光學(xué)小波變換

第六章光學(xué)小波變換1/12/20231第六章光學(xué)小波變換6．1引言6．2從短時傅里葉變換到小波變換6．3小波變換的定義和性質(zhì)6．4實現(xiàn)一維小波變換的光學(xué)系統(tǒng)6．5用多通道匹配濾波實現(xiàn)二維小波變換6．6光學(xué)小波變換匹配濾波器在圖像識別中的應(yīng)用6．7光學(xué)Haar小波變換和圖形邊緣探測1/12/20232光學(xué)信息處理6.1引言如果g(x)是一個時域或空域中分布在(-，)中的穩(wěn)恒過程或穩(wěn)定分布，則傅里葉分析給出了近乎完美的結(jié)果．然而，在自然界和科學(xué)技術(shù)中還有大量信號，它們具有局部的或定域的特性．例如語言信號、聲納信號、各種電脈沖等。這些信號只出現(xiàn)在一個短暫的時間問隔內(nèi)，此后很快衰減到零，稱快速過程或暫態(tài)過程．一個很短暫的信號，可以稱為“小波”信號1/12/20233光學(xué)信息處理

對于局部信號或暫態(tài)過程，傅里葉分析就不完全適用．首先，我們僅對t內(nèi)的時間信號感興趣，沒有必要在過去、現(xiàn)在及未來的無限長時間范圍內(nèi)對信號進(jìn)行分析；類似地，在處理定域于x內(nèi)的空間圖像時，也沒有必要對全平面內(nèi)的信號進(jìn)行全面的分析．在許多情況下，在t或x以外的信號是未知的，它可能是零，也可能是背景噪聲；對它們我們不太了解，測不準(zhǔn)，或不感興趣．如不加選擇地把(-，)內(nèi)全部信號進(jìn)行傅里葉處理，還可能產(chǎn)生較大的誤差甚至錯誤．此外，一個局部的信號在t或x以外較遠(yuǎn)處幾乎完全等于零．當(dāng)用它們的頻譜來恢復(fù)或重構(gòu)這些信號時，在t或x外很遠(yuǎn)處也會出現(xiàn)一些非零的分量，它們一般不是信號，而是在傅里葉逆變換中頻域綜合不夠充分而產(chǎn)生的噪聲．1/12/20234光學(xué)信息處理在一些課題中，我們往往不滿足于了解信號在全部區(qū)間內(nèi)的綜合的頻譜分布，而希望了解某一區(qū)間或某些區(qū)間內(nèi)信號對應(yīng)的頻譜．例如在地震勘探中，為了分辨分層的地層和礦床結(jié)構(gòu)，我們需要在時域和頻域中仔細(xì)分析不同時刻的信號在不同頻譜區(qū)間中的行為，而傅里葉分析只能提供在長時間內(nèi)的信號整體的頻譜，顯然不能滿足我們的要求．近年來發(fā)展起來的小波分析，正好克服了傅里葉分析的上述缺點．它和傅里葉分析的一個重要區(qū)別，在于它恰恰適用于處理局部或暫態(tài)信號．因此，小波分析成為信號分析、圖像處理、數(shù)據(jù)壓縮、語音信號分析等領(lǐng)域中的重要工具；在地震勘探信號處理、邊緣探測、語音信號合成中則有特殊的用途．1/12/20235光學(xué)信息處理6.2從短時傅里葉變換到小波變換6.2.1短時傅里葉變換(STFT)

為了有效地提取一個局部信號g(x)的信息，引入一個局部化的變換．所謂局部化，包含兩個要素：第一，被分析的區(qū)間要有一定的寬度x，我們僅對x及其附近的信息進(jìn)行處理；第二，被分析的區(qū)間有一個中心坐標(biāo)xc，當(dāng)xc

改變時，就可以提取不同的信息．1/12/20236光學(xué)信息處理為了實現(xiàn)局部化，一個有效的方案是在傅里葉變換中加一個窗函數(shù)w(x)：Gw(v,xo)=∞-∞g(x)exp(-i2vx)w(x-xo)dx(1)=[W(v)exp(-i2vxo)]*G(v)

(2)式中W

和G

分別是w

和g

的傅里葉變換．只要w(x)和W(v)有足夠快的衰減速度，窗函數(shù)就是一個局部化的函數(shù)．函數(shù)f(x)和g(x)的內(nèi)積的定義:(f(x),g(x))=∞-∞f(x)g(x)dx1/12/20237光學(xué)信息處理窗函數(shù)的中心xc定義:

xc

=(w(x),xw(x))/(w(x),w(x))=∞-∞w(x)xw(x)dx/∞-∞w(x)w(x)dx

式中(*,*)表示函數(shù)f和g的內(nèi)積．xc與xo不一定相等。窗函數(shù)的寬度則定義：

w=2[(w(x),(x-xc

)2w(x))/(w(x),w(x))]1/2

=2[∞-∞w(x)(x-xc

)2w(x)dx/∞-∞w(x)w(x)dx]1/2注意:它是節(jié)1.2.4中所定義的信號空域?qū)挾鹊膬杀丁?/12/20238光學(xué)信息處理Gw(v,xo)=∞-∞g(x)exp(-i2vx)w(x-xo)dx(1)

由于窗函數(shù)具有局部處理的功能，因此(1)式定義的變換稱為短時傅里葉變換(STFT)．STFT和FT的一個重要區(qū)別:

頻率變量v和坐標(biāo)變量xo同時出現(xiàn)在變換函數(shù)中.在STFT中，窗口寬度則隱含于Gw(v,xo)

