第44講向量內(nèi)積、長度及夾角

線性代數(shù)59主講 大學(xué)徐小湛教

21April

21April高等數(shù)學(xué)138講（優(yōu)酷網(wǎng)線性代數(shù)59講（優(yōu)酷網(wǎng)概高等數(shù)學(xué)138講（優(yōu)酷網(wǎng)線性代數(shù)59講（優(yōu)酷網(wǎng)考研題評講 傳課：:@:

21April望對你的學(xué)習(xí)有所幫助希望此課件僅用望對你的學(xué)習(xí)有所幫助希望此課件僅用于你的學(xué)習(xí)。請尊大學(xué)徐小(聯(lián) 的著作權(quán)，大學(xué)徐小(聯(lián) 我在及線性代我在及線性代數(shù)59講受。課程高等數(shù)學(xué)138 各地大學(xué)生的課程的

21April相似矩陣及二次SimilarMatricesandQuadratic第44講向量的內(nèi)積、長度及夾角大 徐小觀我的《高等數(shù)學(xué) 觀我的《高等數(shù)學(xué) 請?jiān)趦?yōu)酷網(wǎng)搜索我 徐小湛

21April

21April回憶空間解析幾何中，兩個(gè)向量的數(shù)量積、詳見我在優(yōu)酷網(wǎng)的《高等第74~76

21April定義(數(shù)量積

設(shè)a,b是向量，夾角為 ab

b

夾角公

cosθ

ab

θ

a川 川

21Aprilaa1ia2ja3k(a1,a2,bb1ib2j (b1,b2,數(shù)量積就分量乘積之?dāng)?shù)量 aba1b1a數(shù)量積就分量乘積之

向量的長度(模)a夾角余弦

aa a2a2 cosθ

a1b1a2b2

a2a2a b2b2b1

21April推廣到n維向量。 xxx yyy 大

xy的內(nèi)積[xy為以下數(shù)量inner

y1[x,y]x1y1...xn

(x,...,x)

小 y內(nèi)積是數(shù)量積的推廣。內(nèi)積就是對y

n

21April內(nèi)積的xyzn維向量λ是實(shí)數(shù)[xyyx]((對稱性[λxyλ[xy齊次[x+yzxz]+[yz可加性(4xx]≥0且[xx]=0當(dāng)且(非負(fù)性 徐小EnglishEnglishtermsfromAntonandRorresElementaryLinearAlgebra8thed.(1)(1)[x,y]=[y,x]；(2)[λx,y]=λ[x,(3)[x+y,z]=[x,z]+[y,證x(1xn)yy1yn)zz1zn[x,y]x1y1...xnyny1x1...yn[λx,y](λx1)y1...(λxn)λ(11...xnyn)λ[x,

[xy,z](x1y1)z1...(xnyn)zn

徐小(x1z1...xnzn)(y1z1...ynzn)[x,z][y,

21April (4)[x,x]≥0且[x,x]=0當(dāng)且僅當(dāng) x(1xn [x,x]x2...x2 且[x,x]x2...且

當(dāng)且僅

x1xn 徐小 x

21April

21Aprilb=(b1,b2,b3)的夾角余弦公式cosθ

大a2a2a b2b2b

得得a2a2a b2a

2b3

1小a1b1a2b2a3b3

2a2a b2b2ba a(ababab)2(a2a2a2)(b2b2b2A A大(ab)a大

(ab)2(aa)(b

pril(ababab)2(a2a2a2)(b2b2b21 ((ab)2(aa)(b下面將以上結(jié)論推廣到n x(1xn y(y1,...,yn則有不等式：[xy]2xxy 施瓦茨(Schwarz)不等 徐小(xy...xy)2(x2...x2)(y2...y2

21April設(shè)有n維向量x(1xn

y(y1,...,yn則有不等式：施瓦茨(Schwarz)[xy]2xxy 大徐小(xy...xy)2(x2...x2)(y2...y2 0(xty)2...(x ty 徐小 (x22xty(ty)2)...(x22x (x2...x2)2(xy...xy)t(y2...y2

