t=0時刻，流線通過原點x=y=0，可得C=0，相應(yīng)的流線方程為濕周χ：在總流的有效截面上，流體與固體邊界接觸的長度速度場——任一瞬時由空間點上速度矢量構(gòu)成的場，跡線——某一流體質(zhì)點在不同時刻所占有的空間位置連接成B=B(x，y，z，t)流量：單位時間內(nèi)通過有效截面的流體的量討論：以上可見，不定常流動中跡線與流線不重合；【解】(1)由跡線方程式，t=1時刻過流體質(zhì)點A所在位置的流線方程為圖中四邊形流體面在運動過程中面積保持不變，對角線與x軸的夾角不斷減小，流體面不斷拉長和變窄。因為B點和A點可能存在y方向上的速度差，而C點和A點可能存在x方向上的速度差使微團旋轉(zhuǎn)。B=B(x，y，z，t)4粘性流體的流動形態(tài)是與流體質(zhì)點無關(guān)的空間坐標值。與拉格朗日坐標系下質(zhì)點導(dǎo)數(shù)的比較位移時，物理量對時間的變化率【解】速度分布如圖所示。由跡線方程可確定，t=1時刻質(zhì)點A位于x=3/2，y=1位置，

代入流線方程【例3-1】已知用速度場u=2x，v=2y,w=0。其中um截面速度分布的最大速度。4粘性流體的流動形態(tài)在xy平面流場中，M0點的速度為在x方向上的速度為u0，則利用流體參數(shù)的連續(xù)性用泰勒展開可以得到鄰近的M點的速度在x方向的分量u可表示為【解】(1)由跡線方程式，4粘性流體的流動形態(tài)【例】設(shè)平面流場為u=ky,v=0(k為大于零的常數(shù)）。Dh=4Rh=0.εyx>0，流體自左向右流動時正交線元的夾角不斷減小。不同時刻通過某固定點的流線可以不同（見b式），通過某流體質(zhì)點所在位置的流線也可以不同（見c和d式）。流體力學(xué)最常用的解析方法是與流體質(zhì)點無關(guān)的空間坐標值。當量直徑Dh：4倍的水力半徑4m/s，水的運動黏度ν=1×10-6m2/s，試問水在管中呈何種流態(tài)？若設(shè)管中的流體是油，流速不變而運動黏度ν=31×10-6m2/s，試問油在管中呈何種流態(tài)？圖中四邊形流體面在運動過程中面積保持不變，對角線與x軸的夾角不斷減小，流體面不斷拉長和變窄。優(yōu)選第三章流體流動特性【解】速度分布如圖所示。上式對時間求導(dǎo)就可得流體質(zhì)點沿運動軌跡的三個速度分量稱為隨體導(dǎo)數(shù)（質(zhì)點導(dǎo)數(shù)）——表示跟隨流體質(zhì)點的導(dǎo)數(shù)不可壓縮流體的速度散度——面積擴張率和體積膨脹率為零說明一點鄰域內(nèi)的流體作順時針旋轉(zhuǎn)（形成速度線形增長的基礎(chǔ)）。B=B(x，y，z，t)當?shù)貙?dǎo)數(shù)，局部導(dǎo)數(shù)或時變導(dǎo)數(shù)，表示流體質(zhì)點沒有空間4粘性流體的流動形態(tài)【例】設(shè)平面流場為u=ky,v=0(k為大于零的常數(shù)）。由跡線方程可確定，t=1時刻質(zhì)點A位于x=3/2，y=1位置，

代入流線方程4粘性流體的流動形態(tài)4粘性流體的流動形態(tài)3.5流體流動的分類1.流動的分類44708(m)

Rh=A0/χ=0.而在非第三章流體流動特性第三章流體流動特性優(yōu)選第三章流體流動特性46優(yōu)選第三章流體流動特性22.歐拉法又稱局部法，是以流體質(zhì)點流過空間某個點上時的運動特性，來研究整個流體的運動的。所以流體質(zhì)點的流動是空間點坐標（x，y，z）和時間t的函數(shù)，任一參量B可以表示為B=B(x，y，z，t)式中，x,y,z,t稱為歐拉變量。是與流體質(zhì)點無關(guān)的空間坐標值。

x，y，z值不變，改變t，表示空間某固定點的速度隨時間的變化規(guī)律。

t不變，改變x，y，z，代表某一時刻，空間各點的速度分布。3.1流場及其描述方法472.歐拉法又稱局部法，是以流體質(zhì)點流過空間某個點上時的運3.兩種方法的比較

