初三數(shù)學(xué)圓的例題

初三數(shù)學(xué)有關(guān)圓的經(jīng)典例題1.在半徑為

1的⊙O中，弦

AB、AC的長(zhǎng)分別為

3和

2，求∠

BAC的度數(shù)。與

分析：依據(jù)題意，需要自己畫(huà)出圖形進(jìn)行解答，在繪圖時(shí)AC有不同樣的地點(diǎn)關(guān)系。解：由題意繪圖，分AB、AC在圓心O的同側(cè)、異側(cè)兩種

要注意狀況討

AB論，AB、AC在圓心O的異側(cè)時(shí)，以以下列圖所示，過(guò)O作OD⊥AB于D，過(guò)O作OE⊥AC于E，∴∠OAD=30°，∠OAE=45°，故∠BAC=75°，AB、AC在圓心O同側(cè)時(shí)，以以下列圖所示，同理可知∠OAD=30°，∠OAE=45°，∴∠BAC=15°點(diǎn)撥：此題易出現(xiàn)只畫(huà)出一種狀況，而出現(xiàn)漏解的錯(cuò)誤。2.如圖：△ABC的極點(diǎn)A、B在⊙O上，⊙O的半徑為R，⊙O與AC交于D，（1）求證：△ABC是直角三角形；分析：(1)由D為AB的中點(diǎn)，聯(lián)想到垂徑定理的推論，連結(jié)OD交AB于F，AF=FB，OD⊥AB，可證DF是△ABC的中位線；2）延伸DO交⊙O于E，連結(jié)AE，因?yàn)椤螪AE=90°，DE⊥AB，∴△ADF解：（1）證明，作直徑DE交AB于F，交圓于E又∵AD=DC∴AB⊥BC，∴△ABC是直角三角形。（2）解：連結(jié)AE∵DE是⊙O的直徑∴∠DAE=90°AB⊥DE，∴△ADF∽△EDA例3.如圖，在⊙O中，AB=2CD，那么（）分析：要比較AB與2CD的大小，能夠用下邊兩種思路進(jìn)行：解：解法（一），如圖，過(guò)圓心

O作半徑

OF⊥AB，垂足為

E，∵AF

FB

，∴AF

FB在△AFB中，有AF+FB>AB∴選A。解法（二），如圖，作弦DE=CD，連結(jié)CE在△CDE中，有CD+DE>CE2CD>CEAB=2CD，∴AB>CE∴選A。例4.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于半徑為2的⊙O，已知ABBC1AD1，求CD的4長(zhǎng)。分析：連結(jié)BD，由AB=BC，可得DB均分∠ADC，延伸EDA，又可判斷AD是⊙O的直徑，得∠ABD=90°，可證得△EBC∽△EDA，可先求出CE的長(zhǎng)。解：延伸AB、DC交于E點(diǎn)，連結(jié)BD∵⊙O的半徑為2，∴AD是⊙O的直徑∴∠ABD=∠EBD=90°，又∵BD=BD∴△ABD≌△EBD，∴AB=BE=1，AD=DE=4∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠EBC=∠EDA，∠ECB=∠EAD

