余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)電子版本

§6余弦(yúxián)函數(shù)的圖像與性質(zhì)第一頁，共53頁。問題引航1.如何得到余弦函數(shù)的圖像？什么是余弦曲線？2.余弦函數(shù)有哪些性質(zhì)？如何利用這些性質(zhì)解題？第二頁，共53頁。1.余弦函數(shù)(hánshù)圖像的畫法(1)平移法：左第三頁，共53頁。(2)五點法：①五個關(guān)鍵點：②函數(shù)(hánshù)y=cosx，x∈［0,2π］的簡圖：x0π2πcosx___________10-101第四頁，共53頁。(3)余弦曲線：y=cosx(x∈［0,2π］)的圖像向左、向右平行移動(yídòng)(每次平移____個單位)得到余弦函數(shù)y=cosx(x∈R)的圖像,此圖像叫作余弦曲線.2π第五頁，共53頁。2.余弦(yúxián)函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)余弦函數(shù)y=cosx圖像定義域R值域［-1,1］第六頁，共53頁。函數(shù)性質(zhì)余弦函數(shù)y=cosx最值當x=2kπ(k∈Z)時，ymax=1當x=(2k+1)π(k∈Z)時，ymin=-1周期性是周期函數(shù)，最小正周期為____奇偶性是偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對稱單調(diào)性在［(2k-1)π,2kπ］(k∈Z)上是_____的在［2kπ,(2k+1)π］(k∈Z)上是_____的2π增加(zēngjiā)減少(jiǎnshǎo)第七頁，共53頁。1．判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)余弦函數(shù)y=cosx是偶函數(shù)，圖像關(guān)于(guānyú)y軸對稱，對稱軸有無數(shù)多條.()(2)余弦函數(shù)y=cosx的圖像是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形.()(3)在區(qū)間［0，2π］上，函數(shù)y=cosx僅在x=0時取得最大值1.()第八頁，共53頁。2．做一做(請把正確的答案(dáàn)寫在橫線上)(1)函數(shù)y=｜cosx｜的單調(diào)增區(qū)間是________，單調(diào)減區(qū)間是________，最小正周期是________.(2)函數(shù)y=2cosx-1的值域是________.(3)函數(shù)y=f(x)=-cosx的奇偶性為________.第九頁，共53頁?！窘馕觥?.(1)正確.由余弦(yúxián)函數(shù)的圖像可得，對稱軸方程為x=kπ(k∈Z),所以余弦(yúxián)函數(shù)的圖像的對稱軸有無數(shù)條.(2)正確.由余弦(yúxián)函數(shù)的圖像可得函數(shù)關(guān)于點(k∈Z)成中心對稱.(3)錯誤.在區(qū)間［0，2π］上，函數(shù)y=cosx在x=0與x=2π時取得最大值1.答案：(1)√(2)√(3)×第十頁，共53頁。2.(1)y=cosx的圖像在x軸上方的不動，將下方部分對稱地翻到x軸上方，即得到(dédào)函數(shù)y=｜cosx｜的圖像，如圖所示，第十一頁，共53頁。由圖像(túxiànɡ)可知，函數(shù)的最小正周期為π，又因為在上，函數(shù)的增區(qū)間是減區(qū)間是而函數(shù)的周期是kπ(k∈Z且k≠0)，因此函數(shù)y=｜cosx｜的增區(qū)間是(k∈Z)，減區(qū)間是(k∈Z).答案：第十二頁，共53頁。(2)因為y=cosx∈［-1,1］，所以2cosx-1∈［-3,1］.答案(dáàn)：［-3,1］(3)函數(shù)y=-cosx的定義域為R，f(-x)=-cos(-x)=-cosx=f(x)，所以函數(shù)為偶函數(shù).答案(dáàn)：偶函數(shù)第十三頁，共53頁?！疽c探究】知識點余弦(yúxián)函數(shù)的圖像與性質(zhì)1.余弦(yúxián)函數(shù)性質(zhì)與圖像的關(guān)系(1)余弦(yúxián)函數(shù)性質(zhì)的研究可以類比正弦函數(shù)的研究方法.(2)余弦(yúxián)函數(shù)的性質(zhì)可以由圖像直接觀察，但要經(jīng)過解析式或單位圓推導才能下結(jié)論.第十四頁，共53頁。2.對余弦函數(shù)單調(diào)性的三點說明(1)余弦函數(shù)在定義域R上不是(bùshi)單調(diào)函數(shù)，但存在單調(diào)區(qū)間.(2)求解或判斷余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(或單調(diào)性)，是求與之相關(guān)的值域(或最值)的關(guān)鍵，通常借助其求值域(或最值).