陳家璧版-光學(xué)信息技術(shù)原理與應(yīng)用復(fù)習(xí)題解答(1-3章)

..第一章習(xí)題已知不變線性系統(tǒng)的輸入為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。若b取〔1〔2,求系統(tǒng)的輸出。并畫出輸出函數(shù)及其頻譜的圖形。答：〔1圖形從略,〔2圖形從略。1.2若限帶函數(shù)的傅里葉變換在長(zhǎng)度為寬度的矩形之外恒為零,如果,,試證明證明：如果,,還能得出以上結(jié)論嗎？答：不能。因?yàn)檫@時(shí)。對(duì)一個(gè)空間不變線性系統(tǒng),脈沖響應(yīng)為試用頻域方法對(duì)下面每一個(gè)輸入,求其輸出?！脖匾獣r(shí),可取合理近似〔1答：〔2答：〔3答：〔4答：1.4給定一個(gè)不變線性系統(tǒng),輸入函數(shù)為有限延伸的三角波對(duì)下述傳遞函數(shù)利用圖解方法確定系統(tǒng)的輸出?！?〔2略.1.5若對(duì)二維函數(shù)抽樣,求允許的最大抽樣間隔并對(duì)具體抽樣方法進(jìn)行說明。答：也就是說,在X方向允許的最大抽樣間隔小于1/2a,在y方向抽樣間隔無(wú)限制。1.6若只能用表示的有限區(qū)域上的脈沖點(diǎn)陣對(duì)函數(shù)進(jìn)行抽樣,即試說明,即使采用奈魁斯特間隔抽樣,也不能用一個(gè)理想低通濾波器精確恢復(fù)。答：因?yàn)楸硎镜挠邢迏^(qū)域以外的函數(shù)抽樣對(duì)精確恢復(fù)也有貢獻(xiàn),不可省略。1.7若二維不變線性系統(tǒng)的輸入是"線脈沖",系統(tǒng)對(duì)線脈沖的輸出響應(yīng)稱為線響應(yīng)。如果系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為,證明：線響應(yīng)的一維傅里葉變換等于系統(tǒng)傳遞函數(shù)沿軸的截面分布。證明：1.8如果一個(gè)空間不變線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)在頻率域的區(qū)間,之外恒為零,系統(tǒng)輸入為非限帶函數(shù),輸出為。證明,存在一個(gè)由脈沖的方形陣列構(gòu)成的抽樣函數(shù),它作為等效輸入,可產(chǎn)生相同的輸出,并請(qǐng)確定。答：參閱《傅里葉光學(xué)〔基本概念和習(xí)題》P45。為了便于從頻率域分析,分別設(shè)：物的空間頻譜；像的空間頻譜；等效物體的空間頻譜；等效物體的像的空間頻譜由于成像系統(tǒng)是一個(gè)線性的空間不變低通濾波器,傳遞函數(shù)在之外恒為零,故可將其記為：、利用系統(tǒng)的傳遞函數(shù),表示物像之間在頻域中的關(guān)系為在頻域中我們構(gòu)造一個(gè)連續(xù)的、二維周期性分布的頻域函數(shù),預(yù)期作為等效物的譜,辦法是把安置在平面上成矩形格點(diǎn)分布的每一個(gè)點(diǎn)周圍,選擇矩形格點(diǎn)在、方向上的間隔分別為和,以免頻譜混疊,于是對(duì)于同一個(gè)成像系統(tǒng),由于傳遞函數(shù)的通頻帶有限,只能允許的中央一個(gè)周期成份〔通過,所以成像的譜并不發(fā)生變化,即第二章習(xí)題：一列波長(zhǎng)為的單位振幅平面光波,波矢量與軸的夾角為,與軸夾角為,試寫出其空間頻率及平面上的復(fù)振幅表達(dá)式。答：,,尺寸為a×b的不透明矩形屏被單位振幅的單色平面波垂直照明,求出緊靠屏后的平面上的透射光場(chǎng)的角譜。答：,,波長(zhǎng)為的單位振幅平面波垂直入射到一孔徑平面上,在孔徑平面上有一個(gè)足夠大的模板,其振幅透過率為,求緊靠孔徑透射場(chǎng)的角譜。答:：參看圖2-13,邊長(zhǎng)為的正方形孔徑內(nèi)再放置一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形掩模,其中心落在點(diǎn)。采用單位振幅的單色平面波垂直照明,求出與它相距為的觀察平面上夫瑯和費(fèi)衍射圖樣的光場(chǎng)分布。畫出時(shí),孔徑頻譜在方向上的截面圖。