內(nèi)，正是xo和窗口寬度w，使這一變換具有局部處理的功能．改變xo，窗口就在空域中移動，以獲取不同區(qū)域的信息，xo

通常稱為位移因子；w

則限制了被處理空間的范圍．頻率窗中心：vc

=(W(v),vW(v))/(W(v),W(v))(5)頻率窗寬度：

W=2[(W(v),(v-vc)2W(v)w(x))/(W(v),W(v))]1/2(6)1/12/20239光學(xué)信息處理當(dāng)w和W都有限時，我們稱函數(shù)w(x)在空域和頻域同時局部化．wW稱為空間-頻率窗，它限制了空域和頻域中被處理區(qū)域的范圍。根據(jù)w，W的定義及測不準(zhǔn)關(guān)系式，并注意信號寬度定義的區(qū)別，我們就有：wW≥1/(7)

當(dāng)高斯函數(shù)取為窗函數(shù)時，(7)式中的等式成立，這種情況下STFT具有最小處理區(qū)域．

STFT的局部性，其特征在于處理過程限制在空間-頻率窗內(nèi)進(jìn)行，且窗的位置是可變的，然而無論w還是W都是常數(shù)，不會隨信號中心頻率的變化而變化，這使STFT在處理一些奇異性的信號時顯得無力．恰恰是在這一點上，小波變換具備比STFT更強(qiáng)的功能．1/12/202310光學(xué)信息處理6.2.2Gabor變換早在1946年，Gabor就提出了下面的變換(8)稱Gabor變換，其中和b為變換的參數(shù)．上式又可表為(9)式中(10)因此Gabor變換就是高斯窗短時傅里葉變換．窗函數(shù)中心坐標(biāo)xc=0,

窗的寬度w=1.414w(x)的傅里葉變換:W(v)=exp(-222v2)(13)也是高斯函數(shù)．頻率窗寬度W=1/1.414(14)因此有wW=1/．1/12/202311光學(xué)信息處理圖中將空域和頻域同時表達(dá)出來，稱空間-頻率坐標(biāo)系，空-頻窗則表示為圖中的一個矩形．Gabor變換空-頻窗的高度和寬度都是恒定的。Gabor變換在頻域中的表達(dá)式：[式中

=1/(2)2]可見Gabor變換在頻域和空域中的表達(dá)式具有相似的形式．1/12/202312光學(xué)信息處理Gabor變換的特點：(1)實現(xiàn)空域和頻域處理的局部化[中心位于(b,v)空-頻窗為1.414×(1/1.414)=1/

](2)由(8)式和(15)式，可看出變換是參數(shù)，b和變量v的函數(shù)。上式給出的積分是一個調(diào)制包絡(luò)，載波exp(-i2vb)的頻率(即中心頻率)v與參數(shù)無關(guān)，不會隨的變化而變化，這正是所有短時傅里葉變換共同的缺點。(17)1/12/202313光學(xué)信息處理6.2.3

Morlet小波變換為了克服Gabor變換中窗口尺寸不能變動的缺點，Gabor變換的基元函數(shù)可改寫為子函數(shù)定義信號函數(shù)g(x)的Morlet小波變換:稱變換的母函數(shù).引入?yún)?shù)a，b，1/12/202314光學(xué)信息處理Morlet小波變換與Gabor變換的實質(zhì)性差別:小波變換:vc=v/a,w=1.414a,W=1/1.414a.

當(dāng)vc

增高時(a減小)，w

變小而W增大，可處理更多的高頻信息；當(dāng)vc

降低時(a增大)，W變小而w加寬，可容納足夠多個空間周期，以保證處理精度．Morlet小波變換，在處理低頻信號時空間窗自動加寬，在空間窗范圍內(nèi)包含的信號空間周期相同，這就保證了小波變換以同樣的精度去處理不同中心頻率的信號，這正是小波變換與短時傅里葉變換的根本區(qū)別．Gabor變換:窗的寬度是常數(shù)，當(dāng)vc增高時，一定寬度的空間窗內(nèi)包含的空間周期增加，所以變換的精度是隨頻率而變化的；小波變換的空間-頻率窗1/12/202315光學(xué)信息處理1/12/202316光學(xué)信息處理6.3小波變換的定義和性質(zhì)6.3.1小波變換的定義母函數(shù)h(x)的基本小波函數(shù)ha,b(x)定義為(1)式中b稱為小波變換的位移因子，a>0稱為伸縮因子．上式表明基本小波是母函數(shù)經(jīng)平移和縮放的結(jié)果．基本小波又簡稱小波．信號函數(shù)g(x)的小波變換定義為：(2)由于相關(guān)運算較易用光學(xué)相關(guān)器進(jìn)行，因此小波變換可以用我們已熟悉的光學(xué)相關(guān)系統(tǒng)來實現(xiàn)．1/12/202317光學(xué)信息處理Morlet小波的母函數(shù)是

子函數(shù)是

Mor1et小波的基函數(shù)式中：m,n=0，1，2，…；a=aom；b=nbo.

