蒙特卡洛模擬及衍生品定價

第一講

蒙特卡洛模擬及衍生品定價潘慧峰金融學(xué)院金融工程系辦公室：博學(xué)樓919房間電話：644925332

引子：從中信泰富談起中信泰富揭開了中資企業(yè)衍生品投資虧損的“冰山一角”，越來越多的中資企業(yè)成為復(fù)雜衍生品的犧牲品。產(chǎn)品陷阱：國際投行將包裝成“套保產(chǎn)品”賣給中資企業(yè)。定價欺詐：定價不公平，投行占了很大的便宜問題：如何對結(jié)構(gòu)性衍生產(chǎn)品定價？合約類型：每月交易量：1000萬澳元結(jié)算方式：每月結(jié)算合約期限：24個月敲出條件：累計盈利350萬美元協(xié)議匯率：0.7815-0.9600美元/澳元加權(quán)協(xié)議匯率：0.8971美元/澳元杠桿比率：2.5合約簽訂日：2008年7月16日匯率現(xiàn)價：0.9749美元/澳元合約開始時間：2008年10月15日金融資產(chǎn)定價的分析框架相對定價，價格依賴于標的資產(chǎn)現(xiàn)金流折算法定價取決于預(yù)期現(xiàn)金流的估計、貼現(xiàn)率的估計

