高中數(shù)學(xué)高考2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）文數(shù)試題精編版（解析版）

絕密★啟封并使用完畢前試題類型：A注意事項(xiàng)： 1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。第Ⅰ卷1至3頁，第Ⅱ卷3至5頁。 2.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在本試題相應(yīng)的位置。 3.全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無效。 4.考試結(jié)束后，將本試題和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．）1．若集合，，則（）A．B．C．D．【答案】A【考點(diǎn)定位】集合的交集運(yùn)算.【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是集合的交集運(yùn)算，屬于容易題．解題時要看清楚是求“”還是求“”，否則很容易出現(xiàn)錯誤；一定要注意集合中元素的互異性，防止出現(xiàn)錯誤．2．圓心為且過原點(diǎn)的圓的方程是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意可得圓的半徑為，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選D.【考點(diǎn)定位】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于容易題．解題時一定要抓住重要字眼“過原點(diǎn)”，否則很容易出現(xiàn)錯誤．解本題需要掌握的知識點(diǎn)是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，即圓心，半徑為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．3．下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（）A．B．C．D．【答案】B【考點(diǎn)定位】函數(shù)的奇偶性.【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是函數(shù)的奇偶性，屬于容易題．解題時一定要判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，否則很容易出現(xiàn)錯誤．解本題需要掌握的知識點(diǎn)是函數(shù)的奇偶性，即奇函數(shù)：定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且；偶函數(shù)：定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且．4．某校老年、中年和青年教師的人數(shù)見下表，采用分層抽樣的方法調(diào)查教師的身體狀況，在抽取的樣本中，青年教師有人，則該樣本的老年教師人數(shù)為（）A．B．C．D．類別人數(shù)老年教師中年教師青年教師合計【答案】C【解析】由題意，總體中青年教師與老年教師比例為；設(shè)樣本中老年教師的人數(shù)為，由分層抽樣的性質(zhì)可得總體與樣本中青年教師與老年教師的比例相等，即，解得，故選C.【考點(diǎn)定位】分層抽樣.【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是分層抽樣，屬于容易題．解題時一定要清楚“”是指抽取前的人數(shù)還是指抽取后的人數(shù)，否則容易出現(xiàn)錯誤．解本題需要掌握的知識點(diǎn)是分層抽樣，即抽取比例．5．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的的值為（）A．B．C．D．【答案】B【考點(diǎn)定位】程序框圖.【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是程序框圖，屬于容易題．解題時一定要抓住重要條件“”，否則很容易出現(xiàn)錯誤．在給出程序框圖求解輸出結(jié)果的試題中只要按照程序框圖規(guī)定的運(yùn)算方法逐次計算，直到達(dá)到輸出條件即可．6．設(shè)，是非零向量，“”是“”的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【考點(diǎn)定位】充分必要條件、向量共線.【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是充分必要條件和向量共線，屬于容易題．解題時一定要注意時，是的充分條件，是的必要條件，否則很容易出現(xiàn)錯誤．充分、必要條件的判斷即判斷命題的真假，在解題中可以根據(jù)原命題與其逆否命題進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．7．某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐最長棱的棱長為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】四棱錐的直觀圖如圖所示：由三視圖可知，平面，是四棱錐最長的棱，，故選C.【考點(diǎn)定位】三視圖.【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是三視圖，屬于容易題．解題時一定要抓住三視圖的特點(diǎn)，否則很容易出現(xiàn)錯誤．本題先根據(jù)三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征，再計算出幾何體中最長棱的棱長即可．8．某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時的情況．