AB、DC交于E，易得△EBC∽△ABD≌△EBD，得DE=AD，利用△5.如圖，AB、AC分別是⊙O的直徑和弦，D為劣弧AC上一點(diǎn)，DE⊥ABH，交⊙O于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，P為ED的延伸線上一點(diǎn)。1）當(dāng)△PCF知足什么條件時(shí)，PC與⊙O相切，為何？分析：由題意簡(jiǎn)單想到作協(xié)助線OC，（1）要使PC與⊙O相切，只需使∠PCO=90°，問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)槭埂螼CA+∠PCF=∠FAH+∠AFH就能夠了。解：（1）當(dāng)PC=PF，（或∠PCF=∠PFC）時(shí)，PC與⊙O相切，下邊對(duì)知足條件PC=PF進(jìn)行證明，連結(jié)OC，則∠OCA=∠FAH，PC=PF，∴∠PCF=∠PFC=∠AFH，∵DE⊥AB于H，∴∠OCA+∠PCF=∠FAH+∠AFH=90°即OC⊥PC，∴PC與⊙O相切。即AD2=DE·DF點(diǎn)撥：此題是一道條件研究問(wèn)題，第（1）問(wèn)是要研究△PCF知足什么條件時(shí)，PC與⊙O相切，能夠反過(guò)來(lái)，把PC與⊙O相切作為條件，研究△PCF的形狀，明顯有多個(gè)答案；第（2）問(wèn)也可將AD2=DE·DF作為條件，找尋兩個(gè)三角形相像，研究出點(diǎn)D的地點(diǎn)。例6.如圖，四邊形ABCD是矩形(AB1BC)，以BC為直徑作半圓O，過(guò)點(diǎn)2D作半圓的切線交AB于E，切點(diǎn)為F，若AE：BE=2：1，求tan∠ADE的值。分析：要求tan∠ADE，在Rt△AED中，若能求出AE、AD，依據(jù)正切的定義就能夠獲得。ED=EF+FD，而EF=EB，F(xiàn)D=CD，聯(lián)合矩形的性質(zhì)，能夠獲得ED和AE的關(guān)系，進(jìn)一步可求出AE：AD。解：∵四邊形ABCD為矩形，∴BC⊥AB，BC⊥DC∴AB、DC切⊙O于點(diǎn)B和點(diǎn)C，∵DE切⊙O于F，∴DF=DC，EF=EB，即DE=DC+EB，又∵AE：EB=2：1，設(shè)BE=x，則AE=2x，DC=AB=3x，DE=DC+EB=4x，在Rt△AED中，AE=2x，DE=4x，點(diǎn)撥：此題中，經(jīng)過(guò)察看圖形，兩條切線有公共點(diǎn)，依據(jù)切線長(zhǎng)定理，獲得相等線段。7.已知⊙O1與⊙O2訂交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)O2在⊙O1上，1）以以下列圖，AD是⊙O2的直徑，連結(jié)DB并延伸交⊙O1于C，求證CO2⊥AD；（2）以以下列圖，假如AD是⊙O2的一條弦，連結(jié)DB并延伸交⊙O1于C，那么CO2所在直線是否與AD垂直？證明你的結(jié)論。分析：（1）要證CO2⊥AD，只需證∠CO2D=90°，即需證∠D+∠C=90°，考慮到AD是⊙O2的直徑，連結(jié)公共弦AB，則∠A=∠C，∠DBA=90°，問(wèn)題就能夠得證。（2）問(wèn)題②是一道研究性的問(wèn)題，憂如難以下手，不如連結(jié)AC，直觀上看，AC等于CD，到底AC與CD能否相等呢？考慮到O2在⊙O1上，連結(jié)AO2、DO2、BO2，可得∠1=∠2，且有△AO2C≌△DO2C，故CA=CD，可得結(jié)論CO2⊥AD。解：（1）證明，連結(jié)AB，AD為直徑，則∠ABD=90°∴∠D+∠BAD=90°又∵∠BAD=∠C，∴∠D+∠C=90°∴∠COD=90°，∴CO⊥AD222）CO2所在直線與AD垂直，證明：連結(jié)O2A、O2B、O2D、AC在△AO2C與△DO2C中∵∠O2BD=∠O2AC，又∠O2BD=∠O2DB，∴∠O2AC=∠O2DB∵O2C=O2C，∴△AO2C≌△DO2C，∴CA=CD，∴△CAD為等腰三角形，∵CO2為頂角均分線，∴CO2⊥AD。8.以以下列圖，已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，分別為A、B、C為圓心，S。（圖中暗影部分）分析：暗影部分面積等于三角形面積減去3個(gè)扇形面積。解：S△ABC3a2，3S扇3×·(a)2a24628分析：因三個(gè)扇形的半徑相等，把三個(gè)扇形拼成一個(gè)扇形來(lái)求，因?yàn)椤螦+∠B+∠C=180°，原題可在上一題基礎(chǔ)進(jìn)步一步變形：⊙A1、⊙A2、⊙A3?⊙An相外離，它們的半徑都是1，挨次連結(jié)n個(gè)圓心獲得的n邊形A1A2A3?An，求n個(gè)扇形的面積之和。解題思路同上。(n2)解：2一、填空題（10×4=40分）已知：一個(gè)圓的弦切角是50°，那么這個(gè)弦切角所夾的弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)為_(kāi)__________。2.圓內(nèi)接四邊形ABCD中，假如∠A：∠B：∠C=2：3：4，那么∠D=___________度。3.若⊙O的半徑為3，圓外一點(diǎn)P到圓心O的距離為6，則點(diǎn)P到⊙O的切線長(zhǎng)為_(kāi)__________。4.以以下列圖CD是⊙O的直徑，AB是弦，CD⊥AB于M，則可得出AM=MB，ACBC等多個(gè)結(jié)論，請(qǐng)你按現(xiàn)有的圖形再寫(xiě)出其他兩個(gè)結(jié)論：___________?！袿1與⊙O2的半徑分別是3和4，圓心距為43，那么這兩圓的公切線的條數(shù)是___________。6.圓柱的高是13cm，底面圓的直徑是6cm，則它的側(cè)面張開(kāi)圖的面積是___________。7.已知：以以下列圖，有一圓弧形橋拱，拱的跨度AB=16cm，拱高CD=4cm，那么拱形的半徑是___________。8.若PA是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，割線PBC交⊙O于B，若BC=20，PA=103，則PC的長(zhǎng)為_(kāi)__________。9．如圖5，△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)P是AC上隨意一點(diǎn)（不與A、C重合），ABC55,則POC的取值范圍是．10．如圖，量角器外沿上有A、B兩點(diǎn)，它們的讀數(shù)分別是70°、40°，則∠1的度數(shù)為.（第9題圖）11．已知eO的半徑是3，圓心°到直線l的距離是3，則直線l與eO的地點(diǎn)關(guān)系是．OAD°E是圓O上的點(diǎn)，B、C分別是劣弧的三均分點(diǎn)，12．如圖，已知點(diǎn)BOC46o，則AED的度數(shù)為．O13．如圖，Rt△ABC中ACB90o，AC4，BC3．將△ABC繞AC所在的直線f旋轉(zhuǎn)一周獲得一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，該旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積．（取，結(jié)果保存兩個(gè)有效數(shù)字）14．如圖8，兩個(gè)齊心圓的半徑分別為2和1，AOB120o，則暗影部f分的面積為AAB120o15．如圖，AB是eO的直徑，AM為弦，MAB30o，過(guò)M點(diǎn)OMBCNBA的eO的切線交AB延伸線于點(diǎn)N．若ON12cm，則eO的半徑O為cm．第14題圖圖816．如圖，Rt△ABC是由Rt△ABC繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)而得，且點(diǎn)A，B，C在同一條直線上，在Rt△ABC中，若∠C90o，BC2，AB4，則斜邊AB旋轉(zhuǎn)到AB所掃過(guò)的扇形面積為．17．如圖，從圓O外一點(diǎn)P引圓O的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別是APA8cm，C是A，B，若CD?OAB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)C與A，B兩點(diǎn)不重合），過(guò)點(diǎn)PA，PB于點(diǎn)C作圓O的切線，分別交AB．PCD，E，則△PED的周長(zhǎng)是題圖）（15E18、在平面內(nèi)，⊙O的半徑為5cm，點(diǎn)P到圓心O的距離為3cm，則點(diǎn)B的地點(diǎn)關(guān)系P與⊙O是.（第17題圖）19．如圖8，在Rt△ABC中，C90o，AC3．將其繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，則分別以BA，BC為半徑的圓形成一圓環(huán)．則該圓環(huán)的面積為．20．如圖9，點(diǎn)A，B是eO上兩點(diǎn)，AB10，點(diǎn)P是eO上的動(dòng)點(diǎn)（P與A，B不重合）連結(jié)AP，PB，過(guò)點(diǎn)O分別作OEAP于點(diǎn)E，OFPB于點(diǎn)F，則EF．AAOBCEBFP三、解答題：1.已知：以以下列圖，⊙O1和⊙O2訂交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)B點(diǎn)作⊙O1的切線交⊙O2于D，連結(jié)DA并延伸與⊙O1訂交于C點(diǎn)，連結(jié)BC。過(guò)A點(diǎn)作AE∥BC與⊙O2訂交于E點(diǎn)，與BD訂交于F點(diǎn)。1）求證：EF·BC=DE·AC；（2）若AD=3，AC=1，AF3，求EF的長(zhǎng)。某單位搞綠化，要在一塊圖形的空地上種四種顏色的花，為了便于管理和雅觀，同樣顏色的花集中栽種，且每種顏色的花所占的面積同樣，現(xiàn)采集設(shè)計(jì)方案，要求設(shè)計(jì)的圖案成軸對(duì)稱圖形或中心對(duì)稱圖形。請(qǐng)?jiān)谝砸韵铝袌D的圓中畫(huà)出三種設(shè)計(jì)方案。（只畫(huà)表示圖，不寫(xiě)作法）。已知：△ABC是⊙OP作BC的平行線交直線

