電路 第十五章 電路方程的矩陣形式

第15章電路方程的矩陣形式重點(diǎn)圖、樹(shù)、割集關(guān)聯(lián)矩陣、基本回路矩陣和基本割集矩陣的概念及描述3、回路電流方程、結(jié)點(diǎn)電壓方程和割集電壓方程的矩陣形式第15章電路方程的矩陣形式15.1割集一.割集Q(1)把Q

中全部支路移去，將圖分成兩個(gè)分離部分；(2)保留Q中的一條支路，其于都移去，G還是連通的。是連通圖G中一個(gè)支路的集合，具有下述性質(zhì)：①4321②④③56①1②3④③4256Q1:{2,5,4,6}①4321②④③56①4321②④③56①4321②④③56Q4:{1,5,2}Q3:{1,4,6}Q2:{2,3,6}一般來(lái)說(shuō)可以通過(guò)在連通圖上作閉合面的方法確定一個(gè)割集1234{1，2，3，4}

割集?三個(gè)分離部分4保留4支路，圖不連通。1234{1，2，3，4}

割集?二.基本割集（單樹(shù)支割集）①4321②④③56①4321②④③56①4321②④③56Q3:{1,5,3,6}Q2:{3,5,4}Q1:{2,3,6}1單樹(shù)支割集是獨(dú)立割集,但獨(dú)立割集不一定是單樹(shù)支割集;2獨(dú)立割集數(shù)為(n-1);15.2圖的矩陣表示電路的圖表征了網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和拓?fù)洌罁?jù)電路的圖，可以寫(xiě)出網(wǎng)絡(luò)的KCL和KVL方程。圖的矩陣表示用矩陣描述圖的拓?fù)湫再|(zhì)，即KCL和KVL的矩陣形式。結(jié)點(diǎn)支路關(guān)聯(lián)矩陣回路支路回路矩陣割集支路割集矩陣1.關(guān)聯(lián)矩陣一條支路連接兩個(gè)結(jié)點(diǎn)，稱該支路與這兩個(gè)結(jié)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)，結(jié)點(diǎn)和支路的關(guān)聯(lián)性質(zhì)可以用關(guān)聯(lián)矩陣Aa描述。n個(gè)結(jié)點(diǎn)b條支路的圖用nb的矩陣Aa描述ajkajk=1

支路k與結(jié)點(diǎn)j關(guān)聯(lián)，方向背離結(jié)點(diǎn)。ajk=-1支路k與結(jié)點(diǎn)j關(guān)聯(lián)，方向指向結(jié)點(diǎn)ajk=0支路k與結(jié)點(diǎn)j無(wú)關(guān)Aa=nb支路b結(jié)點(diǎn)n每一行對(duì)應(yīng)一個(gè)結(jié)點(diǎn)，每一列對(duì)應(yīng)一條支路，矩陣Aa的每一個(gè)元素定義為：例Aa=1234123456支結(jié)-1-10100001-1-1010001101-100-1(1)每一列只有兩個(gè)非零元素，一個(gè)是+1，一個(gè)是-1，Aa的每一列元素之和為零。(2)矩陣中任一行可以從其他n-1行中導(dǎo)出，即只有n-1行是獨(dú)立的。1２３６５４①②④③關(guān)聯(lián)矩陣Aa的特點(diǎn)：引入降階關(guān)聯(lián)矩陣AA=(n-1)b支路b結(jié)點(diǎn)（n-1）例Aa=1234123456支結(jié)-1-10100001-1-1010001101-100-11２３６５４①②④③設(shè)④為參考節(jié)點(diǎn),得降階關(guān)聯(lián)矩陣A=123123456支結(jié)-1-10100001-1-10100011引入關(guān)聯(lián)矩陣A的作用：設(shè):用關(guān)聯(lián)矩陣A表示矩陣形式的KCL方程1２３６５４①②④③-1-10100001-1-10100011[A][i]=矩陣形式的KCL:

[A][i]=0以④為參考節(jié)點(diǎn)n-1個(gè)獨(dú)立方程1２３６５４①②④③設(shè):用矩陣[A]T表示矩陣形式的KVL方程2.回路矩陣B1支路j

在回路i中方向一致-1支路j在回路i中方向相反0支路j

不在回路i中bij=一個(gè)回路由某些支路組成，稱這些支路與該回路相關(guān)聯(lián)，獨(dú)立回路與支路的關(guān)聯(lián)性質(zhì)可以用回路矩陣B描述。[B]=l

b支路b獨(dú)立回路l每一行對(duì)應(yīng)一個(gè)獨(dú)立回路，每一列對(duì)應(yīng)一條支路，矩陣B的每一個(gè)元素定義為：2。支路排列順序?yàn)橄葮?shù)支后連支，回路順序與連支順序一致若獨(dú)立回路選單連枝回路得基本回路矩陣[Bf]，規(guī)定：1。連支電流方向?yàn)榛芈冯娏鞣较蚶【W(wǎng)孔為獨(dú)立回路，順時(shí)針?lè)较?231２３６５４①②④③123B=123456支回01110000-10-111-1000-1注給定B可以畫(huà)出有向圖。選4、5、6為樹(shù)，連支順序?yàn)?、2、3。123B=456123支回1-101001-11010=[Bt

