立體幾何大題訓(xùn)練- 高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

高三解答題精選訓(xùn)練二立體幾何大題精選訓(xùn)練一．仿真精選1，（杭州桐廬分水高級(jí)中學(xué)2022屆高三第一次模擬）如圖，直三棱柱中，，、分別為、的中點(diǎn)．（1）求證：平面﹔（2）若，求二面角的余弦值．2,，（湘潭市2022屆高三第一次模擬）如圖，在三棱錐中，底面，，，．（1）求證：平面平面；（2）若二面角的大小為，過點(diǎn)作于，求直線與平面所成角的大小．3.（深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校高中部2021屆11月份月考）如圖，四棱錐中，底面是直角梯形，,，側(cè)面，△是等邊三角形，，，是線段的中點(diǎn)．

（1）求證：；求與平面所成角的正弦值．

4(2021·廣東省東莞市模擬題)如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AC=AA1，∠BAC=2π3，E、F分別為AB、B1C1的中點(diǎn)，G為線段CC1上的動(dòng)點(diǎn)．

(1)證明：EF//平面5.如圖,在四棱錐P-ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,且四邊形ABCD為直角梯形,∠ABC=∠BAD=π2,PA=AD=2,AB=BC=1.(1)求平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值;(2)點(diǎn)Q是線段BP上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)直線CQ與DP所成的角最小時(shí),求線段BQ的長.6.（2021泰安一模19）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AB＝2AD＝2，PA⊥平面ABCD，E為PD中點(diǎn)．（1）若PA＝1，求證：AE⊥平面PCD；（2）當(dāng)直線PC與平面ACE所成角最大時(shí)，求三棱錐E﹣ABC的體積．高考實(shí)戰(zhàn)。1.（2021全國甲卷理科19）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)．（1）證明：；（2）當(dāng)為何值時(shí)，面與面所成的二面角的正弦值最小?2.[2020·新高考卷Ⅰ(山東)-T20]如圖，四棱錐的底面為正方形，底面．設(shè)平面與平面的交線為．（1）證明：平面；（2）已知，為上的點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值的最大值．3.(2019·浙江)如圖，已知三棱柱，平面平面,，分別是的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的余弦值.4(2021·全國乙卷理科)如圖，四棱錐P?ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M為BC中點(diǎn)，且PB⊥AM．

(1)求BC；

(2)求二面角A?PM?B的正弦值．

5(2020全國乙卷理科)如圖，D為圓錐的頂點(diǎn)，O是圓錐底面的圓心，AE為底面直徑，AE=AD.△ABC是底面的內(nèi)接正三角形，P為DO上一點(diǎn)，PO=66DO(1)證明：PA⊥平面PBC;(2)求二面角B?PC?E的余弦值．

答案仿真精選1.解：（1）取的中點(diǎn)，連接、，在中，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，為中點(diǎn)，所以，且，且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，且，又因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，且，所以且，從而四邊形為平行四邊形，所以，又平面﹐平面，所以平面；（2）在直三棱柱中，平面，平面，則，因?yàn)椋?，所，故，，從而．以點(diǎn)為原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則、、、，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，解得，令，得，設(shè)平面的法向量為，則，即，解得，令，得，所以，由圖可知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值為2.解：（1）因?yàn)榈酌?，所以，又，所以，又，為平面?nèi)的兩條相交直線，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?；?）解法一由（1）可知，為二面角的平面角，所以，又，，，所以，過點(diǎn)作于，則平面且為中點(diǎn)，連接，則為直線與平面所成的角，在中，，，所以，故，所以直線與平面所成的角為60°．解法二建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則由已知，可得，，，，設(shè)，（），則，，，因?yàn)?，，，所以，解得，所以，故，設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，，由，得，令，則，所以為平面的一個(gè)法向量，所以，故直線與平面所成的角的正弦值為，所以直線與平面所成的角為60°3.解：（1）側(cè)面，平面，…………2分又△等邊三角形，是線段的中點(diǎn)，……………3分，平面，

平面，；……………5分（2）以為原點(diǎn)，以在平面內(nèi)過且垂直于的直線為軸，以、分別為、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

則，，，．，，．………………7分設(shè)為平面的一個(gè)法向量．由令，可得，………………9分

設(shè)與平面所成角為，得，………11分所以與平面所成角的正弦值為．……………12分4.(1)證明：取BC的中點(diǎn)M，連接EM、FM，

因?yàn)镋、F分別為AB、B1C1的中點(diǎn)，

所以EM//AC，MF//CC1，EM∩MF=M，AC∩CC1=C，

所以平面EMF//平面AA1C1C，

又因?yàn)镋F?平面EMF，EF?平面AA1C1C，

所以EF//平面AA1C1C.

