高中數(shù)學(xué)高考【經(jīng)典微課堂】-規(guī)范答題系列3 高考中的立體幾何問(wèn)題 教案

[命題解讀]立體幾何是高考的重要內(nèi)容，從近五年全國(guó)卷高考試題來(lái)看，立體幾何每年必考一道解答題，難度中等，主要采用“論證與計(jì)算”相結(jié)合的模式，即首先利用定義、定理、公理等證明空間的線線、線面、面面平行或垂直，再利用空間向量進(jìn)行空間角的計(jì)算，考查的熱點(diǎn)是平行與垂直的證明、二面角的計(jì)算，平面圖形的翻折，探索存在性問(wèn)題，突出三大能力：空間想象能力、運(yùn)算能力、邏輯推理能力與兩大數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想的考查．[典例示范](本題滿分12分)(2019·全國(guó)卷Ⅲ)圖1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°，將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連接DG，如圖2.圖1圖2(1)證明：圖2中的A，C，G，D四點(diǎn)共面①，且平面ABC⊥平面BCGE②；(2)求圖2中的二面角B-CG-A的大?、?[信息提取]看到①想到四邊形ACGD共面的條件，想到折疊前后圖形中的平行關(guān)系；看到②想到面面垂直的判定定理；看到③想到利用坐標(biāo)法求兩平面法向量的夾角余弦值，想到建立空間直角坐標(biāo)系．[規(guī)范解答](1)由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，故AD，CG確定一個(gè)平面，從而A，C，G，D四點(diǎn)共面.···································2分由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，且BE∩BC＝B，故AB⊥平面BCGE.····························································· 3分又因?yàn)锳B?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.··················································· 4分(2)作EH⊥BC，垂足為H.因?yàn)镋H?平面BCGE，平面BCGE⊥平面ABC，所以EH⊥平面ABC.···························································· 5分由已知，菱形BCGE的邊長(zhǎng)為2，∠EBC＝60°，可求得BH＝1，EH＝eq\r(3).························································································ 6分以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq\o(HC,\s\up8(→))的方向?yàn)閤軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系H-xyz，則A(－1，1，0)，C(1，0，0)，G(2，0，eq\r(3))，eq\o(CG,\s\up8(→))＝(1，0，eq\r(3))，eq\o(AC,\s\up8(→))＝(2，－1，0).······································· 8分設(shè)平面ACGD的法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(CG,\s\up8(→))·n＝0，,\o(AC,\s\up8(→))·n＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋\r(3)z＝0，,2x－y＝0.))················································ 9分所以可取n＝(3，6，－eq\r(3)).··················································· 10分又平面BCGE的法向量可取為m＝(0，1，0)，所以cos〈n，m〉＝eq\f(n·m,|n||m|)＝eq\f(\r(3),2).··············································· 11分因此，二面角B-CG-A的大小為30°.······································ 12分[易錯(cuò)防范]易錯(cuò)點(diǎn)防范措施不能恰當(dāng)?shù)慕⒅苯亲鴺?biāo)系由(1)的結(jié)論入手，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)及側(cè)面菱形的邊角關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系建系后寫(xiě)不出G點(diǎn)的坐標(biāo)結(jié)合折疊后棱柱的側(cè)棱關(guān)系：eq\o(CG,\s\up8(→))＝eq\o(BE,\s\up8(→))可求出eq\o(CG,\s\up8(→))，或者借助折疊前后直角三角形的邊角關(guān)系，直接求出點(diǎn)G的坐標(biāo)[通性通法]合理建模、建系巧解立體幾何問(wèn)題(1)建模——將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平行模型、垂直模型、平面化模型或角度、距離等的計(jì)算模型；(2)建系——依托于題中的垂直條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解．