函數(shù)的周期性 經典例題

函數(shù)的周期性周期函數(shù)的定義：對于函數(shù)，存在非0常數(shù)T，使得對于其定義域內總有，則稱的常數(shù)T為函數(shù)的周期。周期函數(shù)的性質：1、，則是以為周期的周期函數(shù)；2、若函數(shù)y=f(x)滿足f(xa)=-f(x)(a>0),則f(x)為周期函數(shù)且2a是它的一個周期。3、若函數(shù)，則是以為周期的周期函數(shù)4、y=f(x)滿足f(xa)=(a>0),則f(x)為周期函數(shù)且2a是它的一個周期。5、若函數(shù)y=f(x)滿足f(xa)=(a>0),則f(x)為周期函數(shù)且2a是它的一個周期。6、，則是以為周期的周期函數(shù).7、，則是以為周期的周期函數(shù).8、若函數(shù)y=f(x)的圖像關于直線x=a,x=b(b>a)都對稱,則f(x)為周期函數(shù)且2（b-a）是它的一個周期。9、函數(shù)的圖象關于兩點、都對稱，則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)；10、函數(shù)的圖象關于和直線都對稱，則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)；11、若偶函數(shù)y=f(x)的圖像關于直線x=a對稱，則f(x)為周期函數(shù)且2是它的一個周期。12、若奇函數(shù)y=f(x)的圖像關于直線x=a對稱，則f(x)為周期函數(shù)且4是它的一個周期。13、若函數(shù)y=f(x)滿足f(x)=f(x-a)f(xa)(a>0),則f(x)為周期函數(shù)，6a是它的一個周期。14、若奇函數(shù)y=f(x)滿足f(xT)=f(x)(x∈R，T≠0),則f()=0.【試題舉例】例1、(2006年山東卷）已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x2)=－f(x),則,f(6)的值為(B)(A)－1

(B)0

(C)

1

(D)2【考點分析】本題考查函數(shù)的周期性和奇偶性，基礎題。解析：由由是定義在R上的奇函數(shù)得，∴，故選擇B。【窺管之見】本題用到兩重要性質：①的周期為；②如是定義在R上的奇函數(shù)，則。例2、（2005天津卷）設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且的圖象關于直線對稱，則f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)=_0_______________.【考點分析】本題考查函數(shù)的周期性解析：得，假設因為點（，0）和點（）關于對稱，所以因此，對一切正整數(shù)都有：從而：。本題答案填寫：0例3、（2006福建卷）已知是周期為2的奇函數(shù)，當時，設則（A）

（B）

（C）

（D）解：已知是周期為2的奇函數(shù)，當時，設，，<0，∴，選D.例4、（2006年安徽卷理）函數(shù)對于任意實數(shù)滿足條件，若則__________?！究键c分析】本題考查函數(shù)的周期性與求函數(shù)值，中檔題。解析：由得，所以，則。【窺管之見】函數(shù)的周期性在高考考查中除了在三角函數(shù)中較為直接考查外，一般都比較靈活。本題應直觀理解“只要加2，則變倒數(shù)，加兩次則回原位”則一通盡通也。例5、（1996全國，15）設是上的奇函數(shù)，，當0≤x≤1時，，則f（7.5）等于（）A.0.5

B.－0.5

C.1.5

D.－1.5解析：由，又是奇函數(shù)，故，故選擇B。例6、（2005福建卷是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù)，且，則方程=0在區(qū)間（0，6）內解的個數(shù)的最小值是（

B

）A．5

B．4C．3

D．2解析：由的周期性知，即至少有根1，2，4，5。故選擇B。例7（05廣東卷）設函數(shù)在上滿足，，且在閉區(qū)間［0，7］上，只有．（Ⅰ）試判斷函數(shù)的奇偶性；（Ⅱ）試求方程=0在閉區(qū)間［-2005，2005］上的根的個數(shù)，并證明你的結論．.解:由f(2-x)=f(2x),f(7-x)=f(7x)得函數(shù)的對稱軸為,從而知函數(shù)不是奇函數(shù),由,從而知函數(shù)的周期為又,故函數(shù)是非奇非偶函數(shù);(II)由(II)又故f(x)在[0,10]