1/12/202318光學(xué)信息處理

當(dāng)m=n=0時，a=1，b=0，即為母函數(shù)；當(dāng)m=1,n=0時，a=a0，b=0，對應(yīng)的一階小波函數(shù)為

當(dāng)m=-1，n=0時，a=a0-1，b=0，有負(fù)一階小波函數(shù)

h(t)，h1,0(t),和h-1,0(t)已分別在上圖中畫出．1/12/202319光學(xué)信息處理并非任何函數(shù)都可以作為小波變換的函數(shù)h(x)，h(x)必須在x時衰減到零．實際使用的小波變換母函數(shù)h(x)，當(dāng)x

時迅速衰減，使它的不顯著為零的分量只存在于一個很小的區(qū)間內(nèi)，這正是“小波”名稱的來由。實際上，也只有迅速衰減的小波才使變換(2)式具備局部化的特征．1/12/202320光學(xué)信息處理6.3.2小波變換在頻域中的表達(dá)式在頻域中，小波可表示為

式中H(v)是小波母函數(shù)h(x)的傅里葉變換．在空域的擴(kuò)大x/a等價于頻域的壓縮av．空域的位移b等價于頻域的位相移動exp(-i2vb)．由Parseval定理，小波變換的傅里葉變換為(4)其中H

和G

分別是h

和g

的傅里葉變換．上式表明信號g(x)的小波變換可以用4f系統(tǒng)實現(xiàn)．1/12/202321光學(xué)信息處理6.3.3逆變換和相容性條件小波變換(2)式的逆變換定義為其中Ch滿足條件(6)式稱“相容性條件”，是逆變換存在的條件．下面我們來證明它．ha,b(x)可表為1/12/202322光學(xué)信息處理以(4)、(7)式代入(5)式，得到上式中最內(nèi)部的積分為(v’-v)，因此上式成立的條件是

即(6)式．當(dāng)v=0時，相容性條件要求:H(0)=0，(10)即小波函數(shù)沒有零頻分量．由于H(0)=-h(x)dx=0(11)意味著h(x)必須是振蕩函數(shù)，平均值為零，其傅里葉譜直流分量為零.

1/12/202323光學(xué)信息處理6.3.4

正則性從理論上講，任何滿足相容性條件的函數(shù)都可當(dāng)作小波變換的母函數(shù)，然而在實用中，為了使變換具備局部化的功能，h(x)和H(v)在空域和額域中都是迅速衰減的，它們不顯著為零的分量分別分布于空域和領(lǐng)域中的原點附近．此外，要求Wa,b作為a的函數(shù)，應(yīng)當(dāng)是充分光滑的，當(dāng)a0時，Wa,b0，即要求Wa,b在a=0附近是正則的.設(shè)b=0，則有

將g(x)在x=0的鄰域內(nèi)展開成泰勒級數(shù)：1/12/202324光學(xué)信息處理代入(12)式得到式中此是小波函數(shù)h的n階矩：

Mn

=-h()nd

(n=0，1，…)(15)由(11)式Mo=H(0)=0

(16)設(shè)

Mp

=0

(p=0，1，…,n)(17)則在0的鄰域內(nèi)1/12/202325光學(xué)信息處理隨著a0，Wa.o

0的速率為即對于一個足夠平滑的函數(shù)g(x)、Wa.o{g}以an+1/2

的速率隨a趨近于零，稱它為n階小波函數(shù)．由節(jié)1.1(24)式，Mp=0(p=0，1，…,n)意味著H(p)(v)=0(p=0，1，…,n)表明v=0是H(v)的n階零點．此外，(16)式(即相容性條件)保證Wa.o隨a趨于零的速度的下限為a1/2．1/12/202326光學(xué)信息處理6.3.5小波變換的空間-頻率窗和處理過程的局部化小波變換在空域中的處理局限于空間窗內(nèi)(23)

小波變換在頻域中的處理局限于頻率窗內(nèi)(29)空間-頻率的處理就局限于空間-頻率窗內(nèi)：(31)1/12/202327光學(xué)信息處理小波變換處理過程的特點：(1)空間窗寬度aw

和頻率窗寬度

W/a

均隨a的變化而變化，窗的面積wW

與a無關(guān)．(2)中心頻率

v/a與帶寬(即頻率窗寬)之比Q=(v/a)/(W/a)=v/W(32)與中心頻率大小無關(guān)，僅取決于H(v)．Q是測量精度的特征量，上式表明小波變換的測量精度與頻率無關(guān)．當(dāng)v/a增大時(a減小)，頻率窗自動變寬，使小波變換在不同頻率下具有相同的檢測精度；反之，當(dāng)v/a減小時(a增大)，空間窗自動加寬，以容納同樣數(shù)目的信號空間周期．有人把小波變換的這種性能比喻為“自動變焦”(zooming)，伸縮因子a

常稱小波變換的頻率變量，位移因子b

則稱為坐標(biāo)變量．1/12/202328光學(xué)信息處理6.3.6

常用小波函數(shù)1.Haar小波Haar小波是雙極性階躍函數(shù)

它以t=1/2為中心的奇對稱實函數(shù)，滿足小波存在條件.1/12/202329光學(xué)信息處理Haar小波的傅里葉變換是它的模是正的偶函數(shù)，以v=0為對稱軸.相位因子exp(-iv)是由于h(t)是以t=1/2為中心的奇對稱性所引起的．

Haar小波對于離散的縮放因子和位移量是正交的，其傅里葉譜的振幅|H(v)|隨1/v很慢地收斂到零．1/12/202330光學(xué)信息處理2.Morlet小波

Morlet小波是由分析聲像技術(shù)引人的，可表示為

其實部是余弦-高斯函數(shù)．

Morlet小波的傅里葉譜是平移到vo

及–vo

處的兩個高斯函數(shù)，即顯然，H(v)是正的實偶函數(shù)．1/12/202331光學(xué)信息處理圖:h(t)的實部和h(t)的傅里葉譜

由于H(0)≧0，所以小波變換的存在條件沒有滿足，但是對于較大的vo，H(0)十分接近于0。在數(shù)值計算時可近似地看作為0.1/12/202332光學(xué)信息處理3.Mexican–hat小波這種型如墨西哥帽的小波函數(shù)被廣泛用于零交叉多分辨邊緣檢測，其母函數(shù)實際上是高斯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，即

