2022人教版高一數(shù)學(xué)必修一知識(shí)點(diǎn)

本文格式為Word版，下載可任意編輯——2022人教版高一數(shù)學(xué)必修一知識(shí)點(diǎn)景仰天空時(shí)，什么都比你高，你會(huì)自卑;俯視大地時(shí)，什么都比你低，你會(huì)自負(fù);只有放寬視野，把天空和大地盡收眼底，才能在蒼穹沃土之間找到你真正的位置。無(wú)需自卑，不要自負(fù)，堅(jiān)持自信。我高一頻道為你整理了《2022人教版高一數(shù)學(xué)必修一學(xué)識(shí)點(diǎn)》夢(mèng)想你對(duì)你的學(xué)習(xí)有所扶助！

第一章集合與函數(shù)概念

一、集合有關(guān)概念

1.集合的含義

2.集合的中元素的三個(gè)特性：

（1）元素確實(shí)定性如：世界上的山

（2）元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合H,A,P,Y

（3）元素的無(wú)序性:如：a,b,c和a,c,b是表示同一個(gè)集合

3.集合的表示：…如：我校的籃球隊(duì)員，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋

（1）用拉丁字母表示集合：A=我校的籃球隊(duì)員,B=1,2,3,4,5

（2）集合的表示方法：列舉法與描述法。

留神：常用數(shù)集及其記法：XKb1.Com

非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作：N

正整數(shù)集：N*或N+

整數(shù)集：Z

有理數(shù)集：Q

實(shí)數(shù)集：R

1）列舉法：a,b,c……

2描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來(lái)，寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合xR|x-3>2,x|x-3>2

3語(yǔ)言描述法：例：不是直角三角形的三角形

4Venn圖:

4、集合的分類：

1有限集含有有限個(gè)元素的集合

2無(wú)限集含有無(wú)限個(gè)元素的集合

3空集不含任何元素的集合例：x|x2=－5｝

二、集合間的根本關(guān)系

1.“包含”關(guān)系—子集

留神：有兩種可能（1）A是B的一片面，；（2）A與B是同一集合。

反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA

2．“相等”關(guān)系：A=B5≥5，且5≤5，那么5=5

實(shí)例：設(shè)A=x|x2-1=0B=-1,1“元素一致那么兩集合相等”

即：①任何一個(gè)集合是它本身的子集。AA

②真子集:假設(shè)AB,且AB那就說(shuō)集合A是集合B的真子集，記作AB或BA

③假設(shè)AB,BC,那么AC

④假設(shè)AB同時(shí)BA那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ

規(guī)定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

4.子集個(gè)數(shù)：

有n個(gè)元素的集合，含有2n個(gè)子集，2n-1個(gè)真子集，含有2n-1個(gè)非空子集，含有2n-1個(gè)非空真子集

三、集合的運(yùn)算

運(yùn)算類型交集并集補(bǔ)集

定義由全體屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集．記作AB（讀作‘A交B’），即AB=｛x|xA，且xB｝．

由全體屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，叫做A,B的并集．記作：AB（讀作‘A并B’），即AB=x|xA，或xB．

設(shè)S是一個(gè)集合，A是S的一個(gè)子集，由S中全體不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補(bǔ)集（或余集）

記作，即

CSA=

性質(zhì)AA=A

AΦ=Φ

AB=BA

ABA

ABB

AA=A

AΦ=A

AB=BA

ABＡ

ABB

CuACuB

=CuAB

CuACuB

=CuAB

ACuA=U

ACuA=Φ．

二、函數(shù)的有關(guān)概念

1．函數(shù)的概念

設(shè)A、B是非空的數(shù)集，假設(shè)按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有確定的數(shù)fx和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)．記作：y=fx，x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合fx|x∈A叫做函數(shù)的值域．

留神：

1．定義域：能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域。

求函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組的主要依據(jù)是：

1分式的分母不等于零；

2偶次方根的被開方數(shù)不小于零；

3對(duì)數(shù)式的真數(shù)務(wù)必大于零；

4指數(shù)、對(duì)數(shù)式的底務(wù)必大于零且不等于1.

5假設(shè)函數(shù)是由一些根本函數(shù)通過(guò)四那么運(yùn)算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各片面都有意義的x的值組成的集合.

6指數(shù)為零底不成以等于零，

7實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)的定義域還要保表明際問(wèn)題有意義.

一致函數(shù)的判斷方法：①表達(dá)式一致（與表示自變量和函數(shù)值的字母無(wú)關(guān)）；

②定義域一致兩點(diǎn)務(wù)必同時(shí)具備

2．值域:先考慮其定義域

1查看法2配方法3代換法

3.函數(shù)圖象學(xué)識(shí)歸納

1定義：

在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù)y=fx,x∈A中的x為橫坐標(biāo)，函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點(diǎn)Px，y的集合C，叫做函數(shù)y=fx,x∈A的圖象．C上每一點(diǎn)的坐標(biāo)x，y均得志函數(shù)關(guān)系y=fx，反過(guò)來(lái)，以得志y=fx的每一組有序?qū)崝?shù)對(duì)x、y為坐標(biāo)的點(diǎn)x，y，均在C上.

