基于多小波的圖像分解和重構(gòu)

基于多小波的圖像分解和重構(gòu)摘要與單小波相比較，多小波同時(shí)具備諸如緊支性，正交性，對(duì)稱性等諸多在信號(hào)處理中非常重要的良好性質(zhì)。這決定了多小波是一種優(yōu)于單小波的信號(hào)處理技術(shù)。在應(yīng)用中，對(duì)于單小波可以直接利用分解與重構(gòu)公式對(duì)信號(hào)進(jìn)行濾波。但是多小波是用矢量濾波器組對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解、重構(gòu)．濾波對(duì)象必須是滿足一定要求的矢量信號(hào)。因此，在進(jìn)行多小波分解前必須通過前置濾波器對(duì)原始離散信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理得到初始矢量，然后才能進(jìn)行多小波變換。同樣，對(duì)重構(gòu)后的數(shù)據(jù)也要進(jìn)行后處理才能得到需要的結(jié)果。本文以ＧＨＭ多小波為例，實(shí)現(xiàn)了對(duì)圖像的預(yù)處理、分解和變換后的重構(gòu)、后處理過程，并將解壓縮后的結(jié)果與單小波相比較，獲得較好的結(jié)果。關(guān)鍵詞多小波；多尺度函數(shù)；多小波變換概述多小波是標(biāo)量小波向矢量空間的一種很自然的拓展。是傳統(tǒng)小波理論中正在興起的一個(gè)分支，它具備一些比標(biāo)量小波更好的性質(zhì)，如同時(shí)具有正交性和對(duì)稱性、緊支性等諸多在信號(hào)處理中非常重要的良好性質(zhì)。這決定了多小波是一種優(yōu)于單小波的信號(hào)處理技術(shù)。這決定了多小波是一種優(yōu)于單小波的信號(hào)處理技術(shù)。這就意味著多小波不但可以對(duì)信號(hào)提供一種更新的分析手段，而且對(duì)信號(hào)的逼近性質(zhì)更好，重構(gòu)信號(hào)在邊界位置的性能也將更完善。多小波的研究最早開始于1993年，隨后其理論與應(yīng)用方面的研究得到了迅猛的發(fā)展。在圖像處理的實(shí)際應(yīng)用中，正交性能保持能量；而對(duì)稱性（線性相位）既適合于人眼的視覺系統(tǒng)，又使信號(hào)在邊界易于處理，所以，分析工具同時(shí)擁有這兩種性質(zhì)是十分重要的?？墒?，實(shí)數(shù)域中，緊支、對(duì)稱、正交的非平凡單小波是不存在的。多小波開創(chuàng)性的將單小波中由單個(gè)尺度函數(shù)生成的多尺度分析空間，擴(kuò)展為由多個(gè)尺度函數(shù)生成，以此來獲得更大的自由度。它既保持了單小波所具有的良好的時(shí)域與頻域的局部化特性，又克服了單小波的缺陷，將實(shí)際應(yīng)用中十分重要的光滑型、緊支性、對(duì)稱性、正交性完美地結(jié)合在一起。從而在圖像分解、壓縮方面具有比單小波更優(yōu)良的性能，這決定了其在這方面將越來越廣泛的研究和應(yīng)用。多小波變換理論多小波的基本思想是將單小波中由單個(gè)尺度函數(shù)生成的多分辨分析空間，擴(kuò)展為由多個(gè)尺度函數(shù)生成的空間，以此來獲得更大的自由度。因此，與單小波不同的是多小波基由多個(gè)小波母函數(shù)經(jīng)過伸縮平移生成，對(duì)應(yīng)有多個(gè)尺度函數(shù)，而在單小波中僅有一個(gè)。具體地講，多小波由如下多分辨分(MRA)生成。設(shè)函數(shù)（1）若由定義的空間序列滿足下列條件：當(dāng)r=1時(shí)，即是傳統(tǒng)的(標(biāo)量）MRA并稱為r重多尺度函數(shù)。