該函數(shù)是實偶函數(shù)，滿足小波變換存在條件.Mexican-hat小波的傅里葉變換是

它也是實偶函數(shù)．1/12/202333光學(xué)信息處理

Mexican-hat小波函數(shù)及其傅里葉變換高斯函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)也可以用來作為小波函數(shù).高斯函數(shù)n階導(dǎo)數(shù)的傅里葉譜H(v)將是乘以(i2v)n的高斯函數(shù)，所以H(0)=0，滿足子波變換的存在條件。Mexican–hat小波變換收斂速度很快．1/12/202334光學(xué)信息處理4.Meyer小波Meyer小波是用其傅里葉變換來定義的，即

H(v)=exp(-iv)sin[ω(v)]式中：ω(v)是偶對稱函數(shù)，如圖所示．圖中，AB弧段有一個對稱中心，在v=1/2和ω(1/2)=/4處,即1/12/202335光學(xué)信息處理

而BC弧段具有相同的形狀，是AB弧段的翻轉(zhuǎn)和展開，其對稱中心在v=1和ω(1)=π/4，即

如果H(v)中相移因子ex(-iv)被忽略，則H(v)為實偶函數(shù)．相移因子的作用，是使h(t)在時間軸上的位移為t=1/2．Meyer小波可表示為

它也是一個以t=1/2為對稱點的實函數(shù)，衰減較快．Meyer已經(jīng)證明，具有離散縮放和位移因子的這種小波，可以構(gòu)成一組正交基底．1/12/202336光學(xué)信息處理6.3.7離散小波變換(DWT)正如傅里葉變換一樣，小波變換也可以分為兩種形式：連續(xù)的和離散的變換．對于離散小波變換，我們將假定信號g(x)也是離散的．離散小波變換的形式為

對應(yīng)離散小波逆變換為

1/12/202337光學(xué)信息處理6.4實現(xiàn)一維小波變換的光學(xué)系統(tǒng)從小波變換的定義可知，N維信號函數(shù)的小波變換是2N維函數(shù)，因此計算的工作量很大，盡管專門用于小波變換的超大規(guī)模集成電路已有報道，但人們?nèi)栽诳紤]用光學(xué)系統(tǒng)來實現(xiàn)小波變換，因為光學(xué)信息處理器具有高度的并行處理性能．一維小波變換光學(xué)處理系統(tǒng)1/12/202338光學(xué)信息處理xy-L2-uv

構(gòu)成x方向的一維傅里葉變換器。在SLM1上輸入信號g(x)，經(jīng)L2的變換作用，在uv

平面上形成它的傅里葉譜G(u)．在uv平面上放置第二個空間光調(diào)制器SLM2，它被分成M個沿u方向的帶狀區(qū)域，這些帶狀區(qū)域中分別顯示具有不同伸縮因子am的基元函數(shù)h的傅里葉譜：

H*(amu)

(m=1，2，…，M)，(1)假定

H是實的，從而有

H*(amu)=H(amu)，(2){H(amu)|m=1，2，…，M}構(gòu)成多通道小波變換匹配濾波器，G(u)經(jīng)濾波后成為

H*(amu)G(u)(m=1，2，…，M),(3)1/12/202339光學(xué)信息處理xy-L2-uv

構(gòu)成x方向的一維傅里葉變換器。在SLM1上輸入信號g(x)，經(jīng)L2的變換作用，在uv

平面上形成它的傅里葉譜G(u)．在uv平面上放置第二個空間光調(diào)制器SLM2，它被分成M個沿u方向的帶狀區(qū)域，這些帶狀區(qū)域中分別顯示具有不同伸縮因子am的基元函數(shù)h的傅里葉譜：

H*(amu)

(m=1，2，…，M)，(1)假定

H是實的，從而有

H*(amu)=H(amu)，(2){H(amu)|m=1，2，…，M}構(gòu)成多通道小波變換匹配濾波器，G(u)經(jīng)濾波后成為

H*(amu)G(u)(m=1，2，…，M),(3)1/12/202340光學(xué)信息處理uv

-L3-

構(gòu)成像散系統(tǒng)在子午面(vz平面)內(nèi)，L3使uv

平面成像在上;在弧矢面(uz平面)內(nèi)，柱面鏡沒有作用,uz位于球面鏡的前焦面,位于其后焦面，構(gòu)成沿

u方向的一維傅里葉逆變換，參見圖6.8．圖6.8(a)在子午面內(nèi)構(gòu)成成像系統(tǒng)

(b)在弧矢面內(nèi)構(gòu)成一維傅里葉逆變換系統(tǒng)1/12/202341光學(xué)信息處理由于成像作用，在平面上沿方向相應(yīng)形成uv

平面上各帶狀通道的像．對于第m個通道，由于沿u方向的傅里葉逆變換作用，得到(a,am)=H*(amu)G(u)exp(i2au)(4)由節(jié)6.3(4)式，有

(5)在圖像處理系統(tǒng)中，將CCD輸出的信號除以(am)1/2即得到小波變換．在中，伸縮因子a是分立的，由一組M個濾波器引入處理器；而位移因子b則是連續(xù)的，與輸入平面的坐標(biāo)a成正比．1/12/202342光學(xué)信息處理光學(xué)Morlet

小波變換實例實驗采用下圖所示的光學(xué)多通道小波變換相關(guān)器．兩個柱面透鏡的焦距為240mm，球面透鏡焦距為210mm．相關(guān)器由He-Ne激光作光源．

實現(xiàn)一維小波變換的二維光學(xué)相關(guān)器1/12/202343光學(xué)信息處理小波函數(shù)是余弦——高斯Morlet

函數(shù)

