第一章 第二節(jié) 絕對(duì)值不等式與一元二次不等式

第二節(jié)絕對(duì)值不等式與一元二次

不等式考綱點(diǎn)擊1.掌握簡(jiǎn)單的絕對(duì)值不等式的解法．2.掌握一元二次不等式的解法．熱點(diǎn)提示1.以考查絕對(duì)值不等式或一元二次不等式的解法為主，兼顧考查集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算或判斷集合間的關(guān)系.2.給出函數(shù)解析式，以求函數(shù)定義域?yàn)檩d體考查絕對(duì)值不等式或一元二次不等式的解法1．絕對(duì)值不等式的解法(1)含絕對(duì)值的不等式|x|<a與|x|>a的解集不等式a>0a＝0a<0|x|<a{x|－a<x<a}??|x|>a{x|x>a或x<－a}{x∈R|x≠0}R(2){ax＋b|>c(c>0)或|ax＋b|<c(c>0)的解法①|(zhì)ax＋b|>c?___________________②|ax＋b|<c?__________(3)|f(x)|<g(x)或|f(x)|>g(x)的解法①|(zhì)f(x)|<g(x)?______________②|f(x)|>g(x)?___________________ax＋b>c或ax＋b<－c－c<ax＋b<c－g(x)<f(x)<g(x)f(x)>g(x)或f(x)<－g(x)2．一元二次方程、一元二次不等式和二次函數(shù)之間的關(guān)系不等式ax2＋bx＋c＝0(a>0)的實(shí)根{x|x<x1或x>x2}R不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??1．已知A＝{x||x－a|<4}，B＝{x|x2－6x＋5>0}，且A∪B＝R，則a的取值范圍是(

)A．a(chǎn)<1或a>5

B．a(chǎn)≤1或a≥5C．1<a<5D．1≤a≤5【答案】

C2．(2008年湖南師大附中月考)若2－m與|m|－3異號(hào)，則m的取值范圍是(

)A．m>3B．－3<m<3C．2<m<3D．－3<m<2或m>3【解析】

(2－m)(|m|－3)<0，∴(m－2)(|m|－3)>0，∴或，∴m>3或－3<m<2.【答案】

D3．設(shè)U＝R，A＝{x|mx2＋8mx＋21>0}，?UA＝?，則m的取值范圍是(

)【答案】

A4．若－1<a<0，則不等式(x－a)(ax－1)<0的解集為_(kāi)_______．5．(2008年山東高考題)若不等式|3x－b|<4的解集中的整數(shù)有且僅有1,2,3，則b的取值范圍為_(kāi)__．【答案】

(5,7)(1)解不等式|x2－9|≤x＋3.(2)對(duì)任意實(shí)數(shù)x，若不等式|x＋1|－|x－2|>k，求k的取值范圍．含絕對(duì)值不等式的解法【思路點(diǎn)撥】

等價(jià)轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的不等．含多個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的不等式可用分類討論去絕對(duì)值號(hào)，也可用絕對(duì)值的幾何意義或數(shù)形結(jié)合求解．方法二：原不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為－(x＋3)≤x2－9≤x＋3解之得2≤x≤4或x＝－3.即原不等式的解集為{x|2≤x≤4，或x＝－3}．(2)方法一：數(shù)形結(jié)合，根據(jù)絕對(duì)值幾何意義，|x＋1|可以看作點(diǎn)x到點(diǎn)－1的距離，|x－2|可以看作是點(diǎn)x到點(diǎn)2的距離，我們?cè)跀?shù)軸上任取三個(gè)點(diǎn)xA≤－1，－1<xB≤2，xC≥2，如下圖：可以看出|xA+1|-|xA-2|=-3，-3<|xB+1|-|xB-2|<3，|xC+1|-|xC-2|=3，由此可知，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有-3≤|x+1|-|x-2|≤3.因此，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，|x+1|-|x-2|>k恒成立，則k<-3.方法二：令y=|x+1|-|x-2|，在直角坐標(biāo)系中作出其圖象，如右圖所示：由圖象可得到-3≤|x+1|-|x-2|≤3，以下同方法一．方法三：根據(jù)定理“||a|-|b||≤|a-b|”得||x+1|-|x-2||≤|(x+1)-(x-2)|=3，∴-3≤|x+1|-|x-2|≤3.∵對(duì)任意x∈R，|x＋1|－|x－2|>k恒成立，∴k<－3.

解含有絕對(duì)值的不等式的基本思想是化歸思想，即化為不含有絕對(duì)值的不等式．|f(x)|<g(x)?－g(x)<f(x)<g(x)，(g(x)>0)|f(x)|>g(x)?f(x)>g(x)或f(x)<－g(x)，這兩種轉(zhuǎn)化可避免對(duì)g(x)正負(fù)的討論，當(dāng)然討論g(x)正負(fù)也可去掉絕對(duì)值．利用|x－a|的幾何意義(x點(diǎn)到a點(diǎn)的距離)，可簡(jiǎn)便處理|x－a|±|x－b|>(或<)c類絕對(duì)值不等式問(wèn)題；處理含有多個(gè)絕對(duì)值不等式的基本方法是根據(jù)各個(gè)絕對(duì)值的零點(diǎn)分段去掉絕對(duì)值，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值問(wèn)題，方法二就是這樣處理的．解不等式：x2－(a＋a2)x＋a3＞0.【思路點(diǎn)撥】解含參數(shù)的不等式，應(yīng)注意二次不等式所對(duì)應(yīng)的方程的根的大小，若不能確定，應(yīng)進(jìn)行分類討論．一元二次不等式的解法【自主解答】將不等式x2－(a＋a2)x＋a3＞0變形為(x－a)(x－a2)＞0.當(dāng)a＜0時(shí)，有a＜a2，解集為{x|x＜a或x＞a2}；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，有a＞a2，解集為{x|x＜a2或x＞a}；當(dāng)a＞1時(shí)，有a＜a2，解集為{x|x＜a或x＞a2}；當(dāng)a＝0時(shí)，解集為{x|x∈R，且x≠0}；當(dāng)a＝1時(shí)，解集為{x|x∈R，且x≠1}．

