復(fù)件d7-1,23基本概念可分離

1微分方程—積分問(wèn)題—微分方程問(wèn)題推廣

第七章2引例1.

一曲線通過(guò)點(diǎn)(1,2),在該曲線上任意點(diǎn)處的解:

設(shè)所求曲線方程為y=y(x),則有如下關(guān)系式:①(C為任意常數(shù))由②得C=1,因此所求曲線方程為②由①得切線斜率為2x,求該曲線的方程.一、引例P294例13的速度行駛,制動(dòng)時(shí)獲得加速度求制動(dòng)后列車的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.解:

設(shè)列車在制動(dòng)后

t

秒行駛了s

米,由已知得由前一式兩次積分,可得利用后兩式可得因此所求運(yùn)動(dòng)規(guī)律為說(shuō)明:

利用這一規(guī)律可求出制動(dòng)后多少時(shí)間列車才能停住,以及制動(dòng)后行駛了多少路程.即求

s

=s(t).引例2.

列車在平直路上以P294例241.微分方程：含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的方程叫做微分方程

.實(shí)質(zhì)：聯(lián)系自變量，未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的式子.區(qū)別:與以往學(xué)習(xí)的代數(shù)方程的區(qū)別是:代數(shù)方程是含未知數(shù)的等式,微分方程是含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的等式.常微分方程：所含未知函數(shù)是一元函數(shù).偏微分方程注：本章只討論常微分方程分類12.微分方程的階：方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)叫做微分方程的階.二、微分方程的基本概念5(n

階顯式微分方程)分類2或一階方程：二階方程：n階方程：分類3線性方程：非線性方程：分類4單個(gè)微分方程：微分方程組：(本章內(nèi)容)6三、微分方程的主要問(wèn)題-----求方程的解—使方程成為恒等式的函數(shù).通解—解中所含獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程的階數(shù)相同.特解1.微分方程的解

—通解中的任意常數(shù)被確定后的解.通解:特解:引例1

引例27—確定通解中任意常數(shù)的條件.n階方程的初始條件(或初值條件):2.定解條件

過(guò)定點(diǎn)的積分曲線;一階:二階:過(guò)定點(diǎn)且在定點(diǎn)的切線的斜率為定值的積分曲線.初值問(wèn)題:

求微分方程滿足初始條件的解的問(wèn)題.83.解的幾何意義解:

積分曲線.特解:

微分方程的一條積分曲線.通解:

積分曲線族.通解:特解:引例1

引例29是微分方程解:

這說(shuō)明

是兩個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù),利用初始條件易得:故所求特解為故它是方程的通解.并求滿足初始條件例1.

驗(yàn)證函數(shù)P297例3,410求所滿足的微分方程.例2.

已知曲線上點(diǎn)

P(x,y)處的法線與x

軸交點(diǎn)為Q解:

如圖所示,設(shè)所求曲線的方程為y=f(x).令Y=0,得

Q

點(diǎn)的橫坐標(biāo)即則點(diǎn)P(x,y)處的法線方程為且線段PQ被y軸平分,P298T5(2)11四、一階微分方程的求解1.一階微分方程的一般形式：12說(shuō)明：(1)目前可求解的一階微分方程有四個(gè)：關(guān)鍵:辨別方程類型,掌握求解步驟(2)一個(gè)小技巧：應(yīng)知道x,y的地位相當(dāng),在某些時(shí)候,若把x當(dāng)函數(shù),把y當(dāng)自變量,可能會(huì)“柳暗花明又一村”132.可分離變量的微分方程兩邊積分,得14(2)解法：為微分方程的(隱式)解.1)分離變量:2)兩邊積分分離變量法步驟:1.分離變量;2.兩端積分-------隱式通解.這種解法叫分離變量法15例3.

求微分方程解:

分離變量得兩邊積分得即(C

為任意常數(shù))或說(shuō)明:

在求解過(guò)程中每一步不一定是同解變形,因此可能增、減解.(此式含分離變量時(shí)丟失的解y=0)P300例116注意:例4.

解初值問(wèn)題解:

分離變量得兩邊積分得即由初始條件得C=1,(C

為任意常數(shù))故所求特解為173.齊次型方程-----可化為可分離變量的微分方程(1)定義：形如的方程叫做齊次方程

.(2)解法:-----變量代換法令代入原方程得：即則即求此可分離變量方程的解，并回代18例5.