它的傅里葉變換是

H(v)是一個實函數(shù)，表達(dá)式

H(0)=exp(-222v02)≠0，但是隨余弦函數(shù)中的頻率v0

的增加而迅速下降．例如：當(dāng)2v0=5，σ=1時，H(0)=3.7×10-6，因此小波變換的存在條件在一個非常好的近似范圍內(nèi)被滿足．1/12/202344光學(xué)信息處理光學(xué)多通道小波變換相關(guān)器中光學(xué)小波變換的實驗結(jié)果1/12/202345光學(xué)信息處理6.5用多通道匹配濾波實現(xiàn)二維小波變換6.5.1單通道小波變換系統(tǒng)一維小波變換定義:二維小波變換也可類似定義：(1)為了簡單起見，令ax=ay=a，即x，y方向按相同的尺度加以縮放，得到(2)1/12/202346光學(xué)信息處理在頻域中，(1)式變成匹配濾波的頻域表達(dá)式(3)

匹配濾波可以用標(biāo)準(zhǔn)的4f系統(tǒng)實現(xiàn)，如圖6.9所示．圖6.9用4f系統(tǒng)實現(xiàn)小波坐換將二維信號函數(shù)(x,y)經(jīng)過SLMl輸入系統(tǒng)，則在Ll的頻譜面上將出現(xiàn)它的譜(u,v)．1/12/202347光學(xué)信息處理在譜面上放置第二個SLM2，將匹配濾波函數(shù)H*(axu，ayv)通過SLM2對(u,v)進(jìn)行濾波，則形成H*(axu，ayv)(u,v)，再經(jīng)過第二個透鏡L2，在輸出平面上得到它的傅里葉逆變換．由上式可知，H*的傅里葉逆變換，即信號(x,y)的小波變換1/12/202348光學(xué)信息處理我們注意到，位移因子(bx，by)是與輸出平面的坐標(biāo)對應(yīng)的變量，但伸縮因子(ax，ay)卻是給定的，亦即我們只能對給定的伸縮因子(ax，ay)實現(xiàn)小波變換，不同的

(ax，ay)的變換只能通過依次輸入不同的匹配濾波函數(shù)H*(axu，ayv)來實現(xiàn)，速度很慢，發(fā)揮不了光學(xué)系統(tǒng)并行處理的優(yōu)越性．1/12/202349光學(xué)信息處理6.5.2用Dammann

光柵進(jìn)行多通道相關(guān)處理由于comb(x)與任意函數(shù)(x)相乘，等于對(x)的抽樣；comb(x)與(x)的乘積再進(jìn)行傅里葉變換，在譜面上得到comb(u)與(u)的卷積，相當(dāng)于譜項(u)在comb(u)中各個函數(shù)的位置上重復(fù)出現(xiàn)，只要(x)的帶寬是有限的，則我們總可以通過足夠密集的抽樣手續(xù)，使各譜項在頻域內(nèi)互相分離．即對于給定的輸入信號(x,y)，可利用梳狀函數(shù)在譜面上復(fù)制出一系列譜函數(shù)

mn(u,v)，m，n=0，±1，±2，…．如果每個mn代表一個處理通道，就可以實現(xiàn)多通道的并行處理．在這里，關(guān)鍵的器件是梳狀函數(shù)器件，又稱Dammann光柵．一維Dammann光柵的透過率函數(shù)可表為(4)式中是柵線寬度，d是空間周期，見圖6.10(a)．1/12/202350光學(xué)信息處理若將Dammann光柵放在4f系統(tǒng)的輸入面上，則在譜面上得到

T(u)=

sinc(u)comb(du)，

(5)它是一個被sinc函數(shù)調(diào)制的梳狀函數(shù)，見圖6.0(b).

若足夠小，則sinc(u)變化緩慢，在中心附近的一些函數(shù)幅度接近于1．當(dāng)然，越小，透過的光能量就越少．1/12/202351光學(xué)信息處理把兩個同樣規(guī)格的一維Dammann光柵相對旋轉(zhuǎn)90o并疊在一起，就得到二維Dammann光柵，其透過率函數(shù)可表為(6)在很小時，上式可近似表為(7)顯見二維Dammann光柵是一個函數(shù)點陣，它們分布在間隔為d的柵線的交點上，這些地方的透過率為1，其余地方的透過率為0．1/12/202352光學(xué)信息處理在上圖所示的4f系統(tǒng)的輸入平面上放置信號(x,y)，把二維Dammann光柵緊貼在(x,y)上，在光柵后的光場復(fù)振幅分布為

(x,y)comb(x/d,y/d)/d2(8)在uv

平面上得到它的傅里葉譜(9)式中fo

=1/d.

(10)1/12/202353光學(xué)信息處理

m.n=(u-mfo,v-nfo)(11)是一系列中心位于Amn=(mfo,nfo)處復(fù)現(xiàn)的譜項.如設(shè)計一個匹配濾波器列陣,位于Amn處的復(fù)數(shù)透過率為H*m.nexp[i2(upm+vqn)]，亦即：(12)濾波器中各譜項是按角度編碼的，相當(dāng)于用不同方向傳播的平面波exp[i2(upm+vqn)]作為參考光制成的全息匹配濾波器，通常是計算機(jī)生成的全息匹配濾波器(CGH)．1/12/202354光學(xué)信息處理

經(jīng)濾波后，再通過4f系統(tǒng)中第二個傅里葉透鏡L2的作用，在輸出平面上得到傅里葉逆變換：式中Cmn是常數(shù)系數(shù)．(13)1/12/202355光學(xué)信息處理亦即頻域中的相移形成輸出平面上的位移，以(pm，qn

