高三數(shù)學(xué)寒假課程第9講-等差數(shù)列與等比數(shù)列

第九講等差數(shù)列與等比數(shù)列【知識(shí)回顧】一、等差數(shù)列涉及等差數(shù)列的基本概念的問題，常用基本量來處理；若奇數(shù)個(gè)成等差數(shù)列且和為定值時(shí)，可設(shè)中間三項(xiàng)為；若偶數(shù)個(gè)成等差數(shù)列且和為定值時(shí)，可設(shè)中間兩項(xiàng)為，其余各項(xiàng)再根據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行對(duì)稱設(shè)元．等差數(shù)列的相關(guān)性質(zhì):等差數(shù)列中，，變式；等差數(shù)列的任意連續(xù)項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列仍為等差數(shù)列．等差數(shù)列中，若，則，若，則等差數(shù)列中，（其中）兩個(gè)等差數(shù)列與的和差的數(shù)列仍為等差數(shù)列．若是公差為的等差數(shù)列，則其子列也是等差數(shù)列，且公差為;也是等差數(shù)列，且公差為.在項(xiàng)數(shù)為項(xiàng)的等差數(shù)列中，；在項(xiàng)數(shù)為項(xiàng)的等差數(shù)列中，．等差數(shù)列中，也是一個(gè)等差數(shù)列，即點(diǎn)（）在一條直線上.兩個(gè)等差數(shù)列與中，分別是它們的前項(xiàng)和，則.二、等比數(shù)列涉及等比數(shù)列的基本概念的問題，常用基本量來處理；已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列時(shí)，可設(shè)這三個(gè)數(shù)依次為或；四個(gè)數(shù)時(shí)設(shè)為、、、等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì):若是等比數(shù)列，則；若是等比數(shù)列，，當(dāng)時(shí)，特別地，當(dāng)時(shí)，若是等比數(shù)列，則下標(biāo)成等差數(shù)列的子列構(gòu)成等比數(shù)列；若是等比數(shù)列，是的前項(xiàng)和，則，，…成等比數(shù)列．兩個(gè)等比數(shù)列與的積、商、倒數(shù)的數(shù)列、、仍為等比數(shù)列．【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一等差數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式例1、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且=6，=4，則公差d等于（）A．1B.C.-2D.3選題意圖：本題涉及等差數(shù)列的基本概念的問題，用基本量來處理答案：C解析：∵且，故選C.例2、已知為等差數(shù)列，++=105，=99，以表示的前項(xiàng)和，則使得達(dá)到最大值的是（）（）（A）21（B）20（C）19（D）18選題意圖：本題涉及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和最大的問題，是比較典型的答案：B解析：由++=105得即，由=99得即，∴，，由得，選B變式訓(xùn)練：將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：1123456789101112131415………………按照以上排列的規(guī)律，第行（）從左向右的第3個(gè)數(shù)為.答案：解析：前n－1行共有正整數(shù)1＋2＋…＋（n－1）個(gè)，即個(gè)，因此第n行第3個(gè)數(shù)是全體正整數(shù)中第＋3個(gè)，即為．點(diǎn)評(píng)：本小題考查歸納推理和等差數(shù)列求和公式，難點(diǎn)在于求出數(shù)列的通項(xiàng)，解決此題需要一定的觀察能力和邏輯推理能力.考點(diǎn)二等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式例3、已知等比數(shù)列的公比為正數(shù)，且·=2，=1，則=（）A.B.C.D.2選題意圖：本題涉及等比數(shù)列的基本概念的問題，用基本量來處理答案：B解析：設(shè)公比為，由已知得，即，又因?yàn)榈缺葦?shù)列的公比為正數(shù)，所以，故，選B.例4、設(shè)為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，求公比的值.選題意圖：本題考查等比數(shù)列的求和公式答案解析：若，則，，由得舍去.所以，由得，.考點(diǎn)三等差數(shù)列的性質(zhì)例5、設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則=.選題意圖：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)解析：是等差數(shù)列，由，得，.例6、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，則.（A）38（B）20（C）10（D）9w.w.w.k.選題意圖：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，比較典型答案：C解析：因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，，由，得：2－＝0，所以，＝2，又，即＝38，整理得（2m－1）×2＝38，解得m＝10，故選C.變式訓(xùn)練：兩個(gè)等差數(shù)列則=___________.