名師課件：高中數(shù)學(xué)人教A版 必修 第二冊 余弦定理正弦定理

第1課時余弦定理必備知識·自主學(xué)習(xí)1.余弦定理(1)定理余弦定理公式表達(dá)a2=______________,b2=______________,c2=______________語言敘述三角形中任何一邊的平方,等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍推論

b2+c2-2bccosAa2+c2-2accosBa2+b2-2abcosC(2)本質(zhì):把用SAS、SSS判定三角形全等的方法從數(shù)量化的角度進(jìn)行了刻畫,即把幾何中關(guān)于三角形的定性結(jié)論變成了可定量計算的公式.(3)應(yīng)用:已知三角形的兩邊及一角求其他邊和角或已知三角形的三邊,求三角形的三角.【思考】已知三角形的兩邊及其一角,三角形的其他元素是否唯一確定?提示:(1)當(dāng)已知兩邊及其夾角時,由余弦定理可知,不妨設(shè)a,b邊和其夾角C已知,則c2=a2+b2-2abcosC,c唯一,cosB=,因為0<B<π,所以B唯一,從而A也唯一,所以三角形其他元素唯一確定.(2)當(dāng)已知兩邊和其中一邊的對角時,如已知a,b,A,可用a2=b2+c2-2bccosA求解c,可能有兩解.2.三角形的元素與解三角形(1)三角形的元素三角形的____________和它們的__________叫做三角形的元素.(2)解三角形已知三角形的_________求其他_____的過程叫做解三角形.三個角A,B,C對邊a,b,c幾個元素元素【思考】已知三角形的三個角能不能解三角形?提示:根據(jù)余弦定理知,已知三角形的兩邊及一角或已知三角形的三條邊,可以解三角形,根據(jù)三角形的三個角,無法解三角形.【基礎(chǔ)小測】1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”)(1)在三角形中,勾股定理是余弦定理的一個特例. (

)(2)余弦定理揭示了任意三角形邊角之間的關(guān)系,因此,它適應(yīng)于任何三角形. (

)(3)在△ABC中,已知兩邊和其夾角時,△ABC不唯一. (

)提示:(1)√.余弦定理可以看作勾股定理的推廣.(2)√.余弦定理反映了任意三角形的邊角關(guān)系,它適合于任何三角形.(3)×.由余弦定理可知,已知△ABC的兩邊和其夾角時,第三邊是唯一確定的,所以△ABC是唯一的.2.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若a=4,b=5,c=,則角C等于(

)

A.120° B.90° C.60° D.45°【解析】選A.由余弦定理的推論,得cosC==,所以C=120°.3.(教材二次開發(fā):例題改編)已知在△ABC中,a=1,b=2,C=60°,則c=

.

【解析】由余弦定理,得c2=12+22-2×1×2×cos60°=3,所以c=.答案:

關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一已知兩邊及一角解三角形(數(shù)學(xué)運算)【題組訓(xùn)練】1.(2018·全國卷Ⅱ)在△ABC中,cos,BC=1,AC=5,則AB= (

)

2.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a=,c=2,cosA=,則b= (

)A. B. C.2 D.33.在△ABC中,已知b=3,c=3,B=30°,則角C=

.

【解析】1.選A.cosC=2cos2-1=2×-1=-,在△ABC中,由余弦定理AB2=CA2+CB2-2CA·CB·cosC,得AB2=25+1-2×5×1×=32,所以AB=4.2.選D.由余弦定理得5=22+b2-2×2bcosA,因為cosA=,所以3b2-8b-3=0,所以b=3或b=-(舍去).3.由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得32=a2+(3)2-2a×3×cos30°,所以a2-9a+18=0,得a=3或6.當(dāng)a=3時,A=30°,所以C=120°.當(dāng)a=6時,因為32+=9+27=36=62.所以A=90°,所以C=60°.答案:60°或120°【解題策略】解決“已知兩邊及一角”解三角問題的步驟(1)用余弦定理列出關(guān)于第三邊的等量關(guān)系建立方程,運用解方程的方法求出此邊長.(2)再用余弦定理和三角形內(nèi)角和定理求出其他兩角.【補償訓(xùn)練】在△ABC中,邊a,b的長是方程x2-5x+2=0的兩個根,C=60°,則邊c=

.

【解析】由題意:a+b=5,ab=2.由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=52-3×2=19,所以c=.答案:

類型二已知三邊解三角形(數(shù)學(xué)運算)【典例】1.在△ABC中,若(a+c)(a-c)=b(b-c),則A等于 (

)

A.90° B.60° C.120° D.150°2.在△ABC中,已知a=2,b=6+2,c=4,求A,B,C.【思路導(dǎo)引】1.展開后利用余弦定理的推論求角.2.根據(jù)題目給出的三邊長,利用余弦定理的推論求角A、C,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和求角B.【解析】1.選B.因為(a+c)(a-c)=b(b-c),所以b2+c2-a2=bc,所以cosA=因為0°<A<180°,所以A=60°.2.根據(jù)余弦定理的推論得,cosA=因為A∈(0,π),所以A=,cosC=因為C∈(0,π),所以C=.所以B=π-A-C=π-所以A=

【解題策略】已知三角形的三邊解三角形的方法(1)利用余弦定理的推論求出兩個角,最后利用三角形的內(nèi)角和定理求出第三個角.(2)若已知三角形三邊的比例關(guān)系,常根據(jù)比例的性質(zhì)引入k,從而轉(zhuǎn)化為已知三邊求解.

