平穩(wěn)時(shí)間序列模型的建立概述

第三章平穩(wěn)時(shí)間序列模型的建立

本章首先介紹利用時(shí)間序列的樣本統(tǒng)計(jì)特征識(shí)別時(shí)間序列模型，然后分別介紹模型定階、模型估計(jì)和模型檢驗(yàn)的多種方法，對Box-Jenkins建模方法和Pandit-Wu建模方法歸納總結(jié)，最后給出實(shí)際案例。第一節(jié)模型識(shí)別與定階一、自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)（一）自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)1）是平穩(wěn)時(shí)間序列自協(xié)方差的無偏估計(jì)量；則是平穩(wěn)時(shí)間序列自協(xié)方差的漸進(jìn)無偏估計(jì)量。2）通常是正定的。（二）偏自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)

二、模型的初步識(shí)別（一）截尾性的判斷假設(shè)yt是一個(gè)真實(shí)MA（q）模型，例1，某資產(chǎn)組合過去100個(gè)交易日收益率情況（二）偏相關(guān)系數(shù)截尾性的判斷假設(shè)yt是一個(gè)AR（p）過程，~（三）ARMA（p，q）模型識(shí)別模型AR(p)MA(q)ARMA(p,q)ACF拖尾截尾拖尾PACF截尾拖尾拖尾三、模型的定階1、殘差的方差殘差方差小，相應(yīng)的階數(shù)合理。模型殘差平方和自由度殘差方差A(yù)R(1)8184.65468120.03095AR(2)7920.03767117.76331AR(3)7919.294766119.536102、ACF和PACF定階法模型AR(p)MA(q)ARMA(p,q)自相關(guān)函數(shù)（ACF）拖尾截尾拖尾偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）截尾拖尾拖尾模型殘差平方和自由度殘差方差MA(1)80065.715837.1543MA(2)72345.915735.6262MA(3)71123.965635.6381MA(4)71104.135535.9956兩模型幾乎沒有差異。（四）模型定階的最正確準(zhǔn)則函數(shù)法1、根本思想：確定一個(gè)函數(shù)，該函數(shù)既要考慮用某一模型擬合原始數(shù)據(jù)的接近程度，同時(shí)又考慮模型中所含參數(shù)的個(gè)數(shù)。當(dāng)該函數(shù)取最小值時(shí)，就是最適宜的階數(shù)。衡量模型擬合數(shù)據(jù)的接近程度的指標(biāo)是殘差方差。2、最正確準(zhǔn)則函數(shù)包括AIC、BIC等準(zhǔn)則。AIC準(zhǔn)則是1973年由赤池（Akaike）提出，此準(zhǔn)則是對FPE準(zhǔn)則(用來判別AR模型的階數(shù)是否適宜)的推廣，用來識(shí)別ARMA模型的階數(shù)。該準(zhǔn)則既適合于AR，也適合于ARMA模型。第二節(jié)模型參數(shù)的估計(jì)一、模型參數(shù)的矩方法估計(jì)二、最小二乘估計(jì)三、極大似然估計(jì)一、模型參數(shù)的矩估計(jì)（一）AR(p)模型的矩估計(jì)于是可得如下的Yule-Walk方程：于是可得到的矩估計(jì)：例1，AR(1)模型的矩估計(jì)例2，AR(2)模型參數(shù)的矩估計(jì)（三）MA(q)模型參數(shù)的矩估計(jì)第四章已經(jīng)推導(dǎo)出MA(q)的自協(xié)方差結(jié)果，將代替，代替(i=1,2…q),得如下方程組：上式是含有q+1個(gè)參數(shù)的非線性方程組，解此方程組，即可以求出各參數(shù)：方程組可以直接求解，也可以用迭代法求解。例3.MA(1)模型參數(shù)的矩估計(jì)例4.求AR(2)模型系數(shù)的矩估計(jì)AR(2)模型Yule-Walker方程矩估計(jì)優(yōu)點(diǎn)估計(jì)思想簡單直觀不需要假設(shè)總體分布計(jì)算量?。ǖ碗A模型場合）缺點(diǎn)信息浪費(fèi)嚴(yán)重只用到了p+q個(gè)樣本自相關(guān)系數(shù)信息，其他信息都被忽略估計(jì)精度差通常矩估計(jì)方法被用作極大似然估計(jì)和最小二乘估計(jì)迭代計(jì)算的初始值