1]01-1001BtBl1２３６５４①②④③例設(shè)矩陣形式的KVL：[B][u]=0引入回路矩陣[B]的作用：用回路矩陣[B]表示矩陣形式的KVL方程[B][u]=1-101001-1101001-1001BtBl1２３６５４①②④③[Bf][u]=0可寫(xiě)成Btut+ul=0ul=-Btut設(shè)連支電壓用樹(shù)支電壓表示用回路矩陣[B]T表示矩陣形式的KCL方程矩陣形式的KCL：[B]T[il]=[ib][Bf]=[Bt1]樹(shù)支電流用連支電流表出1２３６５４①②④③獨(dú)立回路電流3.基本割集矩陣Q每一行對(duì)應(yīng)一個(gè)基本割集每一列對(duì)應(yīng)一條支路，矩陣Q的每一個(gè)元素定義為：qij=1支路j在割集i中且與割集方向一致-1支路j在割集i中且與割集方向相反

0支路j不在割集中割集與支路的關(guān)聯(lián)性質(zhì)可以用割集矩陣描述，這里主要指基本割集矩陣。[Q]=(n-1)b支路b割集數(shù)規(guī)定：(1)割集方向?yàn)闃?shù)支方向(2)支路排列順序先樹(shù)支后連支(3)割集順序與樹(shù)支次序一致若選單樹(shù)枝割集為獨(dú)立割集，得基本割集矩陣[Qf]1２３６５４①②④③例選4、5、6支路為樹(shù)Q1:{1,2,4}Q2:{1,2,3,5}Q3:{2,3,6}Q=456123支割集Q1Q2Q3100-1-10

01011-1

0010-11QlQt設(shè)矩陣形式的KCL：引入基本割集矩陣[Qf]的作用：用基本割集矩陣[Qf]表示矩陣形式的KCL方程1２３６５４①②④③100-1-1001011-10010-11[Qf

][ib]=矩陣形式的KCL：[Qf

][ib]=0設(shè)樹(shù)枝電壓（或基本割集電壓）：ut=[u4u5u6]T用[Qf]T表示矩陣形式的KVL方程1２３６５４①②④③矩陣形式的KVL：[Qf

]T[ut]=[ub]連支電壓用樹(shù)支電壓表示QQi=0QTut=u小結(jié)：ul=-BtutABKCLAi=0BTil=iKVLATun=uBu=015.5支路電壓電流關(guān)系的矩陣形式反映元件性質(zhì)的支路電壓和支路電流關(guān)系的矩陣形式是網(wǎng)絡(luò)矩陣分析法的基礎(chǔ)。

1.復(fù)合支路設(shè)標(biāo)準(zhǔn)支路為：Zk（Yk）-+-+復(fù)合支路

特點(diǎn)：123Zk（Yk）-+-+復(fù)合支路

注：Zk（Yk）-+-+復(fù)合支路復(fù)合支路只是定義了一條支路最多可以包含的不同元件數(shù)及連接方法，但允許缺少某些元件。Zk（Yk）Zk（Yk）-+-+Zk（Yk）Zk（Yk）=0-+2.阻抗矩陣形式

應(yīng)用KCL和KVL可以寫(xiě)出用阻抗表示的k支路電壓、電流關(guān)系方程：Zk（Yk）-+-+如有b條支路，則有：設(shè)支路電流向量支路電壓向量電壓源電壓向量電流源電流向量2.阻抗矩陣形式

應(yīng)用KCL和KVL可以寫(xiě)出用阻抗表示的k支路電壓、電流關(guān)系方程：Zk（Yk）-+-+整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的支路電壓、電流關(guān)系矩陣：bb階對(duì)角陣[Z]=diag[Z1Z2……Zb]T寫(xiě)出圖示電路支路電壓、電流關(guān)系矩陣：例+R1R51/jCjL2R6234-jL311①23456②③④解**M+--+3.有互感時(shí)的阻抗矩陣形式一般情況jωLm-MmnjωLn-++電壓電流4.有電流控制的電壓源時(shí)的阻抗矩陣形式例+R1R51/jCjL2R6234-jL31M5.支路導(dǎo)納矩陣形式Zk（Yk）-+-+對(duì)于不含互感和受控源的網(wǎng)絡(luò)bb階對(duì)角陣對(duì)于含互感的網(wǎng)絡(luò)..USkIdk.Ik.IekZk對(duì)于含受控源的網(wǎng)絡(luò)考慮b個(gè)支路時(shí)：15.6網(wǎng)絡(luò)矩陣的分析方法有了反映元件性質(zhì)的支路電壓和支路電流矩陣方程和KCL、KVL的矩陣表示，就可以對(duì)任意復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)矩陣分析。1.結(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣分析最常用的方法由KCL有由KVL有[Yn]結(jié)點(diǎn)導(dǎo)納陣獨(dú)立電源引起的流入結(jié)點(diǎn)的電流列向量結(jié)點(diǎn)分析法的一般步驟1①23456②③④第一步：抽象為有向圖5V0.5W2W1W0.5W5W1W3A1A+-第二步：形成[A]123A=123456支節(jié)1100010-1110000-101-1第三步：形成[Y]結(jié)點(diǎn)分析法的一般步驟1①23456②③④5V0.5W2W1W0.5W5W1W3A1A+-第四步：形成[US]、[IS]US=[-500000]T[IS]=[000-130]T第五步：用矩陣乘法求得節(jié)點(diǎn)方程2.回路矩陣分析法Zk（Yk）