第四章：復(fù)變函數(shù)積分

第四章復(fù)變函數(shù)的積分

同微積分一樣，在復(fù)變函數(shù)中，積分法也是研究復(fù)變函數(shù)性質(zhì)十分重要的方法．在解決實(shí)際問(wèn)題中也是有力的工具另一方面為其它學(xué)科提供了廣泛的幾何定性研究方法．

本章先介紹復(fù)變函數(shù)積分的概念，性質(zhì)和計(jì)算方法然后介紹關(guān)于解析函數(shù)積分的柯西－古薩基本定理及其推廣，有了這些基礎(chǔ)，我們建立柯西積分公式，最后證明解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍是解析函數(shù)，從而導(dǎo)出高階導(dǎo)數(shù)公式§4.1.復(fù)積分的概念１.積分的定義：有向曲線：平面上一條光滑曲線（或按段光滑曲線）可理解為代有方向的曲線．如果從A到B的方向定義為C的正向．則從B到A的方向就是C的負(fù)方向，記為規(guī)定：正方向總是指從起點(diǎn)到終點(diǎn)的方向弧長(zhǎng)曲線積分存在強(qiáng)烈的實(shí)用背景：例地理信息的三維地圖問(wèn)題中，所給出的可以表示二維數(shù)量場(chǎng)（即在處的地形高度），則從A到B的實(shí)際路程定義：設(shè)函數(shù)定義在區(qū)域D內(nèi)，C為

D內(nèi)起點(diǎn)為A,終點(diǎn)為B的一條光滑的有向曲線，把曲線任意分成n個(gè)弧段，設(shè)分點(diǎn)為：在每個(gè)弧段上任取一點(diǎn)作和當(dāng)無(wú)限增大，趨于零時(shí)，如果不論對(duì)的分法及的取法如何．有唯一的極限．則稱此極限值為函數(shù)沿曲線的積分．記作如果為閉曲線，則積分記為２.積分存在的條件及其計(jì)算法設(shè)光滑曲線由參數(shù)方程給出，正方向?yàn)閰?shù)增加的方向．參數(shù)對(duì)應(yīng)于起點(diǎn)及終點(diǎn)如果是由等光滑曲線依次連接所組成的按段光滑曲線．則

復(fù)積分的計(jì)算

定理：設(shè)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，C是D內(nèi)的光滑曲線，則復(fù)積分

計(jì)算公式：

見(jiàn)42面3.1.2復(fù)積分的計(jì)算由定義可知，當(dāng)，且小弧段長(zhǎng)度的最大值時(shí)，不論對(duì)L的分法如何，點(diǎn)的取法如何，只要上式右端的兩個(gè)和式極限存在，那么左端的和式極限也存在，由于連續(xù)，則都是連續(xù)函數(shù)，根據(jù)曲線積分存在的充分條件，以及曲線積分的定義得到例１：計(jì)算其中為從原點(diǎn)到點(diǎn)的直線段解：通過(guò)點(diǎn)的直線段方程為所以過(guò)原點(diǎn)和的直線段方程為說(shuō)明：1.定理表明，復(fù)積分的計(jì)算可以通過(guò)二元實(shí)變函數(shù)的線積分來(lái)計(jì)算。

2.關(guān)于曲線C的參數(shù)方程的構(gòu)造：直線：圓周：于是容易證明，此積分與線路無(wú)關(guān)，即無(wú)論是怎樣的連接原點(diǎn)到的曲線，積分值均為另解：采用實(shí)二元一次函數(shù)的積分法（練習(xí)）例２：計(jì)算其中為以為中心，為半徑的正方向，為整數(shù)解：的方程為所以：結(jié)論非常重要，必須記住：其特點(diǎn)是與積分路線的圓周中心及半徑無(wú)關(guān)．

例３：計(jì)算的值，其中為（１）沿從原點(diǎn)到點(diǎn)的直線段（２）沿從原點(diǎn)到的直線段與從到的直線段所接成的折線說(shuō)明：復(fù)變函數(shù)的積分與路徑是有關(guān)的，采用不同的路程積分所得的積分值不一樣。３.積分的性質(zhì)(P41)【證明】由于在L上恒有，所以又，則

成立?！?.2復(fù)積分基本定理從上三個(gè)例子可見(jiàn)，例１中被積函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處解析．復(fù)平面是單連通的所以積分和路線無(wú)關(guān)．例２中當(dāng)時(shí)被積函數(shù)為其在以為心的圓周內(nèi)部不是處處解析的．而若把除去，則函數(shù)在的內(nèi)部是處處解析的．但這個(gè)區(qū)域不是單連通的例３中被積函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處不解析，其積分值與路線有關(guān)．首先必須探討一下：

什么情況下復(fù)變函數(shù)的積分值與路線無(wú)關(guān)？

1.被積函數(shù)的解析性；

2.區(qū)域的單連通性等．：如果函數(shù)在單連通區(qū)域內(nèi)處處解析．那么函數(shù)沿內(nèi)任何一條封閉曲線的積分為零一、柯西積分定理（P45)（柯西－古薩基本定理）如果曲線是區(qū)域的邊界，在內(nèi)及上解析．即在閉區(qū)域上解析則柯西積分定理的兩個(gè)推論推論4.1若函數(shù)在單連通域D內(nèi)處處解析，則函數(shù)沿D內(nèi)的曲線C的積分與路徑無(wú)關(guān)，只與曲線C的起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)。推論4.2若曲線C是單連通域D的邊界，函數(shù)在D內(nèi)解析，在上連續(xù)，則

思考：柯西積分定理討論的其實(shí)是單連通域的情形，對(duì)于多連通域又會(huì)是怎樣的情形呢？定理：(閉路變形原理)設(shè)在多連通域D內(nèi)解析，是D內(nèi)的兩條簡(jiǎn)單閉曲線，在的內(nèi)部，以為邊界的區(qū)域全含在D內(nèi)，則復(fù)積分計(jì)算題中注意：由柯西－古薩基本定理知．設(shè)在多連通域內(nèi)解析，為內(nèi)一條簡(jiǎn)單曲線，如果的內(nèi)部完全含于，則在上及其內(nèi)部解析，故有但當(dāng)?shù)膬?nèi)部不完全含于時(shí)，就不一定有上面的等式。思考以下情況：假設(shè)及為內(nèi)包含“空洞”的任意兩條簡(jiǎn)單閉曲線（正向都為逆時(shí)針）在的內(nèi)部而且以和為邊界的區(qū)域全含于作兩條不相交的弧段和．它們依次連接上某點(diǎn)到上某點(diǎn)兩式相加有：即或（1）式說(shuō)明：如果把兩條簡(jiǎn)單閉曲線及看成是條復(fù)合閉路，而且規(guī)定的正方向?yàn)椋和饷骈]曲線按逆時(shí)針進(jìn)行，內(nèi)部閉曲線按順時(shí)針進(jìn)行，則（2）式說(shuō)明：一個(gè)解析函數(shù)沿閉曲線的積分．不同閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值．（