求解微分方程故微分方程的解為解:原方程可變?yōu)椋杭磩t即P306例119例5.

求解微分方程微分方程的解為另解：原方程可變?yōu)椋杭醇磩t即P306例120例6.求解微分方程解：則于是即分離變量得積分得將代入上面式子得：注意：的方程可用將其化為可分離變量的方程.代換，形如21（1）一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:定義：或特點(diǎn)：自由項(xiàng).例如一階線性方程;非線性的.稱為一階線性齊次方程.稱為一階線性非齊次方程.4.一階線性微分方程的概念及其求法22齊次方程的通解為一階線性齊次方程（2）一階線性微分方程的解法(使用分離變量法)23一階線性非齊次方程的解法：討論：兩邊積分非齊次方程通解形式設(shè)為則是的解.與相應(yīng)的齊次方程通解相比:24的解.設(shè)是積分得化簡(jiǎn)得所以一階線性非齊次微分方程25一階線性非齊次微分方程齊次通解非齊次特解即非齊次通解=齊次通解+非齊次特解——線性微分方程解的結(jié)構(gòu),是很優(yōu)良的性質(zhì).常數(shù)變易法：把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)實(shí)質(zhì):未知函數(shù)的變量代換.的方法,叫常數(shù)變易法.26常數(shù)變易法的求解步驟：1)求出相應(yīng)的齊次方程的通解2)將上式中的常數(shù)C

變?yōu)楹瘮?shù)u(x)3)代入原方程(非齊次方程)求出要求大家熟練掌握則一階線性微分方程的解法有：公式法常數(shù)變易法4)得非齊次方程的通解：即注意：常數(shù)變易法是解非齊次線性方程的基本方法，要熟悉它的求解思想.對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)形式直接用公式,可使運(yùn)算簡(jiǎn)便.27解：分離變量：兩邊積分得通解：再用常數(shù)變易法求的解，設(shè)是原方程的解,則例1.求方程的通解.先求的解，(用常數(shù)變易法)28另解:用公式一階線性方程的解法:1.常數(shù)變易法2.公式法所以原方程的解為：29解:原方程可化為:這是一階線性非齊次微分方程，其解為:30解:它不是可分離變量；不是齊次型，不是線性方程.原方程可化為:這是關(guān)于x的一階線性非齊次方程，且例3.分析：原方程可化為:31一階線性方程標(biāo)準(zhǔn)形式：解法：1)先解齊次方程,再用常數(shù)變易法.2)通解公式法:32(雅各布第一·伯努利)

書(shū)中給出的伯努利數(shù)在很多地方有用,伯努利(1654–1705)瑞士數(shù)學(xué)家,位數(shù)學(xué)家.標(biāo)和極坐標(biāo)下的曲率半徑公式,1695年版了他的巨著《猜度術(shù)》,上的一件大事,而伯努利定理則是大數(shù)定律的最早形式.年提出了著名的伯努利方程,他家祖孫三代出過(guò)十多1694年他首次給出了直角坐1713年出這是組合數(shù)學(xué)與概率論史此外,他對(duì)雙紐線,懸鏈線和對(duì)數(shù)螺線都有深入的研究.5.伯努利(Bernoulli)方程33（1）伯努利方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:令求出此方程通解后,除方程兩邊,得換回原變量即得伯努利方程的通解.（2）解法:(一階線性方程)伯努利(Bernoulli)方程34例4.解微分方程:解:則故所求通解為:注意:微分方程的初等解法:求解微分方程求積分初等積分法.35伯努利方程解法：變形為令原方程變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)形式：這是關(guān)于的一階線性微分方程.求出通解后換回原變量.36內(nèi)容小結(jié)1.微分方程的概念微分方程;定解條件.說(shuō)明:

通解不一定是方程的全部解.有解后者是通解,但不包含前一個(gè)解.例如,方程解;階;通解;特解；y=–x

及

y=C

372.可求解的四個(gè)一階微分方程：關(guān)鍵:辨別方程類型,掌握求解步驟38作業(yè)P304:T1單號(hào);6.P309:2;3.思考題.作業(yè)P315

：

1(3),(6),(9);2

(2),(4);3;7(2).39思考題.思考題解答：如圖xyo兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)積分得:所以所求曲線為:40補(bǔ)充作業(yè):過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線軸圍成平面圖形D.求(1)D的面積.