若是的一個(gè)正交基，則稱是一個(gè)正交MAR。對(duì)一個(gè)正交MRA，定義的正交補(bǔ)。若存在使得其整數(shù)平移構(gòu)成的一個(gè)正交基，則是一個(gè)r重正交多小波。在正交的MRA分析中，若是一個(gè)緊支撐的r重多尺度函數(shù)，是與其對(duì)應(yīng)的r重正交多小波，則滿足下列兩尺度方程（2）其中有限支撐實(shí)系數(shù)矩陣序列分別為低通，高通濾波器序列。定義矢量的變換為對(duì)每個(gè)分量作變換，則兩矩陣尺度方程(2)的頻域表示分別為：（3）其中分別為矩陣頻率響應(yīng)，是矩陣低通濾波器和矩陣高通濾波器。圖１離散多小波變換的運(yùn)算流程圖圖像數(shù)據(jù)的多小波分解矩陣多小波分解：圖像的多小波變換單小波變換類似，不同的是在多小波變換前必須先進(jìn)行前濾波，之后還要進(jìn)行相應(yīng)的后濾波，而且，多小波采用的是矩陣運(yùn)算，非數(shù)量運(yùn)算。我們對(duì)圖像先進(jìn)行行的前處理及小波分解，再對(duì)其列進(jìn)行前處理和小波分解．方法如下：設(shè)用ＮｘＮ矩陣表示圖像數(shù)據(jù)，則分解過程如下：圖2多小波圖像象分解（L=3，R=2）（1）對(duì)中的每一行作預(yù)處理得，中的每一行的前一半數(shù)據(jù)為與第一個(gè)尺度函數(shù)對(duì)應(yīng)的系數(shù)，后一半數(shù)據(jù)為與第二個(gè)尺度函數(shù)對(duì)應(yīng)的系數(shù)。（2）對(duì)中的每一列進(jìn)行預(yù)處理得，每一列的前一半數(shù)據(jù)為與第一個(gè)尺度函數(shù)對(duì)應(yīng)的系數(shù)，后一半數(shù)據(jù)為與第二個(gè)尺度函數(shù)對(duì)應(yīng)的系數(shù)。（3）對(duì)中的每一行進(jìn)行一維的多小波變換得到。（4）對(duì)中的每一列進(jìn)行一維多小波變換得到。以上４步完成了一級(jí)二維多小波分解．具體過程如圖所示：圖3圖像的離散多小波分解對(duì)于一幅圖像進(jìn)行一次多小波分解得到16幅子圖。若前處理較適當(dāng)，則大部分能量集中于某一幅子圖，而子圖的大小僅為原圖的十六分之一，這相當(dāng)與單小波分解兩次得到的。同時(shí)由分解一次，兩次后完全重構(gòu)的PSNR可知多小波優(yōu)于單小波，這不只由于多小波的對(duì)稱性，而且還和多小波變換中邊界誤差的迭加次數(shù)有關(guān)。這在圖像壓縮方面是非常有利的。當(dāng)然，多小波變換的缺點(diǎn)也是明顯的，即較高的運(yùn)算代價(jià)，這一缺點(diǎn)可以通過對(duì)濾波器長(zhǎng)度及對(duì)稱性的限制加以解決。從上面的分析可以看出，多小波變換只適用于向量信號(hào)，對(duì)于圖像信號(hào)而言，要對(duì)圖像信號(hào)進(jìn)行多小波變換，必須先對(duì)圖像的行和列進(jìn)行前置預(yù)濾波，然后將經(jīng)過前置預(yù)濾波的圖像的行和列，按照一定的規(guī)則組成向量信號(hào)，再進(jìn)行多小波變換。設(shè)（1）是一幅的圖像，其中，表示象素值，，那么對(duì)圖像A進(jìn)行多小波變換的步驟如下:（1）行前置預(yù)濾波首先A的每一行按照下面的方式組成行向量信號(hào)（2）然后對(duì)進(jìn)行前置預(yù)濾波（3）其中，是2x2的矩陣，表示前置預(yù)濾波器的沖激響應(yīng)。