2畫法

1.描點(diǎn)法：2.圖象變換法：常用變換方法有三種：1）平移變換2）伸縮變換3）對(duì)稱變換

4．區(qū)間的概念

（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間（2）無(wú)窮區(qū)間（3）區(qū)間的數(shù)軸表示．

5．映射

一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合，假設(shè)按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法那么f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng)f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)映射。記作“f（對(duì)應(yīng)關(guān)系）：A（原象）B（象）”

對(duì)于映射f：A→B來(lái)說(shuō)，那么應(yīng)得志：

1集合A中的每一個(gè)元素，在集合B中都有象，并且象是的；

2集合A中不同的元素，在集合B中對(duì)應(yīng)的象可以是同一個(gè)；

3不要求集合B中的每一個(gè)元素在集合A中都有原象。

6.分段函數(shù)

1在定義域的不同片面上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。

2各片面的自變量的取值處境．

3分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集．

補(bǔ)充：復(fù)合函數(shù)

假設(shè)y=fuu∈M,u=gxx∈A,那么y=f[gx]=Fxx∈A稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。

二．函數(shù)的性質(zhì)

1.函數(shù)的單調(diào)性局部性質(zhì)

（1）增函數(shù)

設(shè)函數(shù)y=fx的定義域?yàn)镮，假設(shè)對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1假設(shè)對(duì)于區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，當(dāng)x1留神：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)；

（2）圖象的特點(diǎn)

假設(shè)函數(shù)y=fx在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說(shuō)函數(shù)y=fx在這一區(qū)間上具有嚴(yán)格的單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.

3.函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法

A定義法：

（1）任取x1，x2∈D，且x1（2）作差fx1－fx2；或者做商

（3）變形（通常是因式分解和配方）；

（4）定號(hào)（即判斷差fx1－fx2的正負(fù)）；

（5）下結(jié)論（指出函數(shù)fx在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）．

B圖象法從圖象上看升降

C復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

復(fù)合函數(shù)f[gx]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=gx，y=fu的單調(diào)性緊密相關(guān)，其規(guī)律：“同增異減”

留神：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間,不能把單調(diào)性一致的區(qū)間和在一起寫成其并集.

8．函數(shù)的奇偶性（整體性質(zhì)）

（1）偶函數(shù)：一般地，對(duì)于函數(shù)fx的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f－x=fx，那么fx就叫做偶函數(shù)．

（2）奇函數(shù)：一般地，對(duì)于函數(shù)fx的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f－x=—fx，那么fx就叫做奇函數(shù)．

（3）具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征：偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．

9.利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：

○1首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

○2確定f－x與fx的關(guān)系；

○3作出相應(yīng)結(jié)論：若f－x=fx或f－x－fx=0，那么fx是偶函數(shù)；若f－x=－fx或f－x＋fx=0，那么fx是奇函數(shù)．

留神：函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件．首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若不對(duì)稱那么函數(shù)是非奇非偶函數(shù).若對(duì)稱，1再根據(jù)定義判定;2由f-x±fx=0或fx／f-x=±1來(lái)判定;3利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定.

10、函數(shù)的解析表達(dá)式

（1）函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系時(shí)，一是要求出它們之間的對(duì)應(yīng)法那么，二是要求出函數(shù)的定義域.

（2）求函數(shù)的解析式的主要方法有：1.湊配法2.待定系數(shù)法3.換元法4.消參法

11．函數(shù)（?。┲?/p>

○1利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的（小）值

○2利用圖象求函數(shù)的（?。┲?/p>

○3利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的（小）值：

假設(shè)函數(shù)y=fx在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞減那么函數(shù)y=fx在x=b處有值fb；

假設(shè)函數(shù)y=fx在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞增那么函數(shù)y=fx在x=b處有最小值fb；

第三章根本初等函數(shù)

一、指數(shù)函數(shù)

（一）指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算

1．根式的概念：一般地，假設(shè)，那么叫做的次方根，其中>1，且∈*．

負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作。

當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，

2．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定：

，

0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義

3．實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)

（1）；

（2）；

（3）．

（二）指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)镽．

留神：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和1．

2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

a>10定義域R定義域R

值域y＞0值域y＞0

在R上單調(diào)遞增在R上單調(diào)遞減

非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)

函數(shù)圖象都過(guò)定點(diǎn)（0，1）函數(shù)圖象都過(guò)定點(diǎn)（0，1）

留神：利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象還可以看出：

（1）在[a，b]上，值域是或；

（2）若，那么；取遍全體正數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)；

（3）對(duì)于指數(shù)函數(shù)，總有；

二、對(duì)數(shù)函數(shù)

（一）對(duì)數(shù)