)為中心形成一系列在空間相互分離的項，每一項都代表一個不同的伸縮因子(

am，an)的小波變換，位移因子則由以(pm，qn

)為中心的坐標(biāo)來表示.這樣一來，我們就用多通道4f系統(tǒng)實現(xiàn)了二維光學(xué)小波變換，它是縮放因子的分立函數(shù)，是位移因子的連續(xù)函數(shù)．1/12/202356光學(xué)信息處理6.5.3用體全息存儲器進(jìn)行多通道相關(guān)處理重鉻酸明膠(DCG)或光折變晶體(BaTiO3，LiNbO3，BSO等)都可以做成體全息存儲器，并可以用角度對全息圖進(jìn)行編碼．這一性質(zhì)也可以用于光學(xué)小波變換，參見圖6．11．1/12/202357光學(xué)信息處理將縮放后的母函數(shù)

hmn=h(x/am，y/an)

(14)經(jīng)SLM1輸入系統(tǒng)，則在頻譜面上產(chǎn)生了它的傅里葉變換Hmn=amanH(amu,anv

)．在譜平面上放置體全息記錄器件，例如光折變晶體，并用傾斜的平行參考光

Rmn=exp[-i2(upm+vqn)]

(15)照射，與物光amanH(amu,anv

)相干疊加，形成全息圖．一系列{hmn}依次輸入系統(tǒng)，并用不同角度的參考光{Rmn}編碼，最后得到：(16)

式中第三項正是我們所需的小波變換匹配濾波函數(shù)．1/12/202358光學(xué)信息處理當(dāng)我們將所分析的信號(x,y)通過SLM1輸入系統(tǒng)，它的譜(u,v)經(jīng)過F(u,v)的濾波后得到(17)我們略去了與匹配濾波無關(guān)的項．再經(jīng)L2的傅里葉逆變換，在輸出平面上得到同樣得到以(pm，qn)為中心的一系列空間互相分離的小波變換．(18)1/12/202359光學(xué)信息處理(16)式前二項經(jīng)逆變換重合于原點，但第四項則是以(-pm，-qn)為中心的卷積項，在輸出平面上與相關(guān)項關(guān)于原點對稱，可稱為“鬼像”(ghostimage)，因此在角度編碼時要避免這些鬼像對其他小波變換項的干擾．目前全息存儲密度已做得相當(dāng)高，因此在晶體中可以存儲相當(dāng)多個按方向編碼的小波變換匹配濾波器．1/12/202360光學(xué)信息處理6.6光學(xué)小波變換匹配濾波器

在圖像識別中的應(yīng)用圖像識別或特征識別：從大量信息或背景中檢測某一特定的圖形或指定的特征信息，并排斥其他圖形信息。在一般情況下，我們只知道需要檢測的圖形的特征，對于其他圖形的特征，我們事先可能并不知道，或知之甚少，但檢測系統(tǒng)必須排斥這些圖形，圖像識別系統(tǒng)的這種性能稱為“排他性”。

光學(xué)小波變換識別系統(tǒng)在這方面的性能比常規(guī)的相關(guān)識別系統(tǒng)更強(qiáng)，因此有可能利用這一效應(yīng)設(shè)計成有應(yīng)用價值的小波變換圖像識別系統(tǒng)。1/12/202361光學(xué)信息處理6.6.1邊緣增強(qiáng)效應(yīng)圖形的重要特征之一是它的形狀或輪廓。為了識別某一特定的圖形，往往只需認(rèn)定它的輪廓，而并不需要研究它的內(nèi)部細(xì)節(jié)。輪廓就是圖形的邊緣，一旦圖形的邊緣被清晰地勾畫出來，這一圖形就容易識別了。相對于圖形整體而言，邊緣顯然是局部，因此我們可以期望小波變換在邊緣檢測中有特殊的功效。1/12/202362光學(xué)信息處理選擇“墨西哥帽”式母函數(shù)，定義為(1)引入g(x,y)=exp[-(x2+y2)/2]

(2)則有h(x,y)=-(1/2)2g(x,y)

(3)由F{2g(x,y)}=-42(u2+v2)G(u,v)，得到

H(u,v)=-2(u2+v2)G(u,v)(4)式中G是g傅里葉變換G(u,v)=2exp[-2(u2+v2)](5)代入(4)得到：

H(u,v)=42(u2+v2)exp[-2(u2+v2)](6)1/12/202363光學(xué)信息處理

圖6.12給出a=0.6及a=0.3的墨西哥帽小波函數(shù)及它們的傅里葉譜．1/12/202364光學(xué)信息處理函數(shù)(x,y)的小波變換7)：亦即

的小波變換是和縮放后的高斯函數(shù)g的相關(guān)的二次導(dǎo)數(shù)．1/12/202365光學(xué)信息處理由于(8)伸縮因子a正是高斯函數(shù)的特征尺度。g和

相關(guān)的結(jié)果則是平滑效應(yīng)，

中比a小得多的精細(xì)結(jié)構(gòu)都被平滑掉。此外，

和g的相關(guān)運算的結(jié)果再二次求導(dǎo)，(x,y)中振幅不變的區(qū)域(常數(shù)項)及線性變化的區(qū)域(一次項)都等于零，而在振幅變化的拐點兩側(cè)不為0。邊界正是這樣的拐點．1/12/202366光學(xué)信息處理(a)邊界函數(shù)(x)和高斯函數(shù)g(x)(b)Cr(a,x)=g(x/a)(x)