圖2.13〔2.4題圖答：圖2-14所示的孔徑由兩個(gè)相同的矩形組成,它們的寬度為,長(zhǎng)度為,中心相距為。采用單位振幅的單色平面波垂直照明,求與它相距為的觀察平面上夫瑯和費(fèi)衍射圖樣的強(qiáng)度分布。假定及,畫出沿和方向上強(qiáng)度分布的截面圖。如果對(duì)其中一個(gè)矩形引入位相差,上述結(jié)果有何變化？圖2.14〔2.5題圖答：參閱《傅里葉光學(xué)〔基本概念和習(xí)題》P73?！?如圖所示,雙縫的振幅透射率是兩個(gè)中心在及的矩形孔徑振幅透射率之和：〔1由于是單位振幅平面波垂直照明,孔徑平面上入射光場(chǎng),透射光場(chǎng)〔2由夫瑯和費(fèi)衍射方程,在夫瑯和費(fèi)區(qū)中離孔徑距離z的觀察平面上得到夫瑯和費(fèi)衍射圖樣,它正比于孔徑上場(chǎng)分布的傅立葉變換式〔頻率坐標(biāo),即〔3利用傅立葉變換的相移定理,得到把它帶入〔3式,則有強(qiáng)度分布不難看出,這一強(qiáng)度分布是矩孔徑衍射圖樣和雙光束干涉圖樣相互調(diào)制的結(jié)果。雙縫的振幅透射率也可以寫成下述形式：〔4它和〔1式本質(zhì)上是相同的。由〔4式可以利用卷積定理直接求出其傅立葉變換式,導(dǎo)出與上述同樣的結(jié)果。圖2-14所示半無(wú)窮不透明屏的復(fù)振幅透過率可用階躍函數(shù)表示為。采用單位振幅的單色平面波垂直照明,求相距為的觀察平面上夫瑯和費(fèi)衍射圖樣的復(fù)振幅分布。畫出在方向上的振幅分布曲線。圖2.15〔2.6題圖答：振幅分布曲線圖從略。在夫瑯和費(fèi)衍射中,只要孔徑上的場(chǎng)沒有相位變化,試證明：〔1不論孔徑的形狀如何,夫瑯和費(fèi)衍射圖樣都有一個(gè)對(duì)稱中心。〔2若孔徑對(duì)于某一條直線是對(duì)稱的,則衍射圖樣將對(duì)于通過原點(diǎn)與該直線平行和垂直的兩條直線對(duì)稱。證明：〔1在孔徑上的場(chǎng)沒有相位變化時(shí),衍射孔徑上的光分布是一個(gè)實(shí)函數(shù),其傅里葉變換是厄米型函數(shù),即：因此,所以夫瑯和費(fèi)衍射圖樣有一個(gè)對(duì)稱中心?！?孔徑對(duì)于某一條直線是對(duì)稱時(shí),以該直線為軸建立坐標(biāo)系。有：因此同時(shí)所以可見衍射圖樣將對(duì)于通過原點(diǎn)與該直線平行和垂直的兩條直線對(duì)稱。試證明如下列陣定理：假設(shè)在衍射屏上有個(gè)形狀和方位都相同的全等形開孔,在每一個(gè)開孔內(nèi)取一個(gè)相對(duì)開孔來(lái)講方位一樣的點(diǎn)代表孔的位置,那末該衍射屏生成的夫瑯和費(fèi)衍射場(chǎng)是下列兩個(gè)因子的乘積：〔1置于原點(diǎn)的一個(gè)孔徑的夫瑯和費(fèi)衍射〔該衍射屏的原點(diǎn)處不一定有開孔；〔2個(gè)處于代表孔位置的點(diǎn)上的點(diǎn)光源在觀察面上的干涉。證明：假設(shè)置于原點(diǎn)的一個(gè)孔徑表示為,個(gè)處于代表孔位置的點(diǎn)上的點(diǎn)光源表示為,則衍射屏的透過率可表示為,其傅里葉變換可表示為,該式右邊第一項(xiàng)對(duì)應(yīng)于置于原點(diǎn)的一個(gè)孔徑的夫瑯和費(fèi)衍射,第二項(xiàng)對(duì)應(yīng)于個(gè)處于代表孔位置的點(diǎn)上的點(diǎn)光源在觀察面上的干涉,因此該衍射屏生成的夫瑯和費(fèi)衍射場(chǎng)是這兩個(gè)因子的乘積。一個(gè)衍射屏具有下述圓對(duì)稱振幅透過率函數(shù)這個(gè)屏的作用在什么方面像一個(gè)透鏡？給出此屏的焦距表達(dá)式。什么特性會(huì)嚴(yán)重的限制這種屏用做成像裝置〔特別是對(duì)于彩色物體？答：參閱《傅里葉光學(xué)〔基本概念和習(xí)題》P116?！?解衍射屏的復(fù)振幅投射率如圖所示,也可以把它表示為直角坐標(biāo)的形式：〔1〔1式大括號(hào)中第一項(xiàng)僅僅是使直接透射光振幅衰減,其他兩項(xiàng)指數(shù)項(xiàng)與透鏡位相變換因子比較,可見形式相同。