物理作業(yè)振動力學(xué)2

簡諧振動的合成·同方向同頻率的簡諧振動的合成·同方向不同頻率的簡諧振動的合成·相互垂直的同頻率的簡諧振動的合成·相互垂直的不同頻率的簡諧振動的合成一、同方向同頻率的簡諧振動的合成1.分振動：一物體同時參與兩個在同一直線上的同頻率的簡諧振動，其表達式為

x1=A1cos(t+1)x2=A2cos(t+2)

2.合振動：

x=x1+x2

注意：A與A1,A2及2－1都有關(guān)。同方向同頻率的簡諧振動的合振動必然是簡諧振動，其角頻率仍為·A，

可由旋轉(zhuǎn)矢量法導(dǎo)出，這比用解析法方便。t=0時合成振動如右圖所示當(dāng)A1、A2同時以ω的角速度轉(zhuǎn)動時，A同樣以ω的角速度轉(zhuǎn)動。得合成運動為X=Acos(ωt+)由矢量合成的平行四邊形法則：顯然合成振動的振幅不僅與A1、A2有關(guān)，也與φ1、φ2有關(guān)。(2)若兩分振動反相，2

1=(2k+1),則A=|A1

-A2|，

兩分振動相互減弱。

(以上k=0,1,2,……)如再有A1=A2，則A=0。此情形下，“振動加振動等于不振動”?！て渌闆r下：

│A1-A2│<A<│A1+A2│3.兩種特殊情況(討論振幅A）(1)若兩分振動同相，2

1

=2k，則

A=A1+A2，兩分振動相互加強。例：求兩同方向、同頻率諧振動X1=4cos(3t)、X2=2cos(3t+π/3)的合成諧振動方程。解：合成后

不變，

X=Acos(3t+φ)A1=4、A2=2、φ1=0、φ2=π/3合振動方程例、兩個同方向同頻率的簡諧振動，其振動表達式分別為：則它們的合振動的振幅及初位相為：（B）解：例、圖中所畫的是兩個簡諧振動曲線，若這兩個諧振動是可迭加的，則合成的余弦振動的初相為：（C）解：兩振動反相例題三個諧振動方程分別為畫出它們的旋轉(zhuǎn)矢量圖。并在同一x-t坐標(biāo)上畫出振動曲線。寫出合振動方程。合振動方程X=0設(shè)它們的振幅相等，初相位依次差一個恒量。其表達式為：在OCP中：·同方向的N個同頻率簡諧振動的合成合成后仍為諧振動。所以，合振動的表達式上兩式相除得討論1：即各分振動同相位時，合振動的振幅最大。當(dāng)討論2：

這時各分振動矢量依次相接，構(gòu)成閉合的正多邊形，合振動的振幅為零。以上討論的多個分振動的合成在說明光的干涉和衍射規(guī)律時有重要的應(yīng)用。當(dāng)且重要的特例:可得各分振動同相各分振動的初相差為（為不等于nk

的整數(shù))可得封閉多邊形!例.n=4時k=1k=3k=2二.同方向不同頻率的簡諧振動的合成1.分振動：設(shè)為2.合振動：同方向不同頻率的簡諧振動合振動不是簡諧振動。當(dāng)兩個分振動的振幅相等而且在兩個分振動矢量重合的時刻開始計時，合成也是非簡諧振動：隨t緩變隨t快變?nèi)?，2

均較大，而差值較小，上式變?yōu)檫@時振動方程可以看成是被A’調(diào)制的振動，是振幅有周期性變化的“簡諧振動”。令合振動的?振幅?時而大（為2A），時而小（為0）。這種兩個頻率都較大但是相差又很小、同方向簡諧振動合成時，合振動有忽強忽弱的現(xiàn)象，稱為“拍”。單位時間內(nèi)振動加強（或減弱）的次數(shù)叫拍頻?！づ膖x12=6tx21=7=1-2