21April (xy...xy)2(x2...x2)(y 0(xty)2...(x ty (x22xty(ty)2)...(x22xty(ty)2 (x2...x2)2(xy...xy)t(y2...y2 這個(gè)t的二次函 于等于零(否則函數(shù)會(huì)取到正、負(fù)值 大 b24ac0大學(xué)徐小 徐小[2(xy...xy)]24(x2...x2)(y2...y2) (xy...xy)2(x2...x2)(y2...y2 施瓦茨(Schwarz)不等第2版167頁[x,y]2第2版167頁y則

[x,x][y,y][x,x][kx,kx][x,x]k[x,xkx][xkxxy][xy]xy小大 徐小

21April((nxy 2 nx2n2iyi(xy...xy)2(x2...x2)(y2...y2 積分形式： 詳見我的《高詳見我的《高等數(shù)第48 (xy...xy)2(x2...x2)(y2...y2 Inmathematics,theCauchy–Schwarzinequalityisausefulinequalityencounteredinmanydifferentsettings,suchaslinearysis,probabilitytheory,andotherItisconsideredtobeoneofthemostimportantinequalitiesinallofmathematics.大 徐小

from

21April柯西-施瓦茨不等式施瓦茨導(dǎo)數(shù)和施瓦茨引理

HermannGerman21April

21April

21April回憶：在空間直角系

向 aa1ia2ja3k(a1,a2,a3)的長(模)a

aa a2a2 n維向量x(1xn

n令x [x,x] x2...令

徐小稱為x的長度或范數(shù)(norm或模

il非零向量的單位化(規(guī)范化

大x同向的x

例如，將向x=(12-23單位1xx

,,1222(2)232

321April向量x的長度或范數(shù)

x [x,x] x2... [x,x]x2

大施瓦茨不等式的等價(jià)[x,y]2[x,x][y,

[x,y]2x2y[x,y]

y大學(xué)徐小

21April長長度的性非負(fù)性：||x||≥0||x||=0當(dāng)且僅x=0齊次性：λxλ三角不等式：xyx證

x2...xx

xx2...x

0

...xn

x0,...,0)小四21April四長長度的性非負(fù)性：||x||≥0||x||=0當(dāng)且僅x=0齊次性：λxλ三角不等式：xyx證

λx (λx)2...(λx

λ2(x2...x2) λ2 x2... x2...

λ

大學(xué)

21April證 xy2[xy,x[x,xy][y,x[x,x][x,y][y,x][y,[x,x]2[x,y][y,

x (3)(3)三角不等xxy[[x,x]xx22(xy

yyxx

yy

[[x,y] [y,[y,y]y大徐小大

21April非零向量的單位化(規(guī)范化

1川x同向的單位向量是：x川

1x

學(xué)徐小x平行(共線)的單位向量是：1xxxx

21April大 徐小

21April回憶：在空間

a與

cosθa θarccosa的夾角

a 大 a設(shè)在空間直角坐標(biāo)

a(a1,a2,a3)

b(1,b2b3)徐小a1b1a2b2a2a2a b2b2b 2現(xiàn)在將夾角的概念推廣到n維向量 1April20142由施瓦茨不等

[x,y] xy都不是零向量[x,

θ

a定義兩個(gè)n維非零向量的夾角θ 徐小θarccos[x,

cosθ[x,y川四小 川四小

21April定義兩個(gè)n維非零向量的夾角θθarccos[x,

cosθ[x, 當(dāng)θπ[xy]=02

大命題兩稱向量x與y命題兩

21April[0x零向量與任何

21April例1若x與y正交 居余馬等《線性代數(shù)》第2版168證x2x2y2勾股 x

2[xy,x

x [x,xy][y,x[x,x][x,y][y,x][y, x,xyx2y大 徐小

徐小

xx2[x,xy[x,y]21April 1

[x,y](1,2, 12303 2設(shè)有兩42設(shè)有兩4求[xy||x||||y||||x+y||xy的夾

1222(1)2 21April 求[xy||x||||y||||x+y||xy的夾解[xy]1230x [x,x] 1222(1)2

y [y,y] 12(1)23222 x

[xy,xy]

221222 133.61小xy 6 x 求[xy||x||||y||||x+y||xy的夾解[xy]1230

x [x,x] 1222(1)2 y [y,y] 12