(3)確定較復雜函數(shù)的單調(diào)性，要注意使用復合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法.第十五頁，共53頁。3.余弦函數(shù)的最值(1)明確余弦函數(shù)的有界性，即|cosx|≤1,解題時常會用到.(2)對有些函數(shù)，其最值不一定(yīdìng)就是1或-1，要依賴函數(shù)的定義域來確定.(3)形如y=Acos(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的函數(shù)求最值時，通常利用“整體代換”，即令ωx+φ=z,將函數(shù)轉(zhuǎn)化為y=Acosz的形式求最值.第十六頁，共53頁?！疚⑺伎肌?1)由y=sinx，x∈R的圖像得到y(tǒng)=cosx,x∈R的圖像，平移(pínɡyí)的方法唯一嗎？提示：可向左平移(pínɡyí)也可向右平移(pínɡyí)，方法不唯一.(2)形如y=Acos(ωx+φ)(A＞0,x∈R)的值域還是［-1,1］嗎？提示：不一定是.值域是［-A,A］.第十七頁，共53頁?！炯磿r(jíshí)練】下列關(guān)于函數(shù)y=-3cosx-1的說法錯誤的是()A.最小值為-4B.是偶函數(shù)C.當x=kπ，k∈Z時，函數(shù)取最大值D.是周期函數(shù)，最小正周期為2π【解析】選C.當x=kπ,k∈Z時，y=cosx取到最大值1，而函數(shù)y=-3cosx-1取最小值.第十八頁，共53頁。【題型示范】類型一“五點法”畫余弦函數(shù)的圖像(túxiànɡ)【典例1】(1)利用“五點法”作余弦函數(shù)的圖像(túxiànɡ)時，第三個關(guān)鍵點的坐標為()A.(0，1)B.C.(π,-1)D.(2)用“五點法”作出y=1+cosx(0≤x≤2π)的簡圖.第十九頁，共53頁。【解題探究】1.對余弦(yúxián)函數(shù)而言，五點法作圖的五個點的坐標分別是什么？2.題(2)中函數(shù)y=1+cosx的最大值與最小值分別等于什么？【探究提示】1.五個點分別為(0，1)，，(π，-1)，，(2π，1).2.因為cosx∈［-1，1］，所以1+cosx∈［0，2］,即最大值為2，最小值為0.第二十頁，共53頁?！咀灾鹘獯?jiědá)】(1)選C.由五個點的坐標知第三個關(guān)鍵點為(π,-1).(2)列表如下：x0π2πy=cosx10-101y=1+cosx21012第二十一頁，共53頁。描點連線(liánxiàn)，可得函數(shù)y=1+cosx在［0,2π］上的圖像如圖所示：第二十二頁，共53頁?！痉椒记伞俊拔妩c法”畫函數(shù)(hánshù)圖像的三個步驟第二十三頁，共53頁。【變式訓練】作出函數(shù)y=1-cosx(0≤x≤2π)的簡圖.【解題指南】將［0,2π］這一區(qū)間四等(sìděnɡ)分找到五個關(guān)鍵點然后描點、連線即可.【解析】列表：x0π2πy=cosx10-101y=1-cosx01210第二十四頁，共53頁。描點連線(liánxiàn)得y=1-cosx的圖像(如圖所示).第二十五頁，共53頁?！狙a償訓練】“五點法”畫y=cos時，所取的五個點為_______.【解題指南】把作為(zuòwéi)一個整體看作是y=cosx中的x可得五點.第二十六頁，共53頁。即五個點分別(fēnbié)為：答案：0π

2π

x

10-101【解析(jiěxī)】列表可得：第二十七頁，共53頁。類型二余弦(yúxián)函數(shù)的奇偶性及應用【典例2】(1)(2013·佛山高一檢測)函數(shù)f(x)=sin(x+φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函數(shù)，則φ的值為()A.0B.C.D.π(2)(2014·綿陽高一檢測)函數(shù)f(x)=sin(2x+)的奇偶性為_________.(3)已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x＞0時，f(x)=sin2x+cosx，求f(x).第二十八頁，共53頁?！窘忸}探究】1.f(x)為R上的偶函數(shù)應具備什么條件？2.利用誘導公式化簡sin(2x+)等于什么？3.題(3)中已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，求f(x)的一般原則是什么？【探究提示】1.應滿足(mǎnzú)f(-x)=f(x).2.3.先求x=0時的解析式，再求x＜0時的解析式，對定義域內(nèi)的取值要完整.第二十九頁，共53頁?！咀灾鹘獯稹?1)選C.當φ=0或π時，f(x)為奇函數(shù)，當φ=時,為非奇非偶函數(shù).只有當φ=時符合(fúhé)題意,故選C.(2)因為=-sin(2x+)=-cos2x，所以f(-x)=-cos(-2x)=-cos2x=f(x),即f(x)為偶函數(shù).