3.1流場及其描述方法拉格朗日法歐拉法表達式復(fù)雜表達式簡單不能直接反映參數(shù)的空間分布直接反映參數(shù)的空間分布不適合描述流體元的運動變形特性適合描述流體元的運動變形特性拉格朗日觀點是重要的流體力學(xué)最常用的解析方法分別描述有限質(zhì)點的軌跡同時描述所有質(zhì)點的瞬時參數(shù)483.兩種方法的比較

3.1流場及其描述方法拉格3.2流體流動的速度場速度場——任一瞬時由空間點上速度矢量構(gòu)成的場，又稱速度分布。1.流體質(zhì)點運動的速度和加速度

在直角坐標系中采用歐拉方法描述的速度函數(shù)為

對于具體的流體質(zhì)點來說x，y，z有雙重意義：一方面它代表流場的空間坐標，另一方面它代表流體質(zhì)點在空間的位移。也就是說，空間坐標x，y，z也是流體質(zhì)點位移的變量，它也是時間t的函數(shù)x=x(t)y=y(t)z=z(t)——流體質(zhì)點的運動軌跡方程493.2流體流動的速度場速度場——任一瞬時由空間點上速度矢量流體質(zhì)點在x方向上的加速度分量為：上式對時間求導(dǎo)就可得流體質(zhì)點沿運動軌跡的三個速度分量所以同理3.2流體流動的速度場50流體質(zhì)點在x方向上的加速度分量為：上式對時間求導(dǎo)就可得流體表示成矢量形式，即歐拉方法中，流體質(zhì)點的加速度由兩項構(gòu)成當?shù)丶铀俣?固定點上流體質(zhì)點的速度隨時間的變化率，反映了流場的非定常性引起

(b)遷移加速度:流體質(zhì)點運動改變了空間位置而引起的速度變化率，反映了流場的非均勻性3-73.2流體流動的速度場51表示成矢量形式，即歐拉方法中，流體質(zhì)點的加速度由兩項構(gòu)成當?shù)刂苯臃从硡?shù)的空間分布有效截面：在流束中與各流線相垂直的橫截面稱為有效截面。質(zhì)量流量：以Qm表示。4粘性流體的流動形態(tài)【例3-2】有一流場，其流速分布規(guī)律為：u=-ky，v=kx，w=0，試求流線方程。x,y方向的線應(yīng)變率和xy平面內(nèi)的角變形率分別為B=B(x，y，z，t)（1）直徑為d的圓管

d=0.設(shè)圓截面上速度分布

呈拋物線分布即流線簇是以坐標原點為圓心的同心圓102(m）

χ=0.4粘性流體的流動形態(tài)圖中四邊形流體面在運動過程中面積保持不變，對角線與x軸的夾角不斷減小，流體面不斷拉長和變窄。流體力學(xué)最常用的解析方法不能直接反映參數(shù)的空間分布又稱局部法，是以流體質(zhì)點流過空間某個點上時的運動特性，來研究整個流體的運動的。B=B(x，y，z，t)由跡線方程可確定，t=1時刻質(zhì)點A位于x=3/2，y=1位置，

代入流線方程是與流體質(zhì)點無關(guān)的空間坐標值。3.2流體流動的速度場遷移加速度當?shù)丶铀俣?2直接反映參數(shù)的空間分布3.2流體流動的速度場遷移加速度當?shù)赜脷W拉法求流體質(zhì)點任意物理量的時間變化率：稱為隨體導(dǎo)數(shù)（質(zhì)點導(dǎo)數(shù)）——表示跟隨流體質(zhì)點的導(dǎo)數(shù)3-8當?shù)貙?dǎo)數(shù)，局部導(dǎo)數(shù)或時變導(dǎo)數(shù)，表示流體質(zhì)點沒有空間位移時，物理量對時間的變化率遷移導(dǎo)數(shù)或位變導(dǎo)數(shù)，表示流體處于不同位置時物理量