答案：考點(diǎn)四等比數(shù)列的性質(zhì)例7、設(shè)等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，若=3，則=（）（A）2（B）（C）（D）3選題意圖：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，比較典型答案：B解析：設(shè)公比為q，則＝1＋q3＝3q3＝2，于是例8、在等比數(shù)列中，若是方程的兩根，則=__________.選題意圖：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)、根與系數(shù)的關(guān)系，比較簡(jiǎn)單答案：解析：變式訓(xùn)練：在等比數(shù)列中，完成下列各題：（1）若，且，求的值；（2）若，，求的值；答案解析：（1），即，又因?yàn)?，所以?）因?yàn)?，所以考點(diǎn)五等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合例9、等差數(shù)列的公差不為零，首項(xiàng)＝1，是和的等比中項(xiàng)，則數(shù)列的前10項(xiàng)之和是（）A.90B.100C.145D.190w.w.w.k.s.5.u.c.o.m選題意圖：本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)，等比中項(xiàng)等內(nèi)容答案：B解析：設(shè)公差為，則.∵≠0，解得＝2，∴＝100例10、設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，則的前項(xiàng)和=（）A． B． C． D．選題意圖：本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，等比數(shù)列的概念答案：A解析：設(shè)數(shù)列的公差為，則據(jù)題意得，解得或（舍去），所以數(shù)列的前項(xiàng)和例11、公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.若是的等比中項(xiàng)，，則等于（）A.18B.24C選題意圖：本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)，等比中項(xiàng)等內(nèi)容答案：C解析：由得得，再由得則，所以.例12、已知點(diǎn)（1，）是函數(shù)且）的圖象上一點(diǎn)，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的首項(xiàng)為，且前項(xiàng)和滿足－=+（）.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列{前項(xiàng)和為，問>的最小正整數(shù)是多少?選題意圖：本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用解析：（1），，，.又?jǐn)?shù)列成等比數(shù)列，，所以；又公比，所以；又，，；數(shù)列構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列，故，當(dāng)，；（）；（2）；由得，滿足的最小正整數(shù)為112.【課后作業(yè)】1.在等差數(shù)列中，，則的前5項(xiàng)和=（）A.7B.15C.20D.252.已知為等比數(shù)列，，，則（） 3.定義在上的函數(shù)，如果對(duì)于任意給定的等比數(shù)列，仍是等比數(shù)列，則稱為“保等比數(shù)列函數(shù)”.現(xiàn)有定義在上的如下函數(shù)：①；②；③；④.則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的的序號(hào)為（）①② B．③④ C．①③ D．②④4.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，，則數(shù)列的前100項(xiàng)和為（）（A）（B）（C）（D）5.已知等比數(shù)列｛an｝為遞增數(shù)列，且，則數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式an=______________.6.設(shè)數(shù)列，都是等差數(shù)列，若，，則__________.7.已知等差數(shù)列為其前n項(xiàng)和.若，，則=_______.8.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列和滿足：，，（1）設(shè)，，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設(shè)，，且是等比數(shù)列，求和的值．9.已知是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，是等比數(shù)列，且，.（Ⅰ）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記，，證明（）.【參考答案】1.【答案】B【解析】因?yàn)?，，所以，所以?shù)列的前5項(xiàng)和，選B.2.【答案】D【解析】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以，又，所以或.若，解得，；若，解得，仍有，綜上選D.3.【答案】C【解析】等比數(shù)列性質(zhì)，EQ，①；②；③；④.故選C4.【答案】A【解析】由，得，所以，所以，又，選A.5.【答案】【解析】，，解得或（舍去），.6.【答案】35【解析】設(shè)數(shù)列的公差分別為，則由，得，即，所以，所以.7.【答案】，【解析】因?yàn)?，所以?8.【解析】（1）∵，∴.∴.