(c)小波變換函數(shù)D(x)1/12/202367光學(xué)信息處理圖(a)：邊界函數(shù)(x)，高斯函數(shù)g(x/a)；圖(b)：給出它們的相關(guān)．相關(guān)運算對(x)起到了平滑的作用，結(jié)果噪聲都被平均掉；1/12/202368光學(xué)信息處理可以在邊界內(nèi)外側(cè)看到小波變換的一對正、負(fù)峰，它們明確指示了邊界的位置．邊界內(nèi)、外區(qū)域內(nèi)小波變換函數(shù)都是零．其最終效果恰恰是邊界突出或輪廓突出，這正是我們所期望的．在二維小波變換的情況下，伸縮因子a

是矢量而不是標(biāo)量，a=(am,an)，一般情況下am≠an，從而在兩個方向上的平滑效果可分別加以控制．圖(c)：給出小波變換作為位移因子的函數(shù)(差一個常數(shù)因子)，即2[g(x,y)

(x)1/12/202369光學(xué)信息處理待處理坦克模型圖像和小波函數(shù)平面圖像

及小波變換邊緣增強(qiáng)后實驗結(jié)果

1/12/202370光學(xué)信息處理

待檢測彩色圖像

灰度圖像后邊緣檢測

RGB空間邊緣檢測

YUV空間邊緣檢測1/12/202371光學(xué)信息處理

待檢測彩色圖像

灰度圖像后邊緣檢測

Lαβ空間邊緣檢測

選擇域值二值化處理

1/12/202372光學(xué)信息處理6.6.2小波變換匹配濾波圖像識別課題，一般情況下僅僅勾畫出圖像或區(qū)域的輪廓或邊界是不夠的，還要求認(rèn)定輸入圖像中是否包含要求識別的目標(biāo)．在常規(guī)光學(xué)信息處理中，我們用匹配濾波方法達(dá)到這一目的．在小波變換信息處理中，匹配濾波方案同樣適用．設(shè)輸入要求識別的目標(biāo)圖像(x,y)

和另一圖像(x,y)，首先對它進(jìn)行二維小波變換，可采用上一節(jié)中介紹的各種方法，其結(jié)果，得到了邊緣增強(qiáng)的小波變換譜函數(shù)Wa,x,y{}

和的小波變換Wa,x,y{}，然后再以W{}

和W{}

作為輸入信號，進(jìn)入第二個光學(xué)相關(guān)識別系統(tǒng)，例如4f系統(tǒng)，或第五章中介紹的各種實現(xiàn)傅里葉變換的系統(tǒng)。1/12/202373光學(xué)信息處理在譜面上，W{}

和W{}

的頻譜函數(shù)分別由以下二式給出：(10)(11)表明：在第二個相關(guān)識別系統(tǒng)中，當(dāng)輸入函數(shù)為W{}

和W{}

時，譜面上將出現(xiàn)H*

和H*。

我們用(x,y)所對應(yīng)的小波變換匹配濾波器

F(u,v)=*(u,v)H(au,av)

(12)進(jìn)行濾波，上式中

H(au,av)=42a2(u2+v2)exp[-22a2(u2+v2)(13)1/12/202374光學(xué)信息處理經(jīng)濾波后得到

|(u,v)H*(au,av)

|2(14)及*(u,v)(u,v)H(au,av)

H*(au,av)

(15)再經(jīng)過傅里葉逆變換，分別得到W{}

的自相關(guān)

a-∞∞|*(u,v)H(au,av)|2exp[i2(ux+vy)]dudv

=

Wa,x,y{}

Wa,x,y{}

(16)及W{}

和W{}

的互相關(guān)

a-∞∞[*(u,v)H(au,av)][(u,v)H*(au,av)]

exp[i2(ux+vy)]dudv=

Wa,x,y{}

Wa,x,y{}(17)其中W{}

的自相關(guān)給出亮斑(自相關(guān)峰)，成為目標(biāo)圖像的特征．由于小波變換匹配濾波方法給出經(jīng)過邊緣增強(qiáng)處理的二維小波變換函數(shù)的自相關(guān)，所以有可能獲得更好的識別效果．1/12/202375光學(xué)信息處理由于小波變換匹配濾波器是*H，所以H正是頻域中的窗函數(shù)．當(dāng)a增大時通帶寬度減小，通帶的中心頻率向低頻移動，可以有效地抑制高頻噪聲，但鑒別能力下降；反之，當(dāng)a減小時匹配濾波器將包含更廣的頻段，中心頻率向高頻移動，將具有更高的鑒別能力，但容易受噪聲的干擾，因為一般的白噪聲是與帶寬成正比的．a(chǎn)=la=21/12/202376光學(xué)信息處理1/12/202377光學(xué)信息處理6.7光學(xué)Haar小波變換和圖形邊緣探測6.7.1Haar變換1910年，Haar就首次提出了Haar變換函數(shù)：

h(x)=rect[2(x–1/4)]-rect[2(x–3/4)](1)它較易用光學(xué)方法實現(xiàn)．因此Haar小波變換是常用的小波變換之一．h(x)的傅里葉變換為

H(v)=i2e-i

v[1-cos(v)]/v

(2)1/12/202378光學(xué)信息處理6.7.2

Hanr小波變換與邊緣探測

Haar小波變換是信號函數(shù)(x)與Haar函數(shù)經(jīng)伸縮后的母函數(shù)h(x/a)相關(guān)的結(jié)果．對于一個給定的伸縮因子a，Haar小波變換的作用如下：(1)在小波基元函數(shù)ha,b(x)的正、負(fù)半周內(nèi)對信號進(jìn)行不加權(quán)的積分，這事實上是一個平滑或平均的過程．(2)將正、負(fù)半周的積分值相減．以上兩個作用的綜合結(jié)果是在平均的意義下求差分，或求導(dǎo)數(shù)，恰恰是測出了圖形的邊緣．1/12/202379光學(xué)信息處理

