高考求函數(shù)值域及最值得方法及例題訓(xùn)練題精品

函數(shù)專題之值域與最值問題一．觀察法通過對函數(shù)定義域、性質(zhì)的觀察，結(jié)合函數(shù)的解析式，求得函數(shù)的值域。例1求函數(shù)y=3+√(2－3x)的值域。點撥：根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)，先求出√(2－3x)的值域。解：由算術(shù)平方根的性質(zhì)，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。∴函數(shù)的知域為.點評：算術(shù)平方根具有雙重非負性，即：（1）被開方數(shù)的非負性，（2）值的非負性。本題通過直接觀察算術(shù)平方根的性質(zhì)而獲解，這種方法對于一類函數(shù)的值域的求法，簡捷明了，不失為一種巧法。練習(xí)：求函數(shù)y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域為：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函數(shù)法當(dāng)函數(shù)的反函數(shù)存在時，則其反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域。例2求函數(shù)y=(x+1)/(x+2)的值域。點撥：先求出原函數(shù)的反函數(shù)，再求出其定義域。解：顯然函數(shù)y=(x+1)/(x+2)的反函數(shù)為:x=(1－2y)/（y－1）,其定義域為y≠1的實數(shù),故函數(shù)y的值域為｛y∣y≠1,y∈R｝。點評：利用反函數(shù)法求原函數(shù)的定義域的前提條件是原函數(shù)存在反函數(shù)。這種方法體現(xiàn)逆向思維的思想，是數(shù)學(xué)解題的重要方法之一。練習(xí)：求函數(shù)y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函數(shù)的值域為｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法當(dāng)所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)時,可以利用配方法求函數(shù)值域例3：求函數(shù)y=√(－x2+x+2)的值域。點撥：將被開方數(shù)配方成完全平方數(shù)，利用二次函數(shù)的最值求。解：由－x2+x+2≥0,可知函數(shù)的定義域為x∈[－1，2]。此時－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函數(shù)的值域是[0,3/2]點評：求函數(shù)的值域不但要重視對應(yīng)關(guān)系的應(yīng)用,而且要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用。配方法是數(shù)學(xué)的一種重要的思想方法。練習(xí)：求函數(shù)y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域為{y∣y≤3})四．判別式法若可化為關(guān)于某變量的二次方程的分式函數(shù)或無理函數(shù),可用判別式法求函數(shù)的值域。例4求函數(shù)y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。點撥：將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為自變量的二次方程，應(yīng)用二次方程根的判別式，從而確定出原函數(shù)的值域。解：將上式化為（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0（＊）當(dāng)y≠2時,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3當(dāng)y=2時,方程(＊)無解。∴函數(shù)的值域為2＜y≤10/3。點評：把函數(shù)關(guān)系化為二次方程F(x,y)=0，由于方程有實數(shù)解，故其判別式為非負數(shù)，可求得函數(shù)的值域。常適應(yīng)于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函數(shù)。練習(xí)：求函數(shù)y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域為y≤－8或y>0）。五．最值法對于閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)y=f(x),可求出y=f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)的極值,并與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數(shù)的最值,可得到函數(shù)y的值域。例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且滿足x+y=1,求函數(shù)z=xy+3x的值域。點撥：根據(jù)已知條件求出自變量x的取值范圍，將目標函數(shù)消元、配方，可求出函數(shù)的值域。解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式與不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，將y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函數(shù)z在區(qū)間[-1,3/2]上連續(xù)，故只需比較邊界的大小。