1．對(duì)數(shù)的概念：

一般地，假設(shè)，那么數(shù)叫做以為底的對(duì)數(shù)，記作：（—底數(shù)，—真數(shù)，—對(duì)數(shù)式）

說(shuō)明：○1留神底數(shù)的限制，且；

○2；

○3留神對(duì)數(shù)的書寫格式．

兩個(gè)重要對(duì)數(shù)：

○1常用對(duì)數(shù)：以10為底的對(duì)數(shù)；

○2自然對(duì)數(shù)：以無(wú)理數(shù)為底的對(duì)數(shù)的對(duì)數(shù)．

指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化

冪值真數(shù)

＝N＝b

底數(shù)

指數(shù)對(duì)數(shù)

（二）對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

假設(shè)，且，，，那么：

○1＋；

○2－；

○3．

留神：換底公式：（，且；，且；）．

利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論：（1）；（2）．

（3）、重要的公式①、負(fù)數(shù)與零沒(méi)有對(duì)數(shù)；②、，③、對(duì)數(shù)恒等式

（二）對(duì)數(shù)函數(shù)

1、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù)，且叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域是（0，+∞）．

留神：○1對(duì)數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，留神分辯。如：，都不是對(duì)數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對(duì)數(shù)型函數(shù)．

○2對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)底數(shù)的限制：，且．

2、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：

a>10定義域x＞0定義域x＞0

值域?yàn)镽值域?yàn)镽

在R上遞增在R上遞減

函數(shù)圖象都過(guò)定點(diǎn)（1，0）函數(shù)圖象都過(guò)定點(diǎn)（1，0）

（三）冪函數(shù)

1、冪函數(shù)定義：一般地，形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中為常數(shù)．

2、冪函數(shù)性質(zhì)歸納．

（1）全體的冪函數(shù)在（0，+∞）都有定義并且圖象都過(guò)點(diǎn)（1，1）；

（2）時(shí)，冪函數(shù)的圖象通過(guò)原點(diǎn)，并且在區(qū)間上是增函數(shù)．更加地，當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象上凸；

（3）時(shí)，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù)．在第一象限內(nèi)，當(dāng)從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖象在軸右方無(wú)限地迫近軸正半軸，當(dāng)趨于時(shí)，圖象在軸上方無(wú)限地迫近軸正半軸．

第四章函數(shù)的應(yīng)用

一、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)

1、函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于函數(shù)，把使成立的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)。

2、函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)的零點(diǎn)就是方程實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

即：方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)．

3、函數(shù)零點(diǎn)的求法：

○1（代數(shù)法）求方程的實(shí)數(shù)根；

○2（幾何法）對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來(lái)，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)．

4、二次函數(shù)的零點(diǎn)：

二次函數(shù)．

（1）△＞０，方程有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．

（2）△＝０，方程有兩相等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn)．

（3）△＜０，方程無(wú)實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與軸無(wú)交點(diǎn)，二次函數(shù)無(wú)零點(diǎn)．

5.函數(shù)的模型

1.函數(shù)的奇偶性

1若fx是偶函數(shù)，那么fx=f-x;

2若fx是奇函數(shù)，0在其定義域內(nèi)，那么f0=0可用于求參數(shù);

3判斷函數(shù)奇偶性可用定義的等價(jià)形式：fx±f-x=0或fx≠0;

4若所給函數(shù)的解析式較為繁雜，應(yīng)先化簡(jiǎn)，再判斷其奇偶性;

5奇函數(shù)在對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有一致的單調(diào)性;偶函數(shù)在對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相反的單調(diào)性;

2.復(fù)合函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題

1復(fù)合函數(shù)定義域求法：若已知的定義域?yàn)閇a，b],其復(fù)合函數(shù)f[gx]的定義域由不等式a≤gx≤b解出即可;若已知f[gx]的定義域?yàn)閇a,b],求fx的定義域，相當(dāng)于x∈[a,b]時(shí)，求gx的值域即fx的定義域;研究函數(shù)的問(wèn)題確定要留神定義域優(yōu)先的原那么。

2復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性由“同增異減”判定;

3.函數(shù)圖像或方程曲線的對(duì)稱性

1證明函數(shù)圖像的對(duì)稱性，即證明圖像上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)仍在圖像上;

2證明圖像C1與C2的對(duì)稱性，即證明C1上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)仍在C2上，反之亦然;

3曲線C1：fx,y=0,關(guān)于y=x+ay=-x+a的對(duì)稱曲線C2的方程為fy-a,x+a=0或f-y+a,-x+a=0;

4曲線C1:fx,y=0關(guān)于點(diǎn)a,b的對(duì)稱曲線C2方程為：f2a-x,2b-y=0;

5若函數(shù)y=fx對(duì)x∈R時(shí)，fa+x=fa-x恒成立，那么y=fx圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱;

6函數(shù)y=fx-a與y=fb-x的圖像關(guān)于直線x=對(duì)稱;

4.函數(shù)的周期性

1y=fx對(duì)x∈R時(shí)，fx+a=fx-a或fx-2a=fxa>0恒成立,那么y=fx是周期為2a的周期函數(shù);

2若y=fx是偶函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線x=a對(duì)稱，那么fx是周期為2︱a︱的周期函數(shù);

3若y=fx奇函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線x=a對(duì)稱，那么fx是周期為4︱a