(2)解：不妨設(shè)AB=AC=AA1=1，

由余弦定理得B1C1=3，

如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)1?xyz，

設(shè)G(0,1，?)，B1(32,?12,0)，B(32,?12,1)，C1(0,1，0)，

E、F分別為AB、B1C1的中點(diǎn)，G為線段CC5.解：以{AB,AD,AP}為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則各點(diǎn)的坐標(biāo)為B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2).因?yàn)锽P=(-1,0,2),設(shè)BQ=λBP=(-λ,0,2λ)(0≤λ≤1),又CB=(0,-1,0),則CQ=CB+BQ=(-λ,-1,2λ),又DP=(0,-2,2),從而cos<CQ,DP>=CQ·DP|CQ設(shè)1+2λ=t,t∈[1,3],則cos2<CQ,DP>=2t25t2-10當(dāng)且僅當(dāng)t=95,即λ=25時(shí),|cos<CQ,DP>|的最大值為3因?yàn)閥=cosx在0,π2上是減函數(shù),所以此時(shí)直線CQ與DP所成的角取得最小值又因?yàn)锽P=12+22所以BQ=25BP=256解：（1）證明：∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，∵四邊形ABCD為矩形，∴AD⊥CD，又AD∩PA＝A，AD、PA?平面PAD，∴CD⊥平面PAD，∵AE?平面PAD，∴AE⊥CD，在△PAD中，PA＝AD，E為PD的中點(diǎn)，∴AE⊥PD，而PD∩CD＝D，PD、CD?平面PCD，∴AE⊥平面PCD；（2）解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB、AD、AP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AP＝a（a＞0），則C（2，1，0），P（0，0，a），E（0，，），∴，，，設(shè)平面ACE的一個(gè)法向量為，則，取y＝﹣a，可得．設(shè)直線PC與平面ACE所成角為θ，則sinθ＝|cos＜＞|＝＝＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝時(shí)等號(hào)成立．即當(dāng)AP＝時(shí)，直線PC與平面ACE所成角最大，此時(shí)三棱錐E﹣ABC的體積V＝．

二高考實(shí)戰(zhàn)。1解：因?yàn)槿庵侵比庵?，所以底面，所以因?yàn)椋?，所以，又，所以平面．所以兩兩垂直．以為坐?biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．所以，．由題設(shè)（）．（1）因?yàn)?，所以，所以．?）設(shè)平面的法向量為，因?yàn)椋?，即．令，則因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?，設(shè)平面與平面的二面角的平面角為，則．當(dāng)時(shí)，取最小值為，此時(shí)取最大值為．所以，此時(shí)．2.解：（1）證明：過在平面內(nèi)作直線，由，可得，即為平面和平面的交線，平面，平面，，又，，平面，，平面；（2）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，，所在的直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，0，，，1，，，0，，，1，，設(shè)，0，，，0，，，1，，，1，，設(shè)平面的法向量為，，，則，，取，可得，0，，，，與平面所成角的正弦值為，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，與平面所成角的正弦值的最大值為．3.解：(1)如圖所示，連結(jié)，等邊中，，則，平面ABC⊥平面，且平面ABC∩平面，由面面垂直的性質(zhì)定理可得：平面，故，由三棱柱的性質(zhì)可知，而，故，且，由線面垂直的判定定理可得：平面，結(jié)合?平面，故.(2)在底面ABC內(nèi)作EH⊥AC，以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EH,EC,方向分別為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，,，據(jù)此可得：，由可得點(diǎn)坐標(biāo)為，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：，由于，故直線EF的方向向量為：設(shè)平面的法向量為，則：，據(jù)此可得平面的一個(gè)法向量為，此時(shí)，設(shè)直線EF與平面所成角為，則4.解：(1)連結(jié)BD，因?yàn)镻D⊥底面ABCD，且AM?平面ABCD，

則AM⊥PD，又AM⊥PB，PB∩PD=P，PB，PD?平面PBD，

所以AM⊥平面PBD，又BD?平面PBD，則AM⊥BD，

所以∠ABD+∠DAM=90°，又∠DAM+∠MAB=90°，

則有∠ADB=∠MAB，所以Rt△DAB∽R(shí)t△ABM，

則ADAB=BABM，所以12BC2=1，解得BC=2；

(2)因?yàn)镈A，DC，DP兩兩垂直，故以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則A(2,0,0),B(2,1,0),M(22,1,0)，P(0,0，1)，

所以AP=(?2,0,1)，AM=(?22,1,0),BM=(?22,0,0),BP=(?2,?1,1)，

設(shè)平面AMP的法向量為n=(x,y,z)，

則有n?AP=0n?AM=0，即?2x+z=0?22x+y=0，

令x=2，則y=1，z=2，故n=(2,1,2)，

設(shè)平面BMP的法向量為m=(p,q,r)，AB=BC=CA=3，DO=DAPA=PB=PC=PO在△PAC中，PA2+P