的內(nèi)接三角形，BT為⊙O的切線，B為切點(diǎn)，P為直線AB上一點(diǎn)，過(guò)BT于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)F。1）以以下列圖，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，求證：PA·PB=PE·PF；2）當(dāng)點(diǎn)P為線段BA延伸線上一點(diǎn)時(shí)，第（1）題的結(jié)論還建立嗎？假如建立，請(qǐng)證明；假如不建立，請(qǐng)說(shuō)明原因；（3）若AB42，cos∠EBA1，求⊙O的半徑。34．如圖，△ABC是eO的內(nèi)接三角形，點(diǎn)C是優(yōu)弧AB上一點(diǎn)（點(diǎn)C不與AB重合），設(shè)，OAB，C．（1）當(dāng)35o時(shí)，求的度數(shù)；（2）猜想與之間的關(guān)系，并賞賜證明．5、（８分）已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，以BC為直徑的半圓OA與邊AB訂交于點(diǎn)D，切線DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E．求證：（1）△ABC是等邊三角形；（2）AE1CE．D36、已知：如圖，在Rt△ABC中，C90o，點(diǎn)O在AB上，以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的圓與AC，AB分別交于點(diǎn)D，E，且BCOCBDA．D1）判斷直線BD與eO的地點(diǎn)關(guān)系，并證明你的結(jié)論；2）若AD:AO8:5，BC2，求BD的長(zhǎng)．7、如圖，在梯形OEAOE中，∥，⊙為內(nèi)切圓，為切點(diǎn)，ABCDABCD（Ⅰ）求AOD的度數(shù)；（Ⅱ）若AO8cm，DO6cm，求OE的長(zhǎng)．8、已知Rt△ABC中，ACB90，CACB，有一個(gè)圓心角為45，半徑的長(zhǎng)等于

