物理作業(yè)振動(dòng)力學(xué)2

簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成·同方向同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成·同方向不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成·相互垂直的同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成·相互垂直的不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成一、同方向同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成1.分振動(dòng)：一物體同時(shí)參與兩個(gè)在同一直線上的同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其表達(dá)式為

x1=A1cos(t+1)x2=A2cos(t+2)

2.合振動(dòng)：

x=x1+x2

注意：A與A1,A2及2－1都有關(guān)。同方向同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合振動(dòng)必然是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其角頻率仍為·A，

可由旋轉(zhuǎn)矢量法導(dǎo)出，這比用解析法方便。t=0時(shí)合成振動(dòng)如右圖所示當(dāng)A1、A2同時(shí)以ω的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，A同樣以ω的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)。得合成運(yùn)動(dòng)為X=Acos(ωt+)由矢量合成的平行四邊形法則：顯然合成振動(dòng)的振幅不僅與A1、A2有關(guān)，也與φ1、φ2有關(guān)。(2)若兩分振動(dòng)反相，2

1=(2k+1),則A=|A1

-A2|，

兩分振動(dòng)相互減弱。

(以上k=0,1,2,……)如再有A1=A2，則A=0。此情形下，“振動(dòng)加振動(dòng)等于不振動(dòng)”?！て渌闆r下：

│A1-A2│<A<│A1+A2│3.兩種特殊情況(討論振幅A）(1)若兩分振動(dòng)同相，2

1

=2k，則

A=A1+A2，兩分振動(dòng)相互加強(qiáng)。例：求兩同方向、同頻率諧振動(dòng)X1=4cos(3t)、X2=2cos(3t+π/3)的合成諧振動(dòng)方程。解：合成后

不變，

X=Acos(3t+φ)A1=4、A2=2、φ1=0、φ2=π/3合振動(dòng)方程例、兩個(gè)同方向同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振動(dòng)表達(dá)式分別為：則它們的合振動(dòng)的振幅及初位相為：（B）解：例、圖中所畫的是兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)曲線，若這兩個(gè)諧振動(dòng)是可迭加的，則合成的余弦振動(dòng)的初相為：（C）解：兩振動(dòng)反相例題三個(gè)諧振動(dòng)方程分別為畫出它們的旋轉(zhuǎn)矢量圖。并在同一x-t坐標(biāo)上畫出振動(dòng)曲線。寫出合振動(dòng)方程。合振動(dòng)方程X=0設(shè)它們的振幅相等，初相位依次差一個(gè)恒量。其表達(dá)式為：在OCP中：·同方向的N個(gè)同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成合成后仍為諧振動(dòng)。所以，合振動(dòng)的表達(dá)式上兩式相除得討論1：即各分振動(dòng)同相位時(shí)，合振動(dòng)的振幅最大。當(dāng)討論2：

這時(shí)各分振動(dòng)矢量依次相接，構(gòu)成閉合的正多邊形，合振動(dòng)的振幅為零。以上討論的多個(gè)分振動(dòng)的合成在說明光的干涉和衍射規(guī)律時(shí)有重要的應(yīng)用。當(dāng)且重要的特例:可得各分振動(dòng)同相各分振動(dòng)的初相差為（為不等于nk

的整數(shù))可得封閉多邊形!例.n=4時(shí)k=1k=3k=2二.同方向不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成1.分振動(dòng)：設(shè)為2.合振動(dòng)：同方向不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合振動(dòng)不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。當(dāng)兩個(gè)分振動(dòng)的振幅相等而且在兩個(gè)分振動(dòng)矢量重合的時(shí)刻開始計(jì)時(shí)，合成也是非簡(jiǎn)諧振動(dòng)：隨t緩變隨t快變?nèi)?，2

均較大，而差值較小，上式變?yōu)檫@時(shí)振動(dòng)方程可以看成是被A’調(diào)制的振動(dòng)，是振幅有周期性變化的“簡(jiǎn)諧振動(dòng)”。令合振動(dòng)的?振幅?時(shí)而大（為2A），時(shí)而?。?）。這種兩個(gè)頻率都較大但是相差又很小、同方向簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成時(shí)，合振動(dòng)有忽強(qiáng)忽弱的現(xiàn)象，稱為“拍”。單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)加強(qiáng)（或減弱）的次數(shù)叫拍頻。·拍tx12=6tx21=7=1-2

拍頻tx（可測(cè)頻，或得到更低頻的振動(dòng)）播放教學(xué)片CD2

拍振動(dòng)合成后，振幅出現(xiàn)時(shí)而加強(qiáng)，時(shí)而減弱的現(xiàn)象----“拍”。三.相互垂直的同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成

(1)同頻率將兩式聯(lián)立，消去t,可得再將上兩式平方后相加即可得合運(yùn)動(dòng)一般不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。