[規(guī)范特訓(xùn)]1.(2019·江南十校二模)已知多面體ABC-DEF，四邊形BCDE為矩形，△ADE與△BCF為邊長(zhǎng)為2eq\r(2)的等邊三角形，AB＝AC＝CD＝DF＝EF＝2.(1)證明：平面ADE∥平面BCF；(2)求BD與平面BCF所成角的正弦值．[解](1)取BC，DE中點(diǎn)分別為O，O1，連接OA，O1A，OF，O1由AB＝AC＝CD＝DF＝EF＝2，BC＝DE＝CF＝AE＝AD＝BF＝2eq\r(2)，可知△ABC，△DEF為等腰直角三角形，故OA⊥BC，O1F⊥DE，CD⊥DE，CD⊥DF，又DE∩DF＝D，故CD⊥平面DEF，平面BCDE⊥平面DEF，因?yàn)槠矫鍮CDE∩平面DEF＝DE，O1F⊥DE，所以O(shè)1F⊥同理OA⊥平面BCDE；所以O(shè)1F∥OA，而O1F＝OA，故四邊形AOFO1為平行四邊形，所以AO1∥OF，AO1?平面BCF，OF?平面BCF，所以AO1∥平面BCF，又BC∥DE，故DE∥平面BCF，而AO1∩DE＝O1，所以平面ADE∥平面(2)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過(guò)O且平行于AC的直線作為x軸，平行于AB的直線作為y軸，OO1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖．則有B(1，1，0)，C(－1，－1，0)，D(－1，－1，2)，F(xiàn)(－1，1，2)，故eq\o(BD,\s\up8(→))＝(－2，－2，2)，eq\o(BC,\s\up8(→))＝(－2，－2，0)，eq\o(BF,\s\up8(→))＝(－2，0，2)．設(shè)平面BCF的法向量為n＝(x，y，z)，由eq\o(BC,\s\up8(→))⊥n，eq\o(BF,\s\up8(→))⊥n得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x－2y＝0，,－2x＋2z＝0，))取x＝1得y＝－1，z＝1，故平面BCF的一個(gè)法向量為n＝(1，－1，1)．設(shè)BD與平面BCF所成角為θ，則sinθ＝|cos〈eq\o(BD,\s\up8(→))，n〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(－2×1－2×（－1）＋2×1,\r(3)×2\r(3))))＝eq\f(1,3).故BD與平面BCF所成角的正弦值為eq\f(1,3).2．(2019·河南、河北考前模擬)如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，點(diǎn)E是邊AD上的一點(diǎn)，且AE＝2ED，點(diǎn)H是BE的中點(diǎn)，將△ABE沿著B(niǎo)E折起，使點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)S處，且有SC＝SD.(1)證明：SH⊥平面BCDE.(2)求二面角C-SB-E的余弦值．[解](1)證明：取CD的中點(diǎn)M，連接HM，SM，由已知得AE＝AB＝2，∴SE＝SB＝2，又點(diǎn)H是BE的中點(diǎn)，∴SH⊥BE.∵SC＝SD，點(diǎn)M是線段CD的中點(diǎn)，∴SM⊥CD.又∵HM∥BC，BC⊥CD，∴HM⊥CD，∵SM∩HM＝M，從而CD⊥平面SHM，得CD⊥SH，又CD，BE不平行，∴SH⊥平面BCDE.(2)法一：取BS的中點(diǎn)N，BC上的點(diǎn)P，使BP＝2PC，連接HN，PN，PH，可知HN⊥BS，HP⊥BE.由(1)得SH⊥HP，∴HP⊥平面BSE，則HP⊥SB，又HN⊥BS，HN∩HP＝H，∴BS⊥平面PHN，∴二面角C-SB-E的平面角為∠PNH.又計(jì)算得NH＝1，PH＝eq\r(2)，PN＝eq\r(3)，∴cos∠PNH＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3).法二：由(1)知，過(guò)H點(diǎn)作CD的平行線GH交BC于點(diǎn)G，以點(diǎn)H為坐標(biāo)原點(diǎn)，HG，HM，HS所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系H-xyz，則點(diǎn)B(1，－1，0)，C(1，2，0)，E(－1，1，0)，S(0，0，eq\r(2)),∴eq\o(BC,\s\up8(→))＝(0，3，0)，eq\o(BE,\s\up8(→))＝(－2，2，0)，eq\o(BS,\s\up8(→))＝(－1，1，eq\r(2))．設(shè)平面SBE的法向量為m＝(x1，y1，z1)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m·\o(BE,\s\up8(→))＝－2x1＋2y1＝0，,m·\o(BS,\s\up8(→))＝－x1＋y1＋\r(2)z1＝0，))令y1＝1，得m＝(1，1，0)．設(shè)平面SBC的法向量為n＝(x2，y2，z2)，由eq\b\lc\{(\a\