當(dāng)平面波垂直照射時(shí),這兩項(xiàng)的作用是分別產(chǎn)生會(huì)聚球面波和發(fā)散球面波。因此在成像性質(zhì)和傅立葉變換性質(zhì)上該衍射屏都有些類似與透鏡,因子表明該屏具有半徑為的圓形孔徑?！?解把衍射屏復(fù)振幅透射率中的復(fù)指數(shù)項(xiàng)與透鏡位相變換因子相比較,得到相應(yīng)的焦距,對(duì)于項(xiàng),令,則有焦距為正,其作用相當(dāng)于會(huì)聚透鏡,對(duì)于項(xiàng),令,則有焦距為負(fù),其作用相當(dāng)于發(fā)散透鏡,對(duì)于""這一項(xiàng)來(lái)說,平行光波直接透過,僅振幅衰減,可看作是〔3解由于改衍射屏有三重焦距,用作成像裝置時(shí),對(duì)同一物體它可以形成三個(gè)像,例如對(duì)于無(wú)窮遠(yuǎn)的點(diǎn)光源,分別在屏兩側(cè)對(duì)稱位置形成實(shí)像和虛像,另一個(gè)像在無(wú)窮遠(yuǎn)〔直接透射光〔參看圖4.12。當(dāng)觀察者觀察其中一個(gè)像時(shí),同時(shí)會(huì)看到另外的離焦像,無(wú)法分離開。如用接收屏接收,在任何一個(gè)像面上都會(huì)有其它的離焦像形成的背景干擾。除此以外,對(duì)于多色物體來(lái)說,嚴(yán)重的色差也是一個(gè)重要的限制。因?yàn)榻咕喽寂c波長(zhǎng)成反比。例如取,,則有這樣大的色差是無(wú)法用作成像裝置的,若采用白光作光源,在像面上可以看到嚴(yán)重的色散現(xiàn)象。這種衍射屏實(shí)際就是同軸形式的點(diǎn)源全息圖,即伽柏全息圖。用波長(zhǎng)為的平面光波垂直照明半徑為的衍射孔,若觀察范圍是與衍射孔共軸,半徑為的圓域,試求菲涅耳衍射和夫瑯和費(fèi)衍射的范圍。答：由式<2.55>及式<2-57>有菲涅耳衍射和夫瑯和費(fèi)衍射分別要求即單位振幅的單色平面波垂直入射到一半徑為的圓形孔徑上,試求菲涅耳衍射圖樣在軸上的強(qiáng)度分布。答：圓形孔徑的透過率可表示為根據(jù)式<2.53>有軸上的振幅分布為軸上的強(qiáng)度分布為余弦型振幅光柵的復(fù)振幅透過率為式中,為光柵周期,,。觀察平面與光柵相距。當(dāng)分別取下列各數(shù)值：〔1；〔2；〔3〔式中稱作泰伯距離時(shí),確定單色平面波垂直照明光柵,在觀察平面上產(chǎn)生的強(qiáng)度分布。答：根據(jù)式<2.31>單色平面波垂直照明下余弦型振幅光柵的復(fù)振幅分布為強(qiáng)度分布為角譜為傳播距離后,根據(jù)式<2.40>得到角譜利用二項(xiàng)式近似有故〔1時(shí)與僅相差一個(gè)常數(shù)位相因子,因而觀察平面上產(chǎn)生的強(qiáng)度分布與單色平面波垂直照明下剛剛透過余弦型振幅光柵產(chǎn)生的強(qiáng)度分布完全相同?！?時(shí)對(duì)應(yīng)復(fù)振幅分布為因而觀察平面上產(chǎn)生的強(qiáng)度分布為平移半個(gè)周期的單色平面波垂直照明下剛剛透過余弦型振幅光柵產(chǎn)生的強(qiáng)度分布?！?對(duì)應(yīng)復(fù)振幅分布為強(qiáng)度分布為圖2.16所示為透射式鋸齒型位相光柵。其折射率為,齒寬為,齒形角為,光柵整體孔徑為邊長(zhǎng)的正方形。采用單位振幅的單色平面波垂直照明,求距離光柵為的觀察平面上夫瑯和費(fèi)衍射圖樣的強(qiáng)度分布。若讓衍射圖樣中的某個(gè)一級(jí)譜幅值最大,應(yīng)如何選擇？圖2.16〔2.13題圖答：在如圖的透射式鋸齒型位相光柵中,單位振幅的單色平面波由光柵的背后平面入射垂直照明,則在齒頂平面形成的光波復(fù)振幅分布可表示為其角譜為若讓衍射圖樣中的m級(jí)譜幅值最大,應(yīng)選擇使得因而有設(shè)為矩形函數(shù),試編寫程序求,,時(shí),其分?jǐn)?shù)階傅里葉變換,并繪制出相應(yīng)的曲線。答：根據(jù)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換定義式<2.62>以及式<2.79>即可編程計(jì)算,,時(shí)的分?jǐn)?shù)階傅里葉變換。