4向量組的線性相關(guān)性

會(huì)計(jì)學(xué)14向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性n維向量的概念向量組的線性相關(guān)性線性相關(guān)性的判別定理向量組的秩向量空間第1頁/共77頁§1

n維向量的概念第2頁/共77頁1、定義ｎ個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)組稱為一個(gè)ｎ維向量，其中稱為第個(gè)分量（坐標(biāo)）.ｎ維向量寫成一行，稱為行矩陣，也就是行向量，如：記作α,β,γ.ｎ維向量寫成一列，稱為列矩陣，也就是列向量，一、ｎ維向量（Vector）第3頁/共77頁2、元素全為零的向量稱為零向量（NullVector）.3、維數(shù)相同的列（行）向量同型.元素是復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量（ComplexVector）.2、幾種特殊向量1、元素是實(shí)數(shù)的向量稱為實(shí)向量（RealVector）.4、對(duì)應(yīng)分量相等的向量相等.第4頁/共77頁二、向量的運(yùn)算1、加法2、數(shù)乘向量的加法與數(shù)乘合稱為向量的線性運(yùn)算.第5頁/共77頁3、運(yùn)算律（1）

（交換律）（2）

（結(jié)合律）（3）（4）(設(shè)α,β,γ均是ｎ維向量,λ，μ為實(shí)數(shù))（5）（6）（7）（8）第6頁/共77頁.},,,),,,({21T21維向量空間叫做集合維向量的全體所組成的nRxxxxxxXRnnnn?==LL.},,),,({3叫做三維向量空間的集合三維向量的全體所組成RzyxzyxrRT?==第7頁/共77頁三、應(yīng)用舉例第8頁/共77頁例1設(shè)求解第9頁/共77頁線性方程組的向量表示方程組與增廣矩陣的列向量組之間一一對(duì)應(yīng)．即或第10頁/共77頁向量組與矩陣的關(guān)系其第ｊ個(gè)列向量記作ｍ個(gè)ｎ維行向量.按行分塊按列分塊ｎ個(gè)ｍ維列向量.其第ｉ個(gè)行向量記作矩陣與向量的關(guān)系中注意什么是向量的個(gè)數(shù)、什么是向量的維數(shù)，二者必須分清.第11頁/共77頁§2向量組的線性相關(guān)性

第12頁/共77頁一、向量組的線性相關(guān)性定義線性相關(guān)線性無關(guān)第13頁/共77頁的一個(gè)線性組合則稱為向量

定義2使得一組實(shí)數(shù)若存在設(shè)n維向量,,,,,,,,2121mmkkkaaaLL,,,,maLa12a線性表示或稱能由向量,,,maLa12a)(組成的集合叫做向量組.所或同維數(shù)的行向量若干個(gè)同維數(shù)的列向量第14頁/共77頁16定義3★如果向量組中有零向量,則向量組一定線性相關(guān).★一個(gè)向量a=0線性相關(guān),而時(shí)線性無關(guān)★兩個(gè)向量線性相關(guān)它們對(duì)應(yīng)分量成比例第15頁/共77頁17i.e.二、判別方法1.向量個(gè)數(shù)未知數(shù)的個(gè)數(shù)向量維數(shù)方程的個(gè)數(shù)(無)(沒)(沒)第16頁/共77頁18第17頁/共77頁19第18頁/共77頁2.第19頁/共77頁21第i個(gè)分量3.第20頁/共77頁22從向量組中找盡量多的線性無關(guān)向量第21頁/共77頁例2解第22頁/共77頁第23頁/共77頁例3證一第24頁/共77頁第25頁/共77頁三、性質(zhì)第26頁/共77頁28整體無關(guān)部分無關(guān)部分相關(guān)整體相關(guān)第27頁/共77頁第28頁/共77頁30定義

第29頁/共77頁練習(xí)設(shè)向量組線性相關(guān)，則ｋ

.第30頁/共77頁§4向量組的秩第31頁/共77頁§4向量組的秩向量組等價(jià)極大線性無關(guān)組與向量組的秩向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系矩陣的秩與矩陣的運(yùn)算第32頁/共77頁1.定義4一、向量組等價(jià)第33頁/共77頁第34頁/共77頁第35頁/共77頁第36頁/共77頁2.性質(zhì)

1）自反性

2）對(duì)稱性3）傳遞性具有以上性質(zhì)的關(guān)系稱為等價(jià)關(guān)系第37頁/共77頁1定義7二、極大線性無關(guān)組與向量組的秩第38頁/共77頁＊＊＊第39頁/共77頁第40頁/共77頁第41頁/共77頁第42頁/共77頁第43頁/共77頁三、向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系第44頁/共77頁向量組與矩陣的關(guān)系其第ｊ個(gè)列向量記作ｍ個(gè)ｎ維行向量.按行分塊按列分塊ｎ個(gè)ｍ維列向量.其第ｉ個(gè)行向量記作矩陣與向量的關(guān)系中注意什么是向量的個(gè)數(shù)、什么是向量的維數(shù)，二者必須分清.第45頁/共77頁第46頁/共77頁證第47頁/共77頁第48頁/共77頁第49頁/共77頁證明設(shè)Ａ的某些列有關(guān)系則相應(yīng)的具有相同的線性關(guān)系.即Ｂ中列向量組與Ａ中列向量組第50頁/共77頁第51頁/共77頁解：第52頁/共77頁第53頁/共77頁第54頁/共77頁總結(jié)：求極大線性無關(guān)組及向量的線性表示的方法方法1：矩陣的初等行變換法（1）以向量組中的向量為列向量作矩陣（2）對(duì)矩陣作初等行變換，化為行階梯形（行最簡(jiǎn)形）（3）取每行第一個(gè)非零元所在的列，即為所求方法2：錄選法（1）在向量組中選一個(gè)非零向量（2）再選一個(gè)與的對(duì)應(yīng)分量不成比例的向量（3）再選一個(gè)不能由線性表出的向量線性表出的向量……第55頁/共77頁四、矩陣的秩與矩陣的運(yùn)算第56頁/共77頁例14.第57頁/共77頁第58頁/共77頁練習(xí).第59頁/共77頁證明:第60頁/共77頁第61頁/共77頁§5向量空間第62頁/共77頁向量空間概念基與維數(shù)向量的坐標(biāo)第63頁/共77頁說明一、向量空間的概念定義1

設(shè)V為n

維向量的集合，如果集合V非空，且集合V對(duì)于加法及數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉，那么就稱集合V為向量空間．第64頁/共77頁例2例1

第65頁/共77頁例3例4練習(xí)1練習(xí)2第66頁/共77頁例5第67頁/共77頁那么，向量組就稱為向量

的一個(gè)基，稱為向量空間的維數(shù)，并稱為

維向量空間．二、向量空間的基與維數(shù)定義2

設(shè)是向量空間，如果個(gè)向量，且滿足若V的維數(shù)為r，記做