拍頻tx（可測頻，或得到更低頻的振動）播放教學(xué)片CD2

拍振動合成后，振幅出現(xiàn)時而加強，時而減弱的現(xiàn)象----“拍”。三.相互垂直的同頻率簡諧振動的合成

(1)同頻率將兩式聯(lián)立，消去t,可得再將上兩式平方后相加即可得合運動一般不是簡諧振動。

(1)合運動一般是在2A1(x向)、2A2(y向)范圍內(nèi)的一個橢圓。(2)橢圓的性質(zhì)(方位、長短軸、左右旋)在A1，A2

確定之后，主要決定于

=2

-11、

2

－

1=2kπ討論：直線是退化了的橢圓2、

2－

1=(2k+1)πY=A2cos(ωt+

2)=－A2cos(ωt+

1)

2－

1=2kπ

2

－

1=（2k+1）π3、

2

－

1=±π/2

Y=A2cos(ωt+

2)=±A2sin(ωt+

1)是長短軸分別在x、y方向上的橢圓。當(dāng)A1=A2時是圓形。討論：

1

－

2=π/2

x方向的振動比y方向的振動超前π/2即當(dāng)某一瞬時，即質(zhì)點在圖中p點，經(jīng)過很短時間后，略大于零，y將略小于A2，為正，而略大于π/2，x將為負(fù)，所以質(zhì)點運動到第二象限，即質(zhì)點沿橢圓逆時針運動。y相位領(lǐng)先,則為右旋!x相位領(lǐng)先,則為左旋!所以P反之φ2－φ1=π/2

，質(zhì)點沿橢圓順時針方向運動4、一般情況表示一個長短軸在任意方向的橢圓。軌跡的旋轉(zhuǎn)矢量作圖法:以為例(y相位領(lǐng)先)123456780001122334455667788xyyx相位領(lǐng)先,則為右旋!相位領(lǐng)先,則為左旋!設(shè)x

1

y2

=

=3/2=5/4=7/4

=/2=/4·P=0yx

=3/4（-3/4）（-/2）（-/4）兩個沿垂直方向的同頻簡諧振動的合運動的軌跡四.相互垂直的不同頻率簡諧振動的合成·其情形復(fù)雜，軌跡曲線一般不穩(wěn)定(隨t變化)，也不一定閉合，即合成運動不一定是周期性運動。如果兩個互相垂直的振動頻率成整數(shù)比，合成運動的軌道是封閉曲線，運動也具有周期。這種運動軌跡的圖形稱為李薩如圖形。yxA1A2o-A2-A1

[例]下圖是x:y=3:2，2=0，1=/4

時的李薩如圖形。下圖給出李薩如圖形的幾種情況，可知振動曲線與的不同取值有很大關(guān)系。阻尼振動實際振動系統(tǒng)因受阻力作用其振幅會不斷減小，稱為阻尼振動。常見的阻力可寫成：質(zhì)量為m的物體在彈性回復(fù)力和上述阻力作用下的動力學(xué)方程：上式的解與阻尼因素β的大小有關(guān)，分為欠阻尼、臨界阻尼和過阻尼三種情形。（為阻力系數(shù)）1、β<ω。欠阻尼情況：方程的解系統(tǒng)作準(zhǔn)周期振動，振幅不斷減小，頻率為可由初始條件（x0，v0）求出為表示阻尼的大小，定義：對數(shù)簡縮3、β＝ω。臨界阻尼情況：方程的解此時振動系統(tǒng)剛剛不能作準(zhǔn)周期振動，而很快回到平衡位置。上兩式中C1,C2均由初始條件確定，此時根本無振動發(fā)生。過阻尼臨界阻尼欠阻尼xt02、β>ω。過阻尼情況：方程的解受迫振動和共振系統(tǒng)受彈性力,阻力外,還受周期性策動力其動力學(xué)方程注意此時有兩個頻率：系統(tǒng)固有頻率ω0和驅(qū)動力頻率ω當(dāng)系統(tǒng)振動的頻率=驅(qū)動力的頻率，系統(tǒng)穩(wěn)定此穩(wěn)定解與簡諧振動很相似,但很不一樣:是策動力的角頻率(與系統(tǒng)本身的性質(zhì)無關(guān))是的函數(shù)(與初始條件x0,v0無關(guān))振幅A為最大值,這稱為共振現(xiàn)象。注意：在弱阻尼（）情況下,當(dāng)穩(wěn)定振動解共振時,振動系統(tǒng)能最大限度地從外界獲得能量。因為此時即策動力與速度同相,策動力總是作正功,系統(tǒng)就能最大限度從外界獲得能量