對時間的變化率。注：1.遷移導(dǎo)數(shù)雖然是參數(shù)在空間的分布，但并不是參數(shù)對

坐標的導(dǎo)數(shù)，變量仍然是t,通過中間變量x,y,z對時間求導(dǎo)。2.與拉格朗日坐標系下質(zhì)點導(dǎo)數(shù)的比較3.2流體流動的速度場53用歐拉法求流體質(zhì)點任意物理量的時間變化率：稱為隨體導(dǎo)數(shù)（質(zhì)點位移時，物理量對時間的變化率由跡線方程可確定，t=1時刻質(zhì)點A位于x=3/2，y=1位置，

代入流線方程流體微團內(nèi)部沿x方向運動，但是B點和A點流體可能存在x方向上的速度差，C點和A點可能存在y方向上的速度差，如圖。雷諾通過圓管定常流動系列實驗發(fā)現(xiàn)，層流與湍流的轉(zhuǎn)捩不僅僅取決于速度，而是取決于一個組合的無量綱數(shù)——雷諾數(shù)1m的圓管內(nèi)流動，流速V=0.1m的圓管內(nèi)流動，流速V=0.式中n是截面的外法線單位矢量即流線簇是以坐標原點為圓心的同心圓【例】設(shè)平面流場為u=ky,v=0(k為大于零的常數(shù)）。Dh=4Rh=0.在t=0時刻，流線通過原點x=y=0，可得C=0，相應(yīng)的流線方程為面積擴張率：面元的面積在平面內(nèi)的局部瞬時相對擴張速率B=B(x，y，z，t)4粘性流體的流動形態(tài)在t=0時刻，流線通過原點x=y=0，可得C=0，相應(yīng)的流線方程為三維條件繞x軸和y軸的旋轉(zhuǎn)角速度為：質(zhì)量流量：以Qm表示。濕周χ：在總流的有效截面上，流體與固體邊界接觸的長度(3)流線不能突然折轉(zhuǎn)，是一條光滑的連續(xù)曲線。體積流量：以Qv表示。面積擴張率：面元的面積在平面內(nèi)的局部瞬時相對擴張速率是與流體質(zhì)點無關(guān)的空間坐標值。適合描述流體元的運動變形特性直接反映參數(shù)的空間分布而在非定常流動時，一般說來流線要隨時間變化，故流線和跡線不相重合。(4)流線密集的地方，表示流場中該處的流速較大，稀疏的地方，表示該處的流速較小。AB和AC兩條正交直角邊在xy平面內(nèi)的局部瞬時變化速率為【例】已知用歐拉法表示的流場速度分布規(guī)律為將兩個分速度代入流線微分方程有旋流動：流場中存在存在著旋轉(zhuǎn)角速度ω不為零的流動率平均值圖中四邊形流體面在運動過程中面積保持不變，對角線與x軸的夾角不斷減小，流體面不斷拉長和變窄。位移時，物理量對時間的變化率4m/s，水的運動黏度ν=1×10-6m2/s，試問水在管中呈何種流態(tài)？若設(shè)管中的流體是油，流速不變而運動黏度ν=31×10-6m2/s，試問油在管中呈何種流態(tài)？濕周χ：在總流的有效截面上，流體與固體邊界接觸的長度因為B點和A點可能存在y方向上的速度差，而C點和A點可能存在x方向上的速度差使微團旋轉(zhuǎn)。x,y方向的線應(yīng)變率和xy平面內(nèi)的角變形率分別為流束：過流管橫截面上各點作流線，則得到充滿流管的一束流線簇，稱為流束?！纠恳阎脷W拉法表示的流場速度分布規(guī)律為求：在t=0時刻位于點（a,b）的流體質(zhì)點的運動軌跡?！窘狻坑闪黧w質(zhì)點的運動軌跡方程得

積分得：由t=0時刻可得代回積分式，可得流體質(zhì)點軌跡方程為3.2流體流動的速度場54位移時，物理量對時間的變化率(3)流線不能突然折轉(zhuǎn)，是一條【例3-1】已知用速度場u=2x，v=2y,w=0。求質(zhì)點的加速度及流場中（1，1）點的加速度。【解】在（1，1）點上，3.2流體流動的速度場55【例3-1】已知用速度場u=2x，v=2y,w=0。求2.跡線和流線跡線——某一流體質(zhì)點在不同時刻所占有的空間位置連接成的空間曲線，或流體質(zhì)點的運動軌跡。與拉格朗日法相對應(yīng)其數(shù)學(xué)表達式為：3.2流體流動的速度場562.跡線和流線跡線——某一流體質(zhì)點在不同時刻所占有的空間位置旋轉(zhuǎn)角速度：兩正交線元在xy面內(nèi)繞一點的旋轉(zhuǎn)角速度平均值4粘性流體的流動形態(tài)式中，x,y,z,t稱為歐拉變量。流量：單位時間內(nèi)通過有效截面的流體的量(3)為確定t=1時刻質(zhì)點A的運動方向，需求此時刻過質(zhì)點A所在位置的