【跟蹤訓(xùn)練】(2020·蘇州高一檢測)在△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,則AC邊上的高為 (

)

【解析】選B.由BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosA,可得13=9+16-2×3×4×cosA,得cosA=.因為A為△ABC的內(nèi)角,所以A=,所以AC邊上的高為AB·sinA=3×

類型三余弦定理的綜合應(yīng)用(數(shù)學(xué)運算,邏輯推理)角度1求值問題

【典例】1.在△ABC中,已知a=3,b=5,c=,則最大角與最小角的和為(

)

A.90° B.120° C.135° D.150°2.若△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊a,b,c滿足(a+b)2-c2=4,且C=60°,則ab=

.

【思路導(dǎo)引】1.根據(jù)題意,利用三角形“大邊對大角”“小邊對小角”判斷最大角和最小角,求出中間角后,根據(jù)三角形的內(nèi)角和求解.2.把已知關(guān)系式化簡,根據(jù)化簡結(jié)果和角C=60°求出ab即可.【解析】1.選B.在△ABC中,因為a=3,b=5,c=,所以最大角為B,最小角為A,所以cosC=,所以C=60°,所以A+B=120°,所以△ABC中的最大角與最小角的和為120°.2.因為C=60°,所以c2=a2+b2-2abcos60°,即c2=a2+b2-ab.①又因為(a+b)2-c2=4,所以c2=a2+b2+2ab-4.②由①②知-ab=2ab-4,所以ab=.答案:角度2判斷三角形的形狀

【典例】在△ABC中,若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC,試判斷△ABC的形狀.【思路導(dǎo)引】先將正弦轉(zhuǎn)化為余弦,化簡后利用余弦定理的推論判斷.【解析】將已知等式變形為b2(1-cos2C)+c2(1-cos2B)=2bccosBcosC.即b2+c2=b2cos2C+c2cos2B+2bccosBcosC=(bcosC+ccosB)2

所以A=90°.所以△ABC是直角三角形.【解題策略】利用余弦定理判斷三角形形狀的兩種途徑(1)化邊的關(guān)系:將條件中的角,利用余弦定理化為邊的關(guān)系,再變形條件判斷.(2)化角的關(guān)系:將條件轉(zhuǎn)化為角與角之間的關(guān)系,通過三角變換得出關(guān)系進(jìn)行判斷.【題組訓(xùn)練】1.在△ABC中,A=60°,a2=bc,則△ABC一定是 (

)A.銳角三角形 B.鈍角三角形C.直角三角形 D.等邊三角形【解析】選D.在△ABC中,因為A=60°,a2=bc,所以由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc,所以bc=b2+c2-bc,即(b-c)2=0,所以b=c,結(jié)合A=60°可得△ABC一定是等邊三角形.2.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,則△ABC的形狀是 (

)A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.不確定【解析】選B.因為bcosC+ccosB=asinA,所以由余弦定理得b·

=asinA,整理,得a=asinA,所以sinA=1.又A∈(0,π),所以A=.故△ABC為直角三角形.3.如果等腰三角形的周長是底邊長的5倍,那么它的頂角的余弦值為 (

)

【解析】選D.設(shè)頂角為C,周長為l,因為l=5c,所以a=b=2c,由余弦定理的推論,得cosC=余弦定理方法總結(jié)核心知識易錯提醒核心素養(yǎng)1.余弦定理2.推論：3.利用余弦定理解三角形(1)已知三角形三邊求角，直接利用余弦定理.(2)若已知三邊的比例關(guān)系，常根據(jù)比例的性質(zhì)引入k，從而轉(zhuǎn)化為已知三邊求角．(3)已知三角形的任意兩邊及它們的夾角可以先求出第三邊，然后再求解其他量.注意“大邊對大角、大角對大邊”．?dāng)?shù)學(xué)抽象：余弦定理及其推論.邏輯推理：余弦定理在邊角互化中的應(yīng)用.數(shù)學(xué)運算：解三角形.課堂檢測·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.在△ABC中,已知B=120°,a=3,c=5,則b等于 (

)

A.4 B. C.7 D.5【解析】選C.b2=a2+c2-2accosB=32+52-2×3×5×cos120°=49,所以b=7.2.在△ABC中,角A,B,C對應(yīng)的邊分別為a,b,c,C=60°,a=4b,c=,則b= (

)A.1 B.2 C.3 D.【解析】選A.由余弦定理知()2=a2+b2-2abcos60°,因為a=4b,所以13=16b2+b2-2×4b×b×,解得b=1.3.(教材二次開發(fā):練習(xí)改編)已知a,b,c是△ABC的三邊長