加油時間加油量（升）加油時的累計里程（千米）年月日年月日注：“累計里程“指汽車從出廠開始累計行駛的路程在這段時間內(nèi)，該車每千米平均耗油量為（）A．升B．升C．升D．升【答案】B【考點(diǎn)定位】平均變化率.【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是平均變化率，屬于中檔題．解題時一定要抓住重要字眼“每千米”和“平均”，否則很容易出現(xiàn)錯誤．解此類應(yīng)用題時一定要萬分小心，除了提取必要的信息外，還要運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行分析和解決問題．二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分．）9．復(fù)數(shù)的實(shí)部為．【答案】【解析】復(fù)數(shù)，其實(shí)部為.【考點(diǎn)定位】復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算、實(shí)部.【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算和復(fù)數(shù)的概念，屬于容易題．解題時要抓住重要字眼“實(shí)部”，否則很容易出現(xiàn)錯誤．解本題需要掌握的知識點(diǎn)是復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算和復(fù)數(shù)的概念，即，，若（、），則復(fù)數(shù)的實(shí)部是，虛部是．10．，，三個數(shù)中最大數(shù)的是．【答案】【考點(diǎn)定位】比較大小.【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是比較大小，屬于容易題．解題時一定要注意重要字眼“最大數(shù)”，否則很容易出現(xiàn)錯誤．函數(shù)值的比較大小，通過與，，的比較大小，利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性即可比較大?。?1．在中，，，，則．【答案】【解析】由正弦定理，得，即，所以，所以.【考點(diǎn)定位】正弦定理.【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是正弦定理，屬于容易題．解題時一定要注意檢驗(yàn)有兩解的情況，否則很容易出現(xiàn)錯誤．解本題需要掌握的知識點(diǎn)是正弦定理，即．12．已知是雙曲線（）的一個焦點(diǎn)，則．【答案】【解析】由題意知，，所以.【考點(diǎn)定位】雙曲線的焦點(diǎn).【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于容易題．解題時要注意雙曲線的焦點(diǎn)落在哪個軸上，否則很容易出現(xiàn)錯誤．解本題需要掌握的知識點(diǎn)是雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，即雙曲線（，）的左焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)，其中．13．如圖，及其內(nèi)部的點(diǎn)組成的集合記為，為中任意一點(diǎn)，則的最大值為．【答案】【考點(diǎn)定位】線性規(guī)劃.【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是線性規(guī)劃，屬于容易題．線性規(guī)劃類問題的解題關(guān)鍵是先正確畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，然后確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，通過數(shù)形結(jié)合確定目標(biāo)函數(shù)何時取得最值．解題時要看清楚是求“最大值”還是求“最小值”，否則很容易出現(xiàn)錯誤．14．高三年級位學(xué)生參加期末考試，某班位學(xué)生的語文成績，數(shù)學(xué)成績與總成績在全年級中的排名情況如下圖所示，甲、乙、丙為該班三位學(xué)生．從這次考試成績看，①在甲、乙兩人中，其語文成績名次比其總成績名次靠前的學(xué)生是；②在語文和數(shù)學(xué)兩個科目中，丙同學(xué)的成績名次更靠前的科目是．【答案】乙；數(shù)學(xué)【解析】①由圖可知，甲的語文成績排名比總成績排名靠后；而乙的語文成績排名比總成績排名靠前，故填乙.②由圖可知，比丙的數(shù)學(xué)成績排名還靠后的人比較多；而總成績的排名中比丙排名靠后的人數(shù)比較少，所以丙的數(shù)學(xué)成績的排名更靠前，故填數(shù)學(xué).【考點(diǎn)定位】散點(diǎn)圖.【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是散點(diǎn)圖，屬于容易題．解題時一定要抓住重要字眼“語文”和“更”，否則很容易出現(xiàn)錯誤．解此類圖象題一定要觀察仔細(xì)，分析透徹，提取必要的信息．三、解答題（本大題共6小題，共80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．）15．（本小題滿分13分）已知函數(shù)．（I）求的最小正周期；（II）求在區(qū)間上的最小值．【答案】（I）；（II）.（Ⅱ）∵，∴.當(dāng)，即時，取得最小值.∴在區(qū)間上的最小值為.考點(diǎn)：倍角公式、兩角和的正弦公式、三角函數(shù)的周期、三角函數(shù)的最值.【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是降冪公式、輔助角公式、三角函數(shù)的最小正周期和三角函數(shù)的最值，屬于中檔題．解題時要注意重要條件“”，否則很容易出現(xiàn)錯誤．