流線方程。濕周χ：在總流的有效截面上，流體與固體邊界接觸的長度化率，反映了流場的非定常性引起又稱速度分布。4粘性流體的流動形態(tài)(1)在定常流動時，因為流場中各流體質(zhì)點的速度不隨時間變化，所以通過同一點的流線形狀始終保持不變，因此流線和跡線相重合。直接反映參數(shù)的空間分布三維條件繞x軸和y軸的旋轉(zhuǎn)角速度為：由流線微分方程kydy=0,積分得流線方程率平均值在t=0時刻，流線通過原點x=y=0，可得C=0，相應(yīng)的流線方程為【例3-1】已知用速度場u=2x，v=2y,w=0?！窘狻克俣确植既鐖D所示。Dh=4Rh=0.說明一點鄰域內(nèi)的流體作順時針旋轉(zhuǎn)（形成速度線形增長的基礎(chǔ)）。B=B(x，y，z，t)當?shù)丶铀俣?固定點上流體質(zhì)點的速度隨時間的變遷移導(dǎo)數(shù)或位變導(dǎo)數(shù)，表示流體處于不同位置時物理量

對時間的變化率。將兩個分速度代入流線微分方程流線——某一時刻，各點的切線方向與通過該點的流體質(zhì)點速度方向相同的曲線。其數(shù)學(xué)表達式為：3.2流體流動的速度場57旋轉(zhuǎn)角速度：兩正交線元在xy面內(nèi)繞一點的旋轉(zhuǎn)角速度平均值流3.2流體流動的速度場583.2流體流動的速度場143.2流體流動的速度場流線的基本特性(1)在定常流動時，因為流場中各流體質(zhì)點的速度不隨時間變化，所以通過同一點的流線形狀始終保持不變，因此流線和跡線相重合。而在非定常流動時，一般說來流線要隨時間變化，故流線和跡線不相重合。(2)通過某一空間點在給定瞬間只能有一條流線，一般情況流線不能相交和分支。（駐點或奇點除外）(3)流線不能突然折轉(zhuǎn)，是一條光滑的連續(xù)曲線。(4)流線密集的地方，表示流場中該處的流速較大，稀疏的地方，表示該處的流速較小。593.2流體流動的速度場流線的基本特性(1)在定常流動時，3.2流體流動的速度場【例3-2】有一流場，其流速分布規(guī)律為：u=-ky，v=kx，w=0，試求流線方程。【解】由于w=0，所以是二維流動，二維流動的流線方程微分為將兩個分速度代入流線微分方程積分上式得到即流線簇是以坐標原點為圓心的同心圓603.2流體流動的速度場【例3-2】有一流場，其流速分布【例】已知不定常流常速度場為u=t+1,v=1，t=0時刻流體質(zhì)點A位于原點。求：（1）質(zhì)點A的跡線方程；

（2）t=0時刻過原點的流線方程；

（3）t=1時刻質(zhì)點A的運動方向【解】(1)由跡線方程式，積分可得t=0時質(zhì)點A位于x=y=0，得c1=c2=0。質(zhì)點A的跡線方程為消去參數(shù)t可得(a)3.2流體流動的速度場61【例】已知不定常流常速度場為u=t+1,v=1，上式表明質(zhì)點A的跡線是一條以（－1/2，－1）為頂點，且通過原點的拋物線（見圖）。（2）由流線微分方程式，積分可得在t=0時刻，流線通過原點x=y=0，可得C=0，相應(yīng)的流線方程為x=y這是過原點的一、三象限角平分線，與質(zhì)點A的跡線在原點相切（見圖）。(b)(c)3.2流體流動的速度場62上式表明質(zhì)點A的跡線是一條以（－1/2，－1）(3)為確定t=1時刻質(zhì)點A的運動方向，需求此時刻過質(zhì)點A所在位置的