當(dāng)x=-1時，z=－5；當(dāng)x=3/2時，z=15/4?！嗪瘮?shù)z的值域為｛z∣－5≤z≤15/4｝。點評：本題是將函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值。對開區(qū)間，若存在最值，也可通過求出最值而獲得函數(shù)的值域。練習(xí)：若√x為實數(shù)，則函數(shù)y=x2+3x-5的值域為（）A．（－∞，＋∞）B．[－7，＋∞]C．[0，＋∞）D．[－5，＋∞）（答案：D）。六．圖象法通過觀察函數(shù)的圖象，運用數(shù)形結(jié)合的方法得到函數(shù)的值域。例6求函數(shù)y=∣x+1∣+√(x-2)2的值域。點撥：根據(jù)絕對值的意義，去掉符號后轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，作出其圖象。解：原函數(shù)化為－2x+1(x≤1)y=3(-1<x≤2)2x-1(x>2)它的圖象如圖所示。顯然函數(shù)值y≥3,所以，函數(shù)值域[3，＋∞]。點評：分段函數(shù)應(yīng)注意函數(shù)的端點。利用函數(shù)的圖象求函數(shù)的值域，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想。是解決問題的重要方法。求函數(shù)值域的方法較多，還適應(yīng)通過不等式法、函數(shù)的單調(diào)性、換元法等方法求函數(shù)的值域。七．單調(diào)法利用函數(shù)在給定的區(qū)間上的單調(diào)遞增或單調(diào)遞減求值域。例1求函數(shù)y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。點撥：由已知的函數(shù)是復(fù)合函數(shù)，即g(x)=－√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定義域為x≤1/3，在此區(qū)間內(nèi)分別討論函數(shù)的增減性，從而確定函數(shù)的值域。解：設(shè)f(x)=4x,g(x)=－√1-3x,(x≤1/3),易知它們在定義域內(nèi)為增函數(shù)，從而y=f(x)+g(x)=4x－√1-3x在定義域為x≤1/3上也為增函數(shù)，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函數(shù)值域為｛y|y≤4/3｝。點評：利用單調(diào)性求函數(shù)的值域，是在函數(shù)給定的區(qū)間上，或求出函數(shù)隱含的區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的增減性，求出其函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值，進而可確定函數(shù)的值域。練習(xí)：求函數(shù)y=3+√4-x的值域。(答案：｛y|y≥3｝)八．換元法以新變量代替函數(shù)式中的某些量，使函數(shù)轉(zhuǎn)化為以新變量為自變量的函數(shù)形式，進而求出值域。例2求函數(shù)y=x-3+√2x+1的值域。點撥：通過換元將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為某個變量的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的最值，確定原函數(shù)的值域。解：設(shè)t=√2x+1（t≥0）,則x=1/2(t2-1)。于是y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.所以，原函數(shù)的值域為｛y|y≥－7/2｝。點評：將無理函數(shù)或二次型的函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，通過求出二次函數(shù)的最值，從而確定出原函數(shù)的值域。這種解題的方法體現(xiàn)換元、化歸的思想方法。它的應(yīng)用十分廣泛。練習(xí)：求函數(shù)y=√x-1–x的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝九．構(gòu)造法根據(jù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，賦予幾何圖形，數(shù)形結(jié)合。例3求函數(shù)y=√x2+4x+5+√x2-4x+8的值域。點撥：將原函數(shù)變形，構(gòu)造平面圖形，由幾何知識，確定出函數(shù)的值域。解：原函數(shù)變形為f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22作一個長為4、寬為3的矩形ABCD，再切割成12個單位正方形。設(shè)HK=x,則ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22,KC=√(x+2)2+1。由三角形三邊關(guān)系知，AK+KC≥AC=5。當(dāng)A、K、C三點共線時取等號。∴原函數(shù)的知域為｛y|y≥5｝。點評：對于形如函數(shù)y=√x2+a±√(c-x)2+b(a,b,c均為正數(shù))，均可通過構(gòu)造幾何圖形，由幾何的性質(zhì)，直觀明了、方便簡捷。這是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)。練習(xí)：求函數(shù)y=√x2+9+√(5-x)2+4的值域。（答案：｛y|y≥5√2｝）十．比例法對于一類含條件的函數(shù)的值域的求法，可將條件轉(zhuǎn)化為比例式，代入目標函數(shù)，進而求出原函數(shù)的值域。例4已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函數(shù)z=x2+y2的值域。