解本題需要掌握的知識點(diǎn)是降冪公式、輔助角公式、三角函數(shù)的最小正周期和三角函數(shù)的圖象，即，，函數(shù)（，）的最小正周期是．16．（本小題滿分13分）已知等差數(shù)列滿足，．（I）求的通項(xiàng)公式；（II）設(shè)等比數(shù)列滿足，，問：與數(shù)列的第幾項(xiàng)相等？【答案】（I）；（II）與數(shù)列的第項(xiàng)相等.（Ⅱ）設(shè)等比數(shù)列的公比為.因?yàn)?，，所以?所以.由，得.所以與數(shù)列的第項(xiàng)相等.考點(diǎn)：等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于中檔題．本題通過求等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本量，利用通項(xiàng)公式求解．解本題需要掌握的知識點(diǎn)是等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：．17．（本小題滿分13分）某超市隨機(jī)選取位顧客，記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的情況，整理成如下統(tǒng)計表，其中“√”表示購買，“×”表示未購買．商商品顧客人數(shù)甲乙丙丁√×√√×√×√√√√×√×√×√××××√××（I）估計顧客同時購買乙和丙的概率；（II）估計顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買中商品的概率；（III）如果顧客購買了甲，則該顧客同時購買乙、丙、丁中那種商品的可能性最大？【答案】（I）0.2；（II）0.3；（III）同時購買丙的可能性最大.【解析】試題分析：本題主要考查統(tǒng)計表、概率等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力.（I）由統(tǒng)計表讀出顧客同時購買乙和丙的人數(shù)，計算出概率；（II）先由統(tǒng)計表讀出顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買中商品的人數(shù)，再計算概率；（III）由統(tǒng)計表讀出顧客同時購買甲和乙的人數(shù)為，顧客同時購買甲和丙的人數(shù)為，顧客同時購買甲和丁的人數(shù)為，分別計算出概率，再通過比較大小得出結(jié)論.試題解析：（Ⅰ）從統(tǒng)計表可以看出，在這位顧客中，有位顧客同時購買了乙和丙，所以顧客同時購買乙和丙的概率可以估計為.考點(diǎn)：統(tǒng)計表、概率.【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是統(tǒng)計表和古典概型，屬于中檔題．解題時一定要抓住重要字眼“估計”和“最大”，否則很容易失分．解此類統(tǒng)計表的試題一定要理解透徹題意，提取必要的信息．解本題需要掌握的知識點(diǎn)是古典概型概率公式，即．18．（本小題滿分14分）如圖，在三棱錐中，平面平面，為等邊三角形，且，，分別為，的中點(diǎn)．（I）求證：平面；（II）求證：平面平面；（III）求三棱錐的體積．【答案】（I）證明詳見解析；（II）證明詳見解析；（III）.又因?yàn)槠矫?，所以三棱錐的體積等于.又因?yàn)槿忮F的體積與三棱錐的體積相等，所以三棱錐的體積為.考點(diǎn)：線線平行、線面平行、面面平行、線線垂直、線面垂直、面面垂直、三棱錐的體積公式.【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是線面平行、面面垂直和幾何體的體積，屬于中檔題．證明線面平行的關(guān)鍵是證明線線平行，證明線線平行常用的方法是三角形的中位線和構(gòu)造平行四邊形．證明面面垂直的關(guān)鍵是證明線面垂直，證明線面垂直可由面面垂直得到，但由面面垂直得到線面垂直一定要注意找兩個面的交線，否則很容易出現(xiàn)錯誤．求幾何體的體積的方法主要有公式法、割補(bǔ)法、等積法等，本題求三棱錐的體積，采用了等積法．19．（本小題滿分13分）設(shè)函數(shù)，．（I）求的單調(diào)區(qū)間和極值；（II）證明：若存在零點(diǎn)，則在區(qū)間上僅有一個零點(diǎn)．【答案】（I）單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；極小值；（II）證明詳見解析.試題解析：（Ⅰ）由，（）得.由解得.與在區(qū)間上的情況如下：考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、函數(shù)零點(diǎn)問題.【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和函數(shù)的零點(diǎn)，屬于難題．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性與極值的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②對求導(dǎo)；③求方程的所有實(shí)數(shù)根；④列表格．證明函數(shù)僅有一個零點(diǎn)的步驟：①用零點(diǎn)存在性定理證明函數(shù)零點(diǎn)的存在性；②用函數(shù)的單調(diào)性證明函數(shù)零點(diǎn)的唯一性．20．（本小題滿分14分）已知橢圓，過點(diǎn)且不過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)．（I）求橢圓的離心率；（II）若垂直于軸，求直線的斜率；（III）試判斷直線與直線的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】（I）；（II）1；（III）直線與直線平行.（Ⅱ）因?yàn)檫^點(diǎn)且垂直于軸，所以可設(shè)，.直線的方程為