流線方程。由跡線方程可確定，t=1時刻質(zhì)點A位于x=3/2，y=1位置，

代入流線方程可得C=－1/4t=1時刻過流體質(zhì)點A所在位置的流線方程為x=2y－1/2

上式是一條與流體質(zhì)點A的跡線相切于（3/2，1）點的斜直線，運動方向為沿該直線朝x,y值增大方向。討論：以上可見，不定常流動中跡線與流線不重合；不同時刻通過某固定點的流線可以不同（見b式），通過某流體質(zhì)點所在位置的流線也可以不同（見c和d式）。(d)3.2流體流動的速度場63(3)為確定t=1時刻質(zhì)點A的運動方向，需求此時刻過質(zhì)點3.流管、流束和總流流管：在流場中任取一條不是流線的封閉曲線，通過曲線上各點作流線，這些流線組成一個管狀表面，稱之為流管。流管表面上流體的速度與流管表面平行，即流管表面法向單位向量n與該點的速度V相垂直。流管方程為：流體質(zhì)點不能穿過流管流入或流出。流束：過流管橫截面上各點作流線，則得到充滿流管的一束流線簇，稱為流束。有效截面：在流束中與各流線相垂直的橫截面稱為有效截面。也稱為過流斷面。3.2流體流動的速度場643.流管、流束和總流流管：在流場中任取一條不是流線的封閉曲3.2流體流動的速度場653.2流體流動的速度場214.流量和平均流速流量：單位時間內(nèi)通過有效截面的流體的量體積流量：以Qv表示。單位為m3/s質(zhì)量流量：以Qm表示。單位為kg/s對于在流管有效截面上流速不等的流動，其體積流量為當流速與截面A不垂直時，體積流量變?yōu)槭街衝是截面的外法線單位矢量3.2流體流動的速度場664.流量和平均流速流量：單位時間內(nèi)通過有效截面的流體的量體平均流速：平均流速是一個假想的流速，即假定在有效截面上各點都以相同的流速流過，這時通過該有效截面上的體積流量與各點以真實流速流動時所得到的體積流量相同。3.2流體流動的速度場對于非圓截面管道引入濕周、水力半徑和當量直徑概念濕周χ：在總流的有效截面上，流體與固體邊界接觸的長度水力半徑Rh：總流的有效截面面積與濕周之比當量直徑Dh：4倍的水力半徑67平均流速：平均流速是一個假想的流速，即假定在有效截面上各點都【例】已知:粘性流體在圓管（半徑R）內(nèi)作定常流動。設(shè)圓截面上速度分布

呈拋物線分布求：（1）流量Q的表達式；（2）截面上平均速度V

其中um截面速度分布的最大速度?！窘狻苛髁坑嬎銜rdA=2πrdr，拋物線分布的流量為其平均速度為：3.2流體流動的速度場68【例】已知:粘性流體在圓管（半徑R）內(nèi)作定常流動。設(shè)圓截面上3.2流體流動的速度場【例3-3】直徑為d的圓形管道，邊長為a的正方形管道和高為h,寬為3h的矩形管道，具有相同的有效截面積A0=0.0314m2，分別求出這三種充滿流體的管道的濕周χ、水力半徑Rh和當量直徑Dh，并說明那種管道最省材料（1）直徑為d的圓管

d=0.20(m）

χ=πd=0.628(m)

Rh

=A0/χ=0.05(m)Dh=4Rh=0.2(m)=d（2）邊長為a正方形

d=0.177(m）

χ=4a=0.708(m)

Rh=A0/χ=0.044(m)Dh=4Rh=0.177(m)【解】（3）高為h的長方形

h=0.102(m）

χ=0.816(m)

Rh=A0/χ=0.038(m)Dh=4Rh=0.153(m)圓形截面濕周最小，過流截面積最大，最省料693.2流體流動的速度場【例3-3】直徑為d的圓形管道，邊長3.3流體微團運動分析1.亥姆霍茲速度分解定理

在

xy平面流場中，M0點的速度為在x方向上的速度為u0，則利用流體參數(shù)的連續(xù)性用泰勒展開可以得到鄰近的M點的速度在x方向的分量u可表示為旋轉(zhuǎn)速率線變形速率角變形速率