前置預(yù)濾波器由所使用的多小波確定不同的多小波，需要不同的前置預(yù)濾波器。經(jīng)過前置濾波有：（4）（2）列前置預(yù)濾波首先將B的每一列按照下面的方式組成列向量信號(hào)（5）然后對(duì)進(jìn)行前置預(yù)濾波（6）其中，是的矩陣，表示前置預(yù)濾波器的沖激響應(yīng)。前置預(yù)濾波器由所使用的多小波確定。不同的多小波，需要不同的前置預(yù)濾波器。于是，經(jīng)過列前置濾波有：（7）經(jīng)過上面兩個(gè)步驟之后，圖像的預(yù)處理就算完成了，接下來可以對(duì)圖像進(jìn)行多小波變換。（3）行方向的多小波變換將C的每一行，按照下面的方式組成向量信號(hào)（8）然后對(duì)進(jìn)行多小波變換（9）（10）其中，表示的是向量信號(hào)經(jīng)過多小波變換后的低頻部分，它仍是向量信號(hào)，表示的是向量信號(hào)經(jīng)過多小波變換的高頻部分，它也還是向量信號(hào)。于是，經(jīng)過行方向的多小波變換，有：（11）（4）列方向的多小波變換與行變換類似，將C的每一列按照下面的方式組成向量信號(hào)（12）分別對(duì)也進(jìn)行多小波變換，結(jié)果為（13）（14）（15）（16）于是，經(jīng)過列方向的多小波變換，最后得到圖像A的多小波變換為：（17）其中若要對(duì)圖像進(jìn)行多次的多小波變換，這時(shí)只需要對(duì)前次多小波變換后的LL子圖像再次進(jìn)行多小波變換即可。以ＧＨＭ多小波為例對(duì)標(biāo)準(zhǔn)圖像的分解和重構(gòu)著名的ＧＨＭ多小波是由Geronimo，Hardin及Massopust等人采用復(fù)雜的分形插值（FractralInterpolation）方法得到的，是比較典型的正交多小波，它同時(shí)還具有正交性，對(duì)稱性，緊支撐性和２階的逼近階。圖像的ＧＨＭ分解過程同圖2．我們采用ＧＨＭ平衡多重小波對(duì)圖像進(jìn)行分解，若進(jìn)行多級(jí)多小波分解，只需將按上述方式繼續(xù)進(jìn)行分解即可。壓縮以后，圖像的重構(gòu)，我們采用ＧＨＭ平衡多重小波進(jìn)行，過程與單小波很類似，其具體過程相當(dāng)于圖像多小波分解的逆過程，具體如下：上圖中表示的是原圖A的分解圖，表示的是由經(jīng)過重構(gòu)后的圖像，它與原來的圖像A是有一定差別的。多小波圖像分解重構(gòu)實(shí)驗(yàn)結(jié)果本文以ＧＨＭ多小波為例，實(shí)現(xiàn)了對(duì)圖像的預(yù)處理、分解和變換后的重構(gòu)、后處理過程，并將解壓縮后的結(jié)果與單小波相比較，獲得較好的結(jié)果。圖4原始圖像圖5多小波分解后的圖像圖6分解并重構(gòu)后的圖像參考文獻(xiàn)：[1]ShapiroJM.Emeddedimagecodingusingzerotreesifwaveletcoefficients.IEEETransSP,1993,41(12):3445-3462.[2]秦前清，楊宗凱．實(shí)用小波分析［Ｍ］．西安：西安電子科技大學(xué)出版社，1994.[3]馮阿芳，張新，鄧彩霞，緊支撐對(duì)稱正交多小波的構(gòu)造，哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2009-06.[4]楊玉花，多小波的理論研究，HYPERLINK"/kns/Navi/ScdbBridge.aspx?DBCode=CMFD&BaseID=AAAM&UnitCode=GSXFU&NaviLink=%C9%C2%CE%F7%CA%A6%B7%B6%B4%F3%D1%A7