二、最小二乘估計(jì)對于ARMA模型或MA模型參數(shù)的估計(jì)，一般采用非線性最小二乘法，或極大似然估計(jì)法。模型參數(shù)的極大似然估計(jì)四、模型參數(shù)的最小平方和估計(jì)第三節(jié)模型的適應(yīng)性檢驗(yàn)

一、模型的適應(yīng)性檢驗(yàn)二、模型的平穩(wěn)性和可逆性分析一、模型的適應(yīng)性檢驗(yàn)假設(shè)建立的模型恰當(dāng)?shù)拿枥L了已給數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)序列的ARMA模型，那么模型擬合的殘差應(yīng)是白噪聲序列，即均值為零、常數(shù)方差、彼此不相關(guān)。ARMA模型的適應(yīng)性檢驗(yàn)，主要就是檢驗(yàn)殘差是否為白噪聲序列。

散點(diǎn)圖法

估計(jì)相關(guān)系數(shù)法F檢驗(yàn)法卡方檢驗(yàn)法F檢驗(yàn)法如果,則拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為ARMA（p，q）與ARMA（p-1，q-1）模型的擬合精度有顯著性差異，降階是不恰當(dāng)?shù)?。反之，如果，則兩個(gè)模型的擬合精度沒有顯著性差異，降階是合理的?？ǚ綑z驗(yàn)法設(shè)為估計(jì)出的殘差序列，其樣本自相關(guān)函數(shù)為：通常用Q統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)原假設(shè)是否為白噪聲。例5對某商場100天的銷售金額取對數(shù)后進(jìn)行一階差分得到每日銷售額增長率序列

從信息準(zhǔn)則可見，AR（1）模型的信息準(zhǔn)則最小，因此初步認(rèn)定是AR（1）模型。接下來對模型的殘差是否存在相關(guān)性進(jìn)行檢驗(yàn)。本章小結(jié)

1．樣本自相關(guān)和偏自相關(guān)函數(shù)是識(shí)別平穩(wěn)時(shí)間序列模型的重要方法。由于樣本自相關(guān)和偏自相關(guān)函數(shù)是隨機(jī)變量，因此判斷其是否截尾的方法是通過構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。如果滯后假設(shè)干期的樣本自相關(guān)函數(shù)不顯著，而偏自相關(guān)函數(shù)是統(tǒng)計(jì)顯著異于零的，則可能是MA模型，反之則可能是AR模型，假設(shè)二者均統(tǒng)計(jì)顯著異于零，則可能是ARMA模型。2．模型階數(shù)越高，往往殘差方差越小，但待估參數(shù)增加，有效樣本量隨之也減小，因此在模型定階時(shí)需要遵循“約減”原則，即當(dāng)殘差方差變化不大時(shí)，盡量選擇階數(shù)低的模型。此外，AIC，BIC等信息準(zhǔn)則考慮了模型殘差與模型階數(shù)之間的權(quán)衡關(guān)系，是重要的模型定階準(zhǔn)則。3．對于AR模型，參數(shù)估計(jì)比較簡單，可以利用線性最小二乘方法。而MA和ARMA模型的參數(shù)估計(jì)相對困難，需要用到非線性最小二乘方法。對于ARMA模型，最小平方和估計(jì)和極大似然估計(jì)是兩種重要的估計(jì)方法，從極大似然估計(jì)出發(fā)可以得到最小平方和估計(jì)。4．模型檢驗(yàn)是建立時(shí)間序列模型的重要步驟。除了傳統(tǒng)的系數(shù)顯著性檢驗(yàn)之外，時(shí)間序列模型還需要對參數(shù)是否冗余、殘差是否還存在相關(guān)性進(jìn)行檢驗(yàn)。只有通過模型檢驗(yàn)之后，時(shí)間序列模型才能最后確定。常用的參數(shù)冗余檢驗(yàn)有F檢驗(yàn)，殘差相關(guān)性檢驗(yàn)有卡方檢驗(yàn)。5．Box-Jenkins方法是以序列的自相關(guān)函