M0平移速度

M相對M0的速度703.3流體微團運動分析1.亥姆霍茲速度分解定理在xy2.流體微團運動分析（1）平移運動表現(xiàn)為流體微團整體從ABC點運動平移運動到A'B'C'點，微團內(nèi)部任一流體質(zhì)點在x,y方向上的速度均為u,v，不存在速度梯度。3.3流體微團運動分析xy712.流體微團運動分析（1）平移運動表現(xiàn)為流體微團整體從A（2）線變形運動流體微團內(nèi)部沿x方向運動，但是B點和A點流體可能存在x方向上的速度差，C點和A點可能存在y方向上的速度差，如圖。3.3流體微團運動分析xy72（2）線變形運動流體微團內(nèi)部沿x方向運動，但是B點和A點線變形速率：單位時間、單位長度的伸長（縮短）率3.3流體微團運動分析同理y和z方向上的線變形速率為面積擴張率：面元的面積在平面內(nèi)的局部瞬時相對擴張速率體積膨脹率：體元的體積在空間的局部瞬時相對膨脹速率不可壓縮流體的速度散度——面積擴張率和體積膨脹率為零速度的散度73線變形速率：單位時間、單位長度的伸長（縮短）率3.3流體微【例3-1】已知用速度場u=2x，v=2y,w=0。式中，x,y,z,t稱為歐拉變量。的速度變化率，反映了流場的非均勻性在xy平面流場中，M0點的速度為在x方向上的速度為u0，則利用流體參數(shù)的連續(xù)性用泰勒展開可以得到鄰近的M點的速度在x方向的分量u可表示為由跡線方程可確定，t=1時刻質(zhì)點A位于x=3/2，y=1位置，

代入流線方程這是過原點的一、三象限角平分線，與質(zhì)點A的跡線在原點相切（見圖）。708(m)

Rh=A0/χ=0.εyx>0，流體自左向右流動時正交線元的夾角不斷減小。（1）直徑為d的圓管

d=0.不可壓縮流體的速度散度——面積擴張率和體積膨脹率為零177(m）

χ=4a=0.其中V流速，d特征長度，ρ流體密度、μ粘度流管表面上流體的速度與流管表面平行，即流管表面法向單位向量n與該點的速度V相垂直。不可壓縮流體的速度散度——面積擴張率和體積膨脹率為零B=B(x，y，z，t)【例3-1】已知用速度場u=2x，v=2y,w=0。說明一點鄰域內(nèi)的流體作順時針旋轉(zhuǎn)（形成速度線形增長的基礎(chǔ)）。在t=0時刻，流線通過原點x=y=0，可得C=0，相應(yīng)的流線方程為（3）旋轉(zhuǎn)運動因為B點和A點可能存在y方向上的速度差，而C點和A點可能存在x方向上的速度差使微團旋轉(zhuǎn)。如圖。3.3流體微團運動分析xy74【例3-1】已知用速度場u=2x，v=2y,w=0。（旋轉(zhuǎn)角速度：兩正交線元在xy面內(nèi)繞一點的旋轉(zhuǎn)角速度平均值

3.3流體微團運動分析規(guī)定逆時針方向旋轉(zhuǎn)為正，則

AB邊的旋轉(zhuǎn)角速度為AC邊的旋轉(zhuǎn)角速度為表現(xiàn)為流體微團兩條正交邊的角平分線在xy面內(nèi)繞一點的旋轉(zhuǎn)角速度

75旋轉(zhuǎn)角速度：兩正交線元在xy面內(nèi)繞一點的旋轉(zhuǎn)角速度平均值渦量寫成矢量為：——速度的旋度流動無旋流動有旋3.3流體微團運動分析三維條件繞x軸和y軸的旋轉(zhuǎn)角速度為：76渦量寫成矢量為：——速度的旋度流動無旋流動有旋3.3流體微（4）角變形運動僅用旋轉(zhuǎn)運動并不能完全描述流體微團的變形運動，如圖所示，若3.3流體微團運動分析則旋轉(zhuǎn)角速度為零，表現(xiàn)為流體微團的角平分線不產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)，但是AB和AC間的夾角改變了。xy77（4）角變形運動僅用旋轉(zhuǎn)運動并不能完全描述流體微團的變形運動角變形速率：兩正交線元的與角平分線夾角在xy平面內(nèi)的局部瞬時變化速率平均值同理：3.3流體微團運動分析AB和AC兩條正交直角邊在xy平面內(nèi)的局部瞬時變化速率為78角變形速率：兩正交線元的與角平分線夾角在xy平面內(nèi)的局部所以，對于流體微團在三維空間的運動，速度可以寫為3.3流體微團運動分析79所以，對于流體微團在三維空間的運動，速度可以寫為3.3流體3.有旋流動的描述有旋流動：流場中存在存在著旋轉(zhuǎn)角速度ω不為零的流動窩量場：旋轉(zhuǎn)角速度ω或者Ω在流場中的分布渦線：線上任意點的切線方向與該點的渦量方向一致的假想曲線，渦線