(1)合運(yùn)動(dòng)一般是在2A1(x向)、2A2(y向)范圍內(nèi)的一個(gè)橢圓。(2)橢圓的性質(zhì)(方位、長(zhǎng)短軸、左右旋)在A1，A2

確定之后，主要決定于

=2

-11、

2

－

1=2kπ討論：直線是退化了的橢圓2、

2－

1=(2k+1)πY=A2cos(ωt+

2)=－A2cos(ωt+

1)

2－

1=2kπ

2

－

1=（2k+1）π3、

2

－

1=±π/2

Y=A2cos(ωt+

2)=±A2sin(ωt+

1)是長(zhǎng)短軸分別在x、y方向上的橢圓。當(dāng)A1=A2時(shí)是圓形。討論：

1

－

2=π/2

x方向的振動(dòng)比y方向的振動(dòng)超前π/2即當(dāng)某一瞬時(shí)，即質(zhì)點(diǎn)在圖中p點(diǎn)，經(jīng)過很短時(shí)間后，略大于零，y將略小于A2，為正，而略大于π/2，x將為負(fù)，所以質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到第二象限，即質(zhì)點(diǎn)沿橢圓逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)。y相位領(lǐng)先,則為右旋!x相位領(lǐng)先,則為左旋!所以P反之φ2－φ1=π/2

，質(zhì)點(diǎn)沿橢圓順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)4、一般情況表示一個(gè)長(zhǎng)短軸在任意方向的橢圓。軌跡的旋轉(zhuǎn)矢量作圖法:以為例(y相位領(lǐng)先)123456780001122334455667788xyyx相位領(lǐng)先,則為右旋!相位領(lǐng)先,則為左旋!設(shè)x

1

y2

=

=3/2=5/4=7/4

=/2=/4·P=0yx

=3/4（-3/4）（-/2）（-/4）兩個(gè)沿垂直方向的同頻簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)的軌跡四.相互垂直的不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成·其情形復(fù)雜，軌跡曲線一般不穩(wěn)定(隨t變化)，也不一定閉合，即合成運(yùn)動(dòng)不一定是周期性運(yùn)動(dòng)。如果兩個(gè)互相垂直的振動(dòng)頻率成整數(shù)比，合成運(yùn)動(dòng)的軌道是封閉曲線，運(yùn)動(dòng)也具有周期。這種運(yùn)動(dòng)軌跡的圖形稱為李薩如圖形。yxA1A2o-A2-A1

[例]下圖是x:y=3:2，2=0，1=/4

時(shí)的李薩如圖形。下圖給出李薩如圖形的幾種情況，可知振動(dòng)曲線與的不同取值有很大關(guān)系。阻尼振動(dòng)實(shí)際振動(dòng)系統(tǒng)因受阻力作用其振幅會(huì)不斷減小，稱為阻尼振動(dòng)。常見的阻力可寫成：質(zhì)量為m的物體在彈性回復(fù)力和上述阻力作用下的動(dòng)力學(xué)方程：上式的解與阻尼因素β的大小有關(guān)，分為欠阻尼、臨界阻尼和過阻尼三種情形。（為阻力系數(shù)）1、β<ω。欠阻尼情況：方程的解系統(tǒng)作準(zhǔn)周期振動(dòng)，振幅不斷減小，頻率為可由初始條件（x0，v0）求出為表示阻尼的大小，定義：對(duì)數(shù)簡(jiǎn)縮3、β＝ω。臨界阻尼情況：方程的解此時(shí)振動(dòng)系統(tǒng)剛剛不能作準(zhǔn)周期振動(dòng)，而很快回到平衡位置。上兩式中C1,C2均由初始條件確定，此時(shí)根本無振動(dòng)發(fā)生。過阻尼臨界阻尼欠阻尼xt02、β>ω。過阻尼情況：方程的解受迫振動(dòng)和共振系統(tǒng)受彈性力,阻力外,還受周期性策動(dòng)力其動(dòng)力學(xué)方程注意此時(shí)有兩個(gè)頻率：系統(tǒng)固有頻率ω0和驅(qū)動(dòng)力頻率ω當(dāng)系統(tǒng)振動(dòng)的頻率=驅(qū)動(dòng)力的頻率，系統(tǒng)穩(wěn)定此穩(wěn)定解與簡(jiǎn)諧振動(dòng)很相似,但很不一樣:是策動(dòng)力的角頻率(與系統(tǒng)本身的性質(zhì)無關(guān))是的函數(shù)(與初始條件x0,v0無關(guān))振幅A為最大值,這稱為共振現(xiàn)象。注意：在弱阻尼（）情況下,當(dāng)穩(wěn)定振動(dòng)解共振時(shí),振動(dòng)系統(tǒng)能最大限度地從外界獲得能量。因?yàn)榇藭r(shí)即策動(dòng)力與速度同相,策動(dòng)力總是作正功,系統(tǒng)就能最大限度從外界獲得能量