圖6.17(a)是對一個帶有低頻噪聲的方波進(jìn)行Haar小波變換的結(jié)果:

在方波的兩個邊緣呈現(xiàn)一對峰，極值恰恰指示了邊緣的位置．峰峰實線為帶有噪聲的方波信號；虛線為Haar小波變換．1/12/202380光學(xué)信息處理

圖6.17(b)是對一個高頻噪聲的方波進(jìn)行Haar小波變換的結(jié)果:

在方波的兩個邊緣呈現(xiàn)一對峰，極值恰恰指示了邊緣的位置．實線為帶有噪聲的方波信號；虛線為Haar小波變換．峰峰1/12/202381光學(xué)信息處理

圖6.17(c)方波同時具有低頻和高頻噪聲干擾.只要伸縮因子a選擇得當(dāng)，小波變換仍然有很高的信噪比，峰很尖銳，正確的指示了邊緣的所在，充分說明Haar小波變換的抗干擾能力．實線為帶有噪聲的方波信號；虛線為Haar小波變換．峰峰1/12/202382光學(xué)信息處理圖6.18(a)是一個帶有噪聲的step函數(shù),g(x)及其Haar小波變換．噪聲是由空間頻率為v1=27及v2=40的正弦干擾信號及隨機(jī)本底噪聲構(gòu)成．盡管信噪比很底，小波變換仍然正確地指示了step函數(shù)的邊界．圖6.18step函數(shù)及其Haar小波變換1/12/202383光學(xué)信息處理圖6．18(b)是信號函數(shù)g(x)和小波函數(shù)h(x)在頻域中的行為，實線表示G(v)，虛線表示H(v)．G(v)的主峰主要由step函數(shù)的直流和低頻成分貢獻(xiàn)，而旁瓣則主要是step函數(shù)在邊界的躍變部分貢獻(xiàn)的．零頻、低頻主峰旁瓣H(v)頻率窗恰恰開在旁瓣干擾信號的主頻v1，v2遠(yuǎn)在頻率窗外1/12/202384光學(xué)信息處理值得一提的是，兩種干擾信號的主頻v1，v2遠(yuǎn)在頻率窗外，對變換沒有貢獻(xiàn)，而隨機(jī)本底噪聲的譜是寬帶的，對結(jié)果的影響也不大．說到底，在空域中干擾信號和隨機(jī)本底都是“全局”信號，小波變換的局部處理手續(xù)恰恰抑制了它們的作用，而突出了圖形的局部變化——邊界的貢獻(xiàn)．1/12/202385光學(xué)信息處理6.7.3二維Haar小波變換和圖形拐角測量二維Haar變換的母函數(shù)定義如下：

h(x,y)=rect(x-0.5,y-05)+rect(x+0.5,y+05)

+rect(x+0.5,y-05)+rect(x-0.5,y+05)二維Haar變換母函數(shù)如圖所示．用h(x,y)構(gòu)作的二維Haar小波變換，在探測與x軸或與y軸平行的邊緣時都為零，但測量任意一段既不和x軸平行又不和y軸平行的邊緣時不為零，因而該變換特別適用于探型圖形邊緣的“拐角”．-1+1+1-1xy1/12/202386光學(xué)信息處理圖6.20(a)給出一個字母“T”作為輸入圖形．圖6/20(b)是由二維Haar變換測量該輸入圖形的輸出，可以看到拐角測量的效果．1/12/202387光學(xué)信息處理專門進(jìn)行x方向或y方向邊緣測量的二維Haar變換，見圖6.21．用于測量拐角的Haar函數(shù)常稱為“角母函數(shù)”．用于測量邊緣的Haar函數(shù)則稱為“邊母函數(shù)”．根據(jù)圖形的尺寸、邊緣過渡區(qū)的寬度及噪聲的頻譜分布，可以采用不同的伸縮因子，以獲得最佳的信息提取效果．圖6.21二維圖形邊、角測量的Haar小波變換母函數(shù)示意圖.(a)角母函數(shù),(b)y邊緣母函數(shù),(c)x邊緣母函數(shù).1/12/202388光學(xué)信息處理從一維和二維的邊緣探測的討論中，我們已看到小波變換的特點．相對于圖形整體而言，邊緣(邊和角)顯然只是局部．Haar小波變換對于圖形內(nèi)外強(qiáng)度不變的或緩慢變化的部分不敏感，即使對一些急劇變化的高頻噪聲，只要適當(dāng)選取伸縮因子，Haar小波變換仍有很強(qiáng)的抗干擾能力．但在圖形的邊緣出現(xiàn)強(qiáng)度躍處，小波變換卻出現(xiàn)很強(qiáng)的峰，正確指示邊界的位置．可見，在邊緣探測這一類問題中，小波變換比傅里葉變換更加適用．1/12/202389光學(xué)信息處理6.7.4用投影——掩模法實現(xiàn)Haar小波變換本節(jié)中介紹一種由Yang等提出來的在空域中實現(xiàn)Haar小波變換的方法：投影——掩模法，圖622用投影——掩模法進(jìn)行2維Haar小波變換o

為點光源列陣；l為小波函數(shù)掩模板；2

為輸入信號SLM；3為探測器1/12/202390光學(xué)信息處理從點光源P(x,y)輻射的發(fā)散球面波照亮1上的小波函數(shù)掩模板．在d1的距離上經(jīng)放大后通過Ll投射到2上．在Ll

和L2

間為平行光，沒有放大作用．放大率即伸縮因子:a=f/(f–d1)

因為P(x,y)一般不在光軸上，使母函數(shù)發(fā)生平移.平移量的計算可參見圖6.23．1/12/202391光學(xué)信息處理

光線PQRO2在平面上的位移量為零，它在