組成的集束稱為渦束

渦線的方程，由得到：3.3流體微團運動分析803.有旋流動的描述有旋流動：流場中存在存在著旋轉(zhuǎn)角速度ω不【例】設(shè)平面流場為u=ky,v=0(k為大于零的常數(shù)）。

試分析該流場的運動學(xué)特征?！窘狻克俣确植既鐖D所示。由流線微分方程kydy=0,積分得流線方程y=C說明流線是平行于x軸的直線族。x,y方向的線應(yīng)變率和xy平面內(nèi)的角變形率分別為線元既不伸長也不縮短，互相正交的線元隨時間增長夾角不斷變化。εyx>0，流體自左向右流動時正交線元的夾角不斷減小。3.3流體微團運動分析81【例】設(shè)平面流場為u=ky,v=0(k為大于零的常數(shù)）。流體的旋轉(zhuǎn)角速度為說明一點鄰域內(nèi)的流體作順時針旋轉(zhuǎn)（形成速度線形增長的基礎(chǔ)）。面積擴張率為屬不可壓縮流動。圖中四邊形流體面在運動過程中面積保持不變，對角線與x軸的夾角不斷減小，流體面不斷拉長和變窄。3.3流體微團運動分析82流體的旋轉(zhuǎn)角速度為說明一點鄰域內(nèi)的流體作順時針旋轉(zhuǎn)（形成3.4粘性流體的流動形態(tài)1.雷諾實驗

雷諾實驗裝置833.4粘性流體的流動形態(tài)1.雷諾實驗雷諾實驗裝置39直接反映參數(shù)的空間分布【例】設(shè)平面流場為u=ky,v=0(k為大于零的常數(shù)）。x,y方向的線應(yīng)變率和xy平面內(nèi)的角變形率分別為(3)為確定t=1時刻質(zhì)點A的運動方向，需求此時刻過質(zhì)點A所在位置的

流線方程。4粘性流體的流動形態(tài)跡線——某一流體質(zhì)點在不同時刻所占有的空間位置連接成亥姆霍茲速度分解定理AB和AC兩條正交直角邊在xy平面內(nèi)的局部瞬時變化速率為流量：單位時間內(nèi)通過有效截面的流體的量4粘性流體的流動形態(tài)圖中四邊形流體面在運動過程中面積保持不變，對角線與x軸的夾角不斷減小，流體面不斷拉長和變窄。率平均值4粘性流體的流動形態(tài)測速信號發(fā)生間歇性脈動，說明流動開始向不穩(wěn)定狀態(tài)轉(zhuǎn)變；則旋轉(zhuǎn)角速度為零，表現(xiàn)為流體微團的角平分線不產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)，但是AB和AC間的夾角改變了。而在非定常流動時，一般說來流線要隨時間變化，故流線和跡線不相重合。流體質(zhì)點不能穿過流管流入或流出。圖中四邊形流體面在運動過程中面積保持不變，對角線與x軸的夾角不斷減小，流體面不斷拉長和變窄。3.4粘性流體的流動形態(tài)（1）當速度較小時，染液線為一條平滑直線；測速信號也是一條平滑直線；hf與V呈線性關(guān)系（2）當速度逐漸增大后，染液開始波動；測速信號發(fā)生間歇性脈動，說明流動開始向不穩(wěn)定狀態(tài)轉(zhuǎn)變；hf與V關(guān)系不確定實驗結(jié)果（3）當速度繼續(xù)增大后，染液線突然變得模糊，并彌散到整個管內(nèi)；測速信號變?yōu)檫B續(xù)不斷的隨機脈；hf與V的1.75～2次方成正比84直接反映參數(shù)的空間分布3.4粘性流體的流動形態(tài)（1）當速度3.4粘性流體的流動形態(tài)

過渡區(qū)湍流區(qū)853.4粘性流體的流動形態(tài)

