第四章 導(dǎo)熱問題數(shù)值解法基礎(chǔ)

第四章導(dǎo)熱問題數(shù)值解法基礎(chǔ)第一節(jié)建立離散方程的方法第二節(jié)穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值計算第三節(jié)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值計算第四章導(dǎo)熱問題數(shù)值解法基礎(chǔ)數(shù)值解法為一種近似解法，但其近似精度可人為控制，故又是一種十分精確的解法。數(shù)值解法的主要思路和步驟：1.將物體從空間上或時間上劃分成若干個網(wǎng)格單元（即離散化），以單元上節(jié)點的值替代單元值；2.用各種方法建立起各節(jié)點與相鄰節(jié)點的關(guān)系方程式，構(gòu)成節(jié)點方程組；3.解節(jié)點方程組，得各節(jié)點數(shù)值（如：ti,j，傳熱中多為溫度值，此時即認(rèn)為得溫度分布）。第一節(jié)建立離散方程的方法如圖，i、j分別為沿x、y方向節(jié)點的序號，△x、△y為步長，網(wǎng)絡(luò)線與邊界的交點為邊界節(jié)點。圖中每一個節(jié)點都代表以它為中心的一個小區(qū)域（的溫度值等）。節(jié)點越多，結(jié)果越精確。同樣可把時間也分割成許多間隔△，同樣△越小，結(jié)果越精確。一、區(qū)域和時間的離散化

空間上，把物體劃分為有限數(shù)目的網(wǎng)格單元，將原來在空間上連續(xù)的物理量，轉(zhuǎn)變?yōu)橛邢迋€離散的網(wǎng)格單元節(jié)點（又稱結(jié)點）。i△x（i+1）△x（j+1）△y

j△y（j-1）△y（i-1）△x第一節(jié)建立離散方程的方法二、泰勒級數(shù)展開法（有限差分法）對于連續(xù)函數(shù)t，相鄰兩節(jié)點間關(guān)系可用泰勒級數(shù)描述。1.一階導(dǎo)級的向前差分表達(dá)式：舍去<1>式△x2后各項，則有：2.一階導(dǎo)級的向后差分表達(dá)式：舍去<2>式△x2后各項，則有：第一節(jié)建立離散方程的方法二、泰勒級數(shù)展開法（有限差分法）對于連續(xù)函數(shù)t，相鄰兩節(jié)點間關(guān)系可用泰勒級數(shù)描述。3.一階導(dǎo)級的中心差分表達(dá)式：<1>-<2>式且忽略后項，則有：4.二階導(dǎo)級的中心差分表達(dá)式：<1>+<2>式且忽略后項，則有：第一節(jié)建立離散方程的方法三、熱平衡法基于能量守恒定律，對微元體內(nèi)，認(rèn)為相鄰節(jié)點間溫度分布呈線性，如圖，節(jié)點P與周圍節(jié)點的導(dǎo)熱量由傅里葉定律有：若無熱源、常物性、穩(wěn)態(tài)：LP+RP+TP+BP=0則有：第二節(jié)穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值計算一、內(nèi)節(jié)點離散（節(jié)點）方程的建立以常物性、無熱源的二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱為例，一般為使計算簡便，常使△x=△y，于是由式<3>、<4>的有限差分法和熱平衡法均可得到各內(nèi)節(jié)點間的關(guān)系為：ti+1,j+ti-1,j+ti,j+1+ti,j-1-4ti,j=0

或?qū)懽鳎簍i,j=（ti+1,j+ti-1,j+ti,j+1+ti,j-1）/4值得注意的是：上節(jié)點方程中五個節(jié)點均應(yīng)為內(nèi)節(jié)點，否則，上方程就可能不再適用。

對于內(nèi)節(jié)點方程，當(dāng)導(dǎo)熱過程為常物性、無熱源或熱源均勻分布的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱時可用有限差分法得到，否則，采用有限差分法會產(chǎn)生麻煩，而熱平衡法則可克服這些麻煩，這是熱平衡法的優(yōu)點。但此法需對每個節(jié)點均作熱平衡分析。

一般邊界節(jié)點與內(nèi)節(jié)點間的聯(lián)系方程多用熱平衡法建立。第二節(jié)穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值計算二、邊界節(jié)點離散方程的建立第一類邊界條件直接給出了邊界溫度值，可直接以數(shù)值形式參加到邊界節(jié)點與相鄰內(nèi)節(jié)點的離散方程中，第二、三類邊界條件則應(yīng)視具體情況，建立具體的離散方程。下面以對流邊界條件下的拐角節(jié)點為例，介紹建立方法。第二節(jié)穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值計算二、邊界節(jié)點離散方程的建立△y△x令：△x=△y且有：LP+RP+TP+BP=0代入整理得：第二節(jié)穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值計算三、節(jié)點離散方程組的求解

對n個未知溫度的節(jié)點，用前述方法即可得到n個方程，將節(jié)點溫度ti,j按順序號1、2、…、n編號，且整理后總可得到如下方程組：t1=a11t1+a12t2+……+a1ntn+c1