第三章習(xí)題參看圖3.5,在推導(dǎo)相干成像系統(tǒng)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)〔3.35式時(shí),對(duì)于積分號(hào)前的相位因子試問物平面上半徑多大時(shí),相位因子相對(duì)于它在原點(diǎn)之值正好改變?chǔ)谢《龋吭O(shè)光瞳函數(shù)是一個(gè)半徑為a的圓,那么在物平面上相應(yīng)h的第一個(gè)零點(diǎn)的半徑是多少？由這些結(jié)果,設(shè)觀察是在透鏡光軸附近進(jìn)行,那么a,λ和do之間存在什么關(guān)系時(shí)可以棄去相位因子一個(gè)余弦型振幅光柵,復(fù)振幅透過率為放在圖3.5所示的成像系統(tǒng)的物面上,用單色平面波傾斜照明,平面波的傳播方向在x0z平面內(nèi),與z軸夾角為θ。透鏡焦距為f,孔徑為D。求物體透射光場(chǎng)的頻譜；使像平面出現(xiàn)條紋的最大θ角等于多少？求此時(shí)像面強(qiáng)度分布；<3>若θ采用上述極大值,使像面上出現(xiàn)條紋的最大光柵頻率是多少？與θ=0時(shí)的截止頻率比較,結(jié)論如何？3.3光學(xué)傳遞函數(shù)在fx=fy=0處都等于1,這是為什么？光學(xué)傳遞函數(shù)的值可能大于1嗎？如果光學(xué)系統(tǒng)真的實(shí)現(xiàn)了點(diǎn)物成點(diǎn)像,這時(shí)的光學(xué)傳遞函數(shù)怎樣？3.4當(dāng)非相干成像系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)hI〔xi,yi成點(diǎn)對(duì)稱時(shí),則其光學(xué)傳遞函數(shù)是實(shí)函數(shù)。3.5非相干成像系統(tǒng)的出瞳是由大量隨機(jī)分布的小圓孔組成。小圓孔的直徑都為2a,出瞳到像面的距離為di,光波長(zhǎng)為λ,這種系統(tǒng)可用來(lái)實(shí)現(xiàn)非相干低通濾波。系統(tǒng)的截止頻率近似為多大？3.6 試用場(chǎng)的觀點(diǎn)證明在物的共軛面上得到物體的像解：如圖設(shè)是透過率函數(shù)為的物平面,是與共軛的像平面,即有式中f為透鏡的焦距,設(shè)透鏡無(wú)像差,成像過程分兩步進(jìn)行：射到物面上的平面波在物體上發(fā)生衍射,結(jié)果形成入射到透鏡上的光場(chǎng)；這個(gè)入射到透鏡上的光場(chǎng)經(jīng)透鏡作位相變換后,在透鏡的后表面上形成衍射場(chǎng),這個(gè)場(chǎng)傳到像面上形成物體的像。為了計(jì)算光場(chǎng),我們用菲涅耳近似,透鏡前表面的場(chǎng)為這里假定只在物體孔徑之內(nèi)不為零,所以積分限變?yōu)?此積分可以看成是函數(shù)的傅立葉變換,記為,其中在緊靠透鏡后表面處這個(gè)被透鏡孔徑所限制的場(chǎng),在孔徑上發(fā)生衍射,在用菲涅耳近似,便可得到像面上的光場(chǎng)由題設(shè)知,并且假定透鏡孔徑外的場(chǎng)等于零,且忽略透鏡孔徑的限制,所以將上式中的積分限寫成無(wú)窮,于是上述積分為注意于是得再考慮到和之間的關(guān)系得到即得到像平面上倒立的,放大倍的像。3.7 試寫出平移模糊系統(tǒng),大氣擾動(dòng)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：在照相系統(tǒng)的曝光期間,因線性平移使點(diǎn)變成小線段而造成圖像模糊,這種系統(tǒng)稱為平移模糊系統(tǒng),它的線擴(kuò)散函數(shù)為一矩形函數(shù)其傳遞函數(shù)為對(duì)于大氣擾動(dòng)系統(tǒng),設(shè)目標(biāo)物為一細(xì)線,若沒有大氣擾動(dòng),則理想成像為一條細(xì)線。由于大氣擾動(dòng),使在爆光期間內(nèi)細(xì)線的像作隨機(jī)晃動(dòng),按照概率理論,可以把晃動(dòng)的線像用高斯函數(shù)描述。設(shè)晃動(dòng)擺幅的均方根