ECBCA的扇形CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，且直線CE，CF分別與直線AB交于點(diǎn)M，N．（Ⅰ）當(dāng)扇形CEF繞點(diǎn)C在ACB的內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時(shí)，如圖①，求證：MN2AM2BN2；（Ⅱ）當(dāng)扇形CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至圖②的地點(diǎn)時(shí)，關(guān)系式MN2AM2BN2能否仍舊建立？若成立，請(qǐng)證明；若不建立，請(qǐng)說(shuō)明C原因．C9．如圖，△ABC內(nèi)接于eO，過(guò)點(diǎn)A的直線交eO于點(diǎn)P，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，EAMNBMANBEFF圖①圖②2APgAD．（1）求證：ABAC；（2）假如ABC60o，eO的半徑為?AB1，且P為AC的中點(diǎn)，求AD的長(zhǎng)．10．(此題滿分10分)已知：如圖，在半徑為4的⊙O中，AB，CD是兩條直徑，M為OB的中點(diǎn)，CM的延伸線交⊙O于點(diǎn)E，且EM＞MC．連結(jié)DE，DE=15.(1)求證：AMMBEMMC；(2)求EM的長(zhǎng)；3）求sin∠EOB的值.11．（此題滿分10分，第（1）小題滿分3分，第（2）小題滿分7分）“創(chuàng)意設(shè)計(jì)”企業(yè)職工小王不慎將墨水潑在一張?jiān)O(shè)計(jì)圖紙上，致使