答案：偶函數(shù)第三十頁，共53頁。(3)因為函數(shù)y=f(x)是定義(dìngyì)在R上的奇函數(shù)，所以f(-x)=-f(x),所以f(0)=-f(0)，f(0)=0,當x＜0時，-x＞0,所以f(x)=-f(-x)=-［sin2(-x)+cos(-x)］=sin2x-cosx，所以第三十一頁，共53頁?！痉椒记伞坑嘞液瘮?shù)奇偶性常用結(jié)論(1)因為余弦函數(shù)是偶函數(shù)，所以(suǒyǐ)cosx=cos｜x｜.(2)y=cos(x+φ)，當φ=kπ+(k∈Z)時是奇函數(shù)；y=sin(x+φ)，當φ=kπ+(k∈Z)時是偶函數(shù).(3)余弦函數(shù)的對稱軸和對稱中心①對稱軸方程為x=kπ(k∈Z).②對稱中心的坐標為(+kπ,0)(k∈Z).第三十二頁，共53頁?！咀兪接柧?xùnliàn)】函數(shù)f(x)=x2+cosx的奇偶性為______.【解析】因為x∈R，且f(-x)=(-x)2+cos(-x)=x2+cosx=f(x),所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù).答案：偶函數(shù)第三十三頁，共53頁?！狙a償訓練】函數(shù)y=cos(sinx)的奇偶性是________.【解析(jiěxī)】函數(shù)定義域為R,又cos［sin(-x)］=cos(-sinx)=cos(sinx)，所以函數(shù)為偶函數(shù).答案：偶函數(shù)第三十四頁，共53頁。類型三余弦函數(shù)的單調(diào)性與最值【典例3】(1)函數(shù)y=cos2x的一個(yīɡè)增區(qū)間是()(2)求函數(shù)y=3cos2x-4cosx+1的最大值和最小值.第三十五頁，共53頁。【解題探究(tànjiū)】1.題(1)中涉及的函數(shù)是哪種？2.題(2)中若將cosx變?yōu)閠，則函數(shù)變?yōu)槭裁?？【探?tànjiū)提示】1.涉及的函數(shù)是余弦函數(shù).2.函數(shù)變?yōu)閥=3t2-4t+1.第三十六頁，共53頁?！咀灾鹘獯?jiědá)】(1)選D.令2kπ-π≤2x≤2kπ,k∈Z，所以kπ-≤x≤kπ，當k=1時，x∈[,π].(2)令t=cosx，則-1≤t≤1,問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=3t2-4t+1(-1≤t≤1)的最大值和最小值.因為所以函數(shù)在[-1,]上是減少的，在[,1]上是增加的，第三十七頁，共53頁。當t=時,y有最小值;當t=-1時,y有最大值，所以(suǒyǐ)ymax=3+4+1=8.所以(suǒyǐ)函數(shù)的最大值為8，最小值為-.第三十八頁，共53頁?！狙由?yánshēn)探究】若將本題(2)增加條件x∈求最大值和最小值.【解析】令t=cosx,則y=因為x∈所以t∈函數(shù)在區(qū)間上是減少的.所以當t=-即cosx=-時,ymax=，此時x=.當t=即x=時，ymin=-.第三十九頁，共53頁?！痉椒记伞壳蠛瘮?shù)最大值、最小值的方法(1)直接(zhíjiē)法：根據(jù)函數(shù)值域的定義,由自變量的取值范圍求出函數(shù)值的取值范圍.(2)單調(diào)性法：利用函數(shù)的單調(diào)性.(3)圖像法：利用函數(shù)的圖像,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)圖像上最高點和最低點的縱坐標的問題.(4)換元法:轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)、二次函數(shù)等函數(shù)問題.第四十頁，共53頁?！咀兪接柧殹亢瘮?shù)y＝4cos2x＋4cosx－2的值域為()A.［-2，6］B.［-3，6］C.［-2，4］D.［-3，8］【解題(jiětí)指南】利用換元法將函數(shù)變?yōu)槎魏瘮?shù)，利用二次函數(shù)求最值.第四十一頁，共53頁。【解析】選B.設(shè)cosx=t，則y＝4cos2x＋4cosx－2＝4t2+4t-2=4(t2+t)-2=4(t+)2-3.因為(yīnwèi)－1≤cosx≤1，所以-1≤t≤1,所以ymin＝－3，第四十二頁，共53頁?！狙a償訓練(xùnliàn)】求函數(shù)y＝2cos(2x＋)，x∈的最大值與最小值.【解析】因為所以0≤2x＋所以－1≤2cos(2x＋)≤2，當cos(2x＋)＝1，即x＝－時，ymax＝2，當cos(2x＋)＝－，即x＝時，ymin＝－1.第四十三頁，共53頁。【規(guī)范解答】余弦函數(shù)值域的應用【典例】(12分)(2014·榆林高一檢測(jiǎncè))已知函數(shù)y=a-bcosx的最大值為，最小值為-，求函數(shù)y=-2sinbx的最值及周期.第四十四頁，共53頁?！緦忣}】抓信息(xìnxī)，找思路第四十五頁，共53頁。【解題(j