直線和圓的方程

1/13/2023第七章直線和圓的方程7.6圓的方程（1）圓的標準方程問題1：具有什么性質(zhì)的點的軌跡稱為圓？平面內(nèi)與一定點距離等于定長的點的軌跡稱為圓.問題2：圖中哪個點是定點？哪個點是動點？動點具有什么性質(zhì)？圓心和半徑都反映了圓的什么特點？圓心C是定點，圓周上的點M是動點，它們到圓心距離等于定長|MC|=r，圓心和半徑分別確定了圓的位置和大?。畣栴}3：求曲線的方程的一般步驟是什么？其中哪幾個步驟必不可少？（1）建立適當?shù)淖鴺讼?，用有序?qū)崝?shù)對例如(x,y)表示曲線上任意一點M的坐標；（2）寫出適合條件p的點M的集合P={M|p(M)}；（3）用坐標表示條件p(M)，列出方程f(x,y)=0；（4）化方程f(x,y)=0為最簡形式；

（5）證明以化簡后的方程的解為坐標的點都是曲線上的點．

其中步驟(1)(3)(4)必不可少．下面我們用求曲線方程的一般步驟來建立圓的標準方程．圓的標準方程解：設M(x,y)是圓上任意一點，xyO．rM根據(jù)圓的定義|MC|=rC由兩點間距離公式，得①把①式兩邊平方，得圓的標準方程說明：1.特點：明確給出了圓心和半徑。2.確定圓的方程必須具備三個獨立的條件。練習1.寫出下列各圓的方程：（1）圓心在圓點，半徑是3；（3）經(jīng)過點P(5,1)，圓心在點C(8,-3)（2）圓心在點C(3,4)，半徑是；練習2.寫出下列各圓的圓心坐標和半徑（1）（2）（3）（-1，2）3例1.求以C(1,3)為圓心，并且和直線3x-4y-7=0相切的圓的方程。解：設所求圓的方程為(x-1)2+(y-3)2=r2因為圓C和直線3x-4y-7=0相切，所以圓心到直線的距離等于半徑rCxyOr根據(jù)點到直線距離公式，得因此，所求的圓的方程是練習3.已知一個圓的圓心在原點，并與直線4x+3y-70=0相切，求圓的方程。例2.已知圓的方程是x2+y2=r2，求經(jīng)過圓上一點M(x0,y0)

的切線的方程。解：如圖，xyO．M(x0,y0)設切線的斜率為k半徑OM的斜率為k1,因為圓的切線垂直于過切點的半徑，于是經(jīng)過點M的切線方程是整理得，x0x+y0y=x02+y02因為點M(x0,y0)在圓上，所以x02+y02=r2所求切線方程是x0x+y0y=r2當點M在坐標軸上時，可以驗證上面方程同樣適用。例2已知圓的方程是，求經(jīng)過圓上一點

的切線的方程。P(x,y

)由勾股定理：|OM|2+|MP|2=|OP|2解法二（利用平面幾何知識）：在直角三角形OMP中yxOx0x

+y0y=r2P(x,y

)yxO例2已知圓的方程是，求經(jīng)過圓上一點

的切線的方程。解法三（利用平面向量知識）：OMMP=0OMMPx0x

+y0y=r2x2

+

y2=r2練習4.寫出過圓x2+y2=10上一點M的切線的方程練習5.已知圓的方程是x2+y2=1，求（1）斜率等于1的切線的方程；（2）在y軸上截距是的切線的方程。所以切線方程為：y=x±2提示：設切線方程為y=x+b,由圓心到切線的距離等于半徑1，得：|b|12+(-1)2=1解得b=±22（2）在y軸上截距是的切線方程。y=±x+2例3：如圖是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖。該圓拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造時每隔4m需用一個支柱支撐，求支柱A2P2的長度（精確到0.01m)yx解：建立如圖所示的坐標系，設圓心坐標是（0，b）圓的半徑是r,則圓的方程是x2+(y-b)2=r2

。把P(0,4)、B(10,0)代入圓的方程得方程組：02+(4-b)2=r2102+(0-b)2=r2解得：b=-10.5r2=14.52所以圓的方程是：x2+(y+10.5)2=14.52把點P2的橫坐標x=-2代入圓的方程，得

(-2)2+(y+10.5)2=14.52因為y>0,所以y=14.52-(-2)2-10.5≈14.36-10.5=3.86(m)答：支柱A2P2的長度約為3.86m。小結(jié)

(1)圓心為C(a,b)，半徑為r的圓的標準方程為

(x-a)2+(y-b)2=r2

當圓心在原點時a=b=0，圓的標準方程為：

x2+y2=r2(2)由于圓的標準方程中含有a,b,r三個參數(shù)，因此必須具備三個獨立的條件才能確定圓；對于由已知條件容易求得圓心坐標和圓的半徑或需利用圓心坐標列方程的問題一般采用圓的標準方程。

(3)注意圓的平面幾何知識的運用以及應用圓的方程解決實際問題。作業(yè)：書P81習題7.6___42.求圓心C在直線x+2y+4=0上，且過兩定點A(-1,1)、

B(1,-1)的圓的方程