一元二次不等式的解法步驟(1)將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)；(2)看判別式Δ的符號(hào)；(3)求出相應(yīng)一元二次方程的根(若根存在)；(4)根據(jù)二次函數(shù)圖象、一元二次方程的根與不等式解集的關(guān)系，結(jié)合不等號(hào)定解集．(1)常通過(guò)因式分解合并上述第(1)、(2)兩步．(2)當(dāng)解含有參數(shù)的二次不等式問(wèn)題時(shí)，一定要注意二次項(xiàng)的系數(shù)是否含有待定字母(或含有字母的因式)，若有就要分二次項(xiàng)的系數(shù)是否為零進(jìn)行討論．1．解不等式mx2＋(m－2)x－2>0(m∈R)．

設(shè)不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集為M，如果M?[1,4]，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．M＝?→不等式無(wú)解→利用判別式Δ<0求aM＝?→求集合M→利用集合間的關(guān)系求a→取并集，求a求參數(shù)的取值范圍

若恒負(fù)，則，即圖像開(kāi)口向下，與x軸無(wú)交點(diǎn)(如圖②)．特別要注意二次項(xiàng)系數(shù)為零時(shí)能否成立．2．(2008年四川三市)已知集合A＝{x|x2＋(a＋2)x＋1＝0，x∈R}，B＝{x|x＋|x＋1|＞1，x∈R}，并且滿足A∩B＝?，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】首先由x＋|x＋1|＞1得|x＋1|＞1－x，∴x＋1＜x－1或x＋1＞1－x，∴x＞0，∴B＝{x|x＞0}．當(dāng)A＝?時(shí)，A∩B＝?，Δ＝(a＋2)2－4＜0，∴－4＜a＜0；(12分)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，使得不等式f(1－ax－x2)＜f(2－a)對(duì)于任意x∈[0,1]都成立？若存在，試求出實(shí)數(shù)a的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【思路點(diǎn)撥】

首先利用函數(shù)單調(diào)性將抽象型函數(shù)符號(hào)去掉，然后轉(zhuǎn)化為二次不等式恒成立問(wèn)題，最后轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)區(qū)間最值問(wèn)題．【規(guī)范解答】由于f(x)是定義在(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，所以不等式f(1－ax－x2)＜f(2－a)對(duì)于任意x∈[0,1]都成立?不等式1－ax－x2＜2－a對(duì)于任意x∈[0,1]都成立，即不等式x2＋ax－a＋1＞0在x∈[0,1]上恒成立.2分方法一：令g(x)＝x2＋ax－a＋1，只需g(x)在[0,1]上的最小值大于0即可．

此類題目稱為恒成立問(wèn)題，函數(shù)式中含有兩個(gè)參數(shù)，知道其中一個(gè)的范圍求另一個(gè)的取值范圍，常用的方法是分離參數(shù)法，即化為a＞f(x)恒成立或a＜f(x)恒成立．a(chǎn)＞f(x)恒成立?a＞f(x)(max)，a＜f(x)恒成立?a＜f(x)min.方法二：∵f(1)＝3.畫(huà)出f(x)的圖象如圖，易知f(x)=3時(shí)，x=-3,1,3.故f(x)＞f(1)?-3＜x＜1或x＞3.【答案】

A[教師選講](2009年安徽)若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}，B＝{x∈N*|x≤5}，則A∩B是(

)A．{1,2,3}B．{1,2}C．{4,5}D．{1,2,3,4,5}【答案】

B2．(2009年山東)在R上定義運(yùn)算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，則滿足x⊙(x－2)＜0的實(shí)數(shù)x的取值范圍為(

)A．(0,2)B．(－2,1)C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D．(－1,2)【解析】根據(jù)題意得：x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2，∴解x2＋x－2＜0得－2＜x＜1.故選B.【答案】

B[教師選講](2009年陜西)若不等式x2－x≤0的解集為M，函數(shù)f(x)＝ln(1－|x|)的定義域?yàn)镹，則M∩N為(

)A．[0,1)B．(0,1)C．[0,1]D．(－1,0]【解析】

由x2－x≤0，解得0≤x≤1，∴M＝{x|0≤x≤1}．又1－|x|＞0，解得－1＜x＜1，∴N＝{x|－1＜x＜1}．則M∩N＝{x|0≤x＜1}，故選A.【答案】

A3．(2009年福建)選修4－5：不等式選講解不等式|2x－1|＜|x|＋1.1．解含有絕對(duì)值不等式的關(guān)鍵，就是依據(jù)絕對(duì)值概念和等價(jià)不等式，將其轉(zhuǎn)化為