點撥：將條件方程3x-4y-5=0轉(zhuǎn)化為比例式，設(shè)置參數(shù)，代入原函數(shù)。解：由3x-4y-5=0變形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k為參數(shù))∴x=3+4k,y=1+3k,∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。當(dāng)k=－3/5時，x=3/5,y=－4/5時，zmin=1。函數(shù)的值域為｛z|z≥1｝.點評：本題是多元函數(shù)關(guān)系，一般含有約束條件，將條件轉(zhuǎn)化為比例式，通過設(shè)參數(shù)，可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為單函數(shù)的形式，這種解題方法體現(xiàn)諸多思想方法，具有一定的創(chuàng)新意識。練習(xí)：已知x,y∈R，且滿足4x-y=0,求函數(shù)f(x,y)=2x2-y的值域。（答案：｛f(x,y)|f(x,y)≥1｝）十一．利用多項式的除法例5求函數(shù)y=(3x+2)/(x+1)的值域。點撥：將原分式函數(shù)，利用長除法轉(zhuǎn)化為一個整式與一個分式之和。解：y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1)?！?/(x+1)≠0，故y≠3。∴函數(shù)y的值域為y≠3的一切實數(shù)。點評：對于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函數(shù)均可利用這種方法。練習(xí)：求函數(shù)y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。（答案：y≠2）十二．不等式法例6求函數(shù)Y=3x/(3x+1)的值域。點撥：先求出原函數(shù)的反函數(shù)，根據(jù)自變量的取值范圍，構(gòu)造不等式。解：易求得原函數(shù)的反函數(shù)為y=log3[x/(1-x)],由對數(shù)函數(shù)的定義知x/(1-x)＞01-x≠0解得，0＜x<1?！嗪瘮?shù)的值域（0，1）。點評：考查函數(shù)自變量的取值范圍構(gòu)造不等式（組）或構(gòu)造重要不等式，求出函數(shù)定義域，進而求值域。不等式法是重要的解題工具，它的應(yīng)用非常廣泛。是數(shù)學(xué)解題的方法之一。以下供練習(xí)選用：求下列函數(shù)的值域1．Y=√(15－4x)+2x-5；（｛y|y≤3｝）Y=2x/(2x－1)。（y>1或y<0）訓(xùn)練例題例1．求下列函數(shù)的值域（1）（2）（3）（4）例2．已知，求的最值。例3．求下列函數(shù)的值域（1）（2）（3）例4.如何求函數(shù)的最值？呢？例5．求下列函數(shù)的值域（1）（2）（3）（4）課后練習(xí)題選擇題題號12345678910111213答案1.已知函數(shù)=，則［（）］的值是A.9 B. C.-9 D.-2.若集合,，則等于A．{0}B．C．SD．T3.下列函數(shù)中值域是（0，+∞）的函數(shù)是A.B.C. D.4.定義在R上的函數(shù)的值域為［，b］,則的值域為A.［,b］ B.［+1,b+1］C.［－1,b－1］D.無法確定5.函數(shù)y=的定義域是(-，1)[2,5]，則其值域是A.(-,0)[,2]B.(-,2)C.(-,)[2,+]D.(0,+)6.函數(shù)的值域為R，則實數(shù)k的取值范圍是A．B．或C．D．或7.已知函數(shù)的最小值是A．2B．C． D．8.函數(shù)A.最小值為0，最大值為4B.最小值為-4，最大值為0C.最小值為-4，最大值為4D.沒有最大值，也沒有最小值9.已知的最大值為2，的最大值為，則的取值范圍是A．B．C．D．以上三種均有可能10.已知、b的等差中項是的最小值是 A．3 B．4 C．5 D．611.已知,,則(=A．15 B．1 C．3 D．3012.設(shè)函數(shù)，則的值為A. B.bC.、b中較小的數(shù)D.、b中較大的數(shù)13．函數(shù)的最小值為A．190B．171C．90D．45二、填空題：14.定義在R上的函數(shù)滿足關(guān)系式:,則的值等于________15.已知函數(shù)對一切實數(shù),均滿足，且．則16.設(shè)（>0）的值域為[-1，4]，則,b的值為_________函數(shù)的最大值是18．已知a,b為常數(shù)，若則三、解答題：19.求下列函數(shù)的值域（1）；（2）；（3）20．已知函數(shù)的值域為［1，3］，求實數(shù)b、c的值。21．設(shè)函數(shù)，（1）若定義域為[0，3]，求的值域；（2）若定義域為時，的值域為，求的值.22.已知函數(shù)：（1）證明：對定義域內(nèi)的所有都成立.（2）當(dāng)?shù)亩x域為時，求證：的值域為；*（3）設(shè)函數(shù),求的最小值.函數(shù)的值域與最值參考答案（三）例題講評例1．例2．，最大值18；最小值例3．；；；例4．，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；即時，y的最小值是2。沒有最大值。另外方法同上，即時，y的最大值是。沒有最小值。說明：本題不能用判別式法。因為。若用判別式法得，當(dāng)時，求得，不合。例5．；（以上各小題考慮了各種方法的順序，有的方法給出2個小題，有的題目可以多種方法導(dǎo)數(shù)法暫不考慮。）（四）練習(xí)題選擇題題號12345678910111213答案BCBAABDCCCACC9.提示：令，實際是將原函數(shù)圖象的點的橫坐標縮短變?yōu)樵瓉淼亩种?，縱坐標不變。故最值不變。10.提示：由，二、填空題14.7；15.4012；16.=4,b=3；17.4；18.2。15.提