t2=a21t1+a22t2+……+a2ntn+c2………………

tn=an1t1+an2t2+……+anntn+cn采用計算機求解上述方程組時，常用迭代法和高斯消元法，這里僅介紹經(jīng)常使用的迭代法。第二節(jié)穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值計算三、節(jié)點離散方程組的求解1.簡單迭代法A.先任設(shè)一組節(jié)點溫度的初始值：t10t20…tn0；B.將t10t20…tn0代入方程組右側(cè)，得一組新值：t11t21…tn1；C.將各項分別與各項相比較，看其中Max|ti1-ti0|是否小于規(guī)定的精度值，若小于時則退出循環(huán)，打印結(jié)果，否則繼續(xù)迭代；D.將t11t21…tn1代入，得t12t22…tn2，比較Max|ti2-ti1|是否小于規(guī)定的精度值，若小于時則退出循環(huán)，打印結(jié)果，否則繼續(xù)迭代；E.將t1kt2k…tnk代入方程組，得t1k+1t2k+1…tnk+1，直至Max|tik+1-tik|<，或Max|（tik+1-tik）/tik|<（此時為相對誤差），退出循環(huán)，打印結(jié)果，t1k+1t2k+1…tnk+1這組值即為方程組的解。第二節(jié)穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值計算三、節(jié)點離散方程組的求解2.高斯-賽德爾迭代法在簡單迭代法基礎(chǔ)上作改進(jìn)，每次迭代時，總是使用節(jié)點溫度的最新值，例如第k次迭代后的值代入t1的表達(dá)式后得t1第k+1次迭代值t1k+1，則t2k+1t2k+1

…tnk+1應(yīng)為：t2k+1=a21t1k+1+a22t2k+……+a2ntnk+c2t3k+1=a31t1k+1+a32t2k+1+a33t3k+……+a3ntnk+1+c3………………tnk+1=an1t1k+1+an2t2k+1+……ann-1tn-1k+1+anntnk+cn這種迭代方法能使結(jié)果很快收斂，且可減少計算時間和計算機存貯量，很快達(dá)到精度要求。第三節(jié)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值計算一、顯式差分格式對一維、常物性、無內(nèi)熱源的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱沿x方向分割成n段，時間從=0開始，接△間隔分離，對其導(dǎo)熱微分方程式中的右側(cè)用中心差分，左側(cè)用向前差分，則有：△△x整理得：或?qū)懽鳎涸谶x擇△及△x時，應(yīng)遵循：或：Fo≤1/2同理得：二維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱數(shù)值解的穩(wěn)定性條件為：Fo≤1/4第三節(jié)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值計算二、隱式差分格式

若將溫度對時間的導(dǎo)數(shù)采用向后差分，則有：整理后得：或：上式與顯式不同的是：不能據(jù)k△時刻的溫度分布直接得到（k+1）△時刻的溫度分布，僅得到此時刻各節(jié)點間的方程式，要得到溫度分布，還需解節(jié)點方程，故此種格式是無條件穩(wěn)定的，即△、△x可據(jù)情況任意選取。令k=k+1，上式可等價地寫成：第三節(jié)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值計算三、邊界節(jié)點方程式的建立對二、三類邊界，常用熱平衡的方法建立節(jié)點方程，據(jù)采用時間節(jié)點的前后不同，依然有顯式與隱式之分?！鱴△x/2=（k+1）△=k△t1k+1t1kt2k+1t2k顯式隱式1.顯式差分格式如圖，對于邊界節(jié)點1、t1k：A.內(nèi)節(jié)點2導(dǎo)入1的熱量：B.表面對流換熱量：C.內(nèi)能增量△u：據(jù)熱平衡A+B=C并整理得：第三節(jié)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值計算三、邊界節(jié)點方程式的建立1.顯式差分格式

t1k+1=2Fo（t2k+Bitfk）+（1-2BiFo-2Fo）t1k

顯然要使上式獲得穩(wěn)定解的條件仍然是t1k項前系數(shù)：1-2BiFo-2Fo≥0即：Fo≤1/（2Bi+2）討論：①當(dāng)問題為第三類邊界時，內(nèi)外節(jié)點均需滿足上述穩(wěn)定性條件，因Bi≥0，只要滿足上式條件，則必有：Fo≤1/2；②對于絕熱邊界，因h=0，Bi=0，仍可用Fo≤1/2條件；③對于二維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，其內(nèi)外節(jié)點方程的穩(wěn)定性條件為：第三節(jié)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值計算三、邊界節(jié)點方程式的建立2.隱式差分格式對前圖，若以點t1k+1進(jìn)行熱平衡分析，經(jīng)整理后可得：（1+2BiFo+2Fo）t1k+1=2Fo（t2k+1+Bitfk+1）+t1k四、顯式與隱式差分格式的區(qū)別：1.顯式差分格式有穩(wěn)定性條件，即：△x、△的選取要受Fo≤1/（2Bi+2）（一維）或Fo≤1/（2Bi+4）（二維）條件的制約，而隱式格式則無此約束，△x、△可任意選取；2.顯式只要知道了k△

時刻的溫度分布，則（k+1）△時刻的溫度分布可直接簡單地解得，而隱式則需解出（k+1）△

時刻的節(jié)點方程組，才能得此時的溫度分布。第三節(jié)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值計算五、節(jié)點離散方程組的求解1.顯式差分格式的數(shù)值解法步驟①在滿足數(shù)值解穩(wěn)定性條件的基礎(chǔ)上，選取適當(dāng)?shù)摹?、△x，并對各節(jié)點進(jìn)行編號；②用顯式格式寫出各內(nèi)、外節(jié)點方程式；③據(jù)初始條件逐個計算各節(jié)點在△時刻的節(jié)點溫度，再據(jù)△時刻計算2△…（n-1）△

時刻計算n△，即得溫度分布。第三節(jié)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值計算五、節(jié)點離散方程組的求解2.隱式差分格式的數(shù)值解法步驟①選取適當(dāng)?shù)摹?、△x，并對各節(jié)點進(jìn)行編號；②用隱式格式寫出各內(nèi)、外節(jié)點方程式；③將內(nèi)外節(jié)點方程寫成矩陣形式［A］［t］=［c］，矩陣左側(cè)［t］向量為所求