過渡區(qū)湍流區(qū)412.雷諾準則

雷諾通過圓管定常流動系列實驗發(fā)現(xiàn)，層流與湍流的轉(zhuǎn)捩不僅僅取決于速度，而是取決于一個組合的無量綱數(shù)——雷諾數(shù)其中V流速，d特征長度，ρ流體密度、μ粘度圓管臨界雷諾數(shù)當Re<2300時流動必為層流，Re>2300時將發(fā)生湍流。

3.4粘性流體的流動形態(tài)上臨界雷諾數(shù)：流體流動從層流完全轉(zhuǎn)變?yōu)橥牧鞯睦字Z數(shù)下臨界雷諾數(shù)：流體流動從湍流完全轉(zhuǎn)變?yōu)閷恿鞯睦字Z數(shù)862.雷諾準則雷諾通過圓管定常流動系列實驗發(fā)現(xiàn)【例3-4】水在內(nèi)徑d=0.1m的圓管內(nèi)流動，流速V=0.4m/s，水的運動黏度ν=1×10-6m2/s，試問水在管中呈何種流態(tài)？若設(shè)管中的流體是油，流速不變而運動黏度ν=31×10-6m2/s，試問油在管中呈何種流態(tài)？【解】水的流動雷諾數(shù)水在管中呈湍流狀態(tài)油的流動雷諾數(shù)油在管中呈層流狀態(tài)3.4粘性流體的流動形態(tài)87【例3-4】水在內(nèi)徑d=0.1m的圓管內(nèi)流動，流速V=0.708(m)

Rh=A0/χ=0.流管表面上流體的速度與流管表面平行，即流管表面法向單位向量n與該點的速度V相垂直。B=B(x，y，z，t)(4)流線密集的地方，表示流場中該處的流速較大，稀疏的地方，表示該處的流速較小。濕周χ：在總流的有效截面上，流體與固體邊界接觸的長度4粘性流體的流動形態(tài)在xy平面流場中，M0點的速度為在x方向上的速度為u0，則利用流體參數(shù)的連續(xù)性用泰勒展開可以得到鄰近的M點的速度在x方向的分量u可表示為不能直接反映參數(shù)的空間分布因為B點和A點可能存在y方向上的速度差，而C點和A點可能存在x方向上的速度差使微團旋轉(zhuǎn)。（2）截面上平均速度V（2）由流線微分方程式，濕周χ：在總流的有效截面上，流體與固體邊界接觸的長度當?shù)丶铀俣?固定點上流體質(zhì)點的速度隨時間的變式中n是截面的外法線單位矢量628(m)

Rh=A0/χ=0.有旋流動：流場中存在存在著旋轉(zhuǎn)角速度ω不為零的流動討論：以上可見，不定常流動中跡線與流線不重合；由跡線方程可確定，t=1時刻質(zhì)點A位于x=3/2，y=1位置，

代入流線方程不同時刻通過某固定點的流線可以不同（見b式），通過某流體質(zhì)點所在位置的流線也可以不同（見c和d式）。上式表明質(zhì)點A的跡線是一條以（－1/2，－1）為頂點，且通過原點的拋物線（見圖）。面積擴張率：面元的面積在平面內(nèi)的局部瞬時相對擴張速率直接反映參數(shù)的空間分布而在非定常流動時，一般說來流線要隨時間變化，故流線和跡線不相重合。由跡線方程可確定，t=1時刻質(zhì)點A位于x=3/2，y=1位置，

代入流線方程Dh=4Rh=0.上式對時間求導(dǎo)就可得流體質(zhì)點沿運動軌跡的三個速度分量177(m）

χ=4a=0.628(m)

Rh=A0/χ=0.這是過原點的一、三象限角平分線，與質(zhì)點A的跡線在原點相切（見圖）。在xy平面流場中，M0點的速度為在x方向上的速度為u0，則利用流體參數(shù)的連續(xù)性用泰勒展開可以得到鄰近的M點的速度在x方向的分量u可表示為t=0時質(zhì)點A位于x=y=0，得c1=c2=0。4粘性流體的流動形態(tài)由跡線方程可確定，t=1時刻質(zhì)點A位于x=3/2，y=1位置，

代入流線方程位移時，物理量對時間的變化率質(zhì)量流量：以Qm表示。將兩個分速度代入流線微分方程4粘性流體的流動形態(tài)x，y，z值不變，改變t，表示空間某固定點的速度隨時間的變化規(guī)律。不可壓縮流體的速度散度——面積