基于蒙特卡洛模擬的衍生品定價所用到的基本原理統(tǒng)計學(xué)原理-大數(shù)定律保證了樣本均值會趨于數(shù)學(xué)期望-中心極限定理保證均值的分布為正態(tài)分布金融學(xué)原理-任何資產(chǎn)的價格均等于預(yù)期現(xiàn)金流的貼現(xiàn)值之和-貼現(xiàn)率要經(jīng)過風(fēng)險調(diào)整-風(fēng)險中性測度下貼現(xiàn)率為無風(fēng)險利率基于蒙特卡洛模擬的衍生品定價流程隨機過程選擇構(gòu)造最大似然函數(shù)，估計隨機過程參數(shù)蒙特卡洛模擬給出現(xiàn)金流各種情景給出正確的貼現(xiàn)率數(shù)值定價蒙特卡洛方法基本原理估計歐式期權(quán)的定價區(qū)間估計亞式期權(quán)的定價區(qū)間蒙特卡洛方法的優(yōu)缺點提高模擬效率的方法什么是蒙特卡羅模擬?根據(jù)韋氏詞典的解釋：“aa”——,.,1994754-755基本思想：抽樣試驗來計算參數(shù)的統(tǒng)計特征，最后給出求解問題的近似值。理論依據(jù)：中心極限定理及大數(shù)定律為其主要理論基礎(chǔ)主要手段：隨機抽樣使用前提：已知隨機變量服從的分布或可以化為已知分布的變量的函數(shù)。蒙特卡洛方法的基本原理抽樣分布的基礎(chǔ)—辛欽大數(shù)定律定理：設(shè)是獨立同分布的隨機變量序列，有有限的數(shù)學(xué)期望E(X)，則有辛欽欽大大數(shù)數(shù)定定律律的的實實現(xiàn)現(xiàn)中心心極極限限定定理理()定理理：：設(shè)設(shè)是是獨獨立立同同分分布布的的隨隨機機變變量量序序列列，，有有有有限限的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望和和方方差差,則有有中心極限限定理的的實現(xiàn)估計歐式式期權(quán)的的定價區(qū)區(qū)間基于蒙特特卡洛方方法的定定價區(qū)間間估計找到刻畫畫標的資資產(chǎn)價格格運動規(guī)規(guī)律的隨隨機過程程，需要要對誤差差項的分分布作出出假設(shè)得到N個個標的資資產(chǎn)到期期日價格格，得到到一個期期權(quán)價格格得到多多個期期權(quán)價價格，，給出出定價價區(qū)間間估計歐歐式看看漲股股票期期權(quán)的的定價價區(qū)間間假設(shè)標標的資資產(chǎn)滿滿足幾幾何布布朗運運動的的隨機機過程程，估估計其其歐式式看漲漲期權(quán)權(quán)的?例設(shè)有這這樣一一個股股票，，其現(xiàn)現(xiàn)行的的市場場價格格為50元元，無無風(fēng)險險利率率為0.1,收收益率率的標標準差差為0.4。已已知有有一種種以該該股票票為標標的資資產(chǎn)，，執(zhí)行行期限限為5/12的的看漲漲期權(quán)權(quán)，執(zhí)執(zhí)行價價格為為52元，，試用用蒙特特卡洛洛模擬擬法確確定該該期權(quán)權(quán)的定定價區(qū)區(qū)間?第一步步，得得到此此股票票價格格的一一條路路徑得到第第1個個節(jié)點點的價價格根據(jù)價價格服服從的的隨機機過程程，進進而得得到第第i個個節(jié)點點的價價格第二步步，得得到1個期期權(quán)價價格得到標標的資資產(chǎn)的的1000個路路徑得到標標的資資產(chǎn)到到期日日1000個價價格得到(,0)的的均值值的現(xiàn)現(xiàn)值———一一個期期權(quán)價價格標的資資產(chǎn)到到期日日價格格的直直方圖圖第三步步，得得到多多個期期權(quán)價價格，，畫出出直方方圖得到200個期期權(quán)價價格得到期期權(quán)價價格的的直方方圖及及定價價區(qū)間間估計亞亞式期期權(quán)的的定價價區(qū)間間亞式期期權(quán)是是一種種路徑徑依賴賴型期期權(quán)，，它的的收益益函數(shù)數(shù)依賴賴于期期權(quán)存存續(xù)期期內(nèi)標標的資資產(chǎn)的的平均均價格格離散平均價價格亞式看漲期期權(quán)的現(xiàn)金金流股票價格為為50，亞亞式看漲期期權(quán)執(zhí)行價價為50，，存續(xù)期為為5個月，，期權(quán)到期期現(xiàn)金流是是每月均價價與執(zhí)行價價之差，股股票收益率率的標準差差為0.4，無風(fēng)險險利率為0.1，下下面用蒙特特卡洛方法法估計亞式式期權(quán)的定定價區(qū)間?蒙特卡洛的的優(yōu)缺點方法的優(yōu)點點分布假設(shè)更更一般，描描述市場因因素可能變變化的統(tǒng)計計分布既可可以是正態(tài)態(tài)、對數(shù)正正態(tài)的,也也可以是帶帶跳的擴散散分布、t分布等。。隨機生成風(fēng)風(fēng)險因素的的各種各樣樣的未來假假想情景,可在模型型中融合管管理層對未未來風(fēng)險水水平的理解解與預(yù)測,考察更多多的假設(shè)情情況。練習(xí)股票價格為為50，亞亞式看漲期期權(quán)執(zhí)行價價為50，，存續(xù)期為為5個月，，期權(quán)到期期現(xiàn)金流是是每月均價價與執(zhí)行價價之差，股股票收益率率的標準差差為0.4，無風(fēng)險險利率為0.1，下下面用蒙特特卡洛方法法計算亞式式期權(quán)的價價格?注：隨機機數(shù)采用用自由度度為6的的t分布布。提高模擬擬效率的的方法對偶變量量法對于服從從對稱分分布的隨隨機變量量來說，，當(dāng)隨機機產(chǎn)生一一個隨機機數(shù)v時時，可以以自動的的得到另另一個隨隨機數(shù)，，可以得得到兩個個價格p1，p*1。。對價格的的模擬可可以使用用平均P＝（p1+p*1)/2代代替()1，，P1和p*1的的相關(guān)系系數(shù)顯顯然小于于0.控制變量量法假設(shè)有兩兩種類似似的證券券A和B，要用用模擬的的方法對對證券A的價格格進行估估計，假假設(shè)證券券B可以以得到解解析解，，可以用用解析公公式計算算出B的的價格f（B））。然后后對f（（A）（（B）進進行模擬擬，f（（A）（（B）的的誤差自自然減少少?？刂谱兞苛糠ㄗ兞緼的的數(shù)值的的估計公公式模擬括號號中的數(shù)數(shù)值，用用解析式式計算出出B的數(shù)數(shù)值然后后相加得得到A的的模擬值值。只要就就有結(jié)構(gòu)化衍衍生品定定價奇異期權(quán)權(quán)障礙期權(quán)權(quán)-敲出-敲入復(fù)合期權(quán)權(quán)中信泰富富外匯衍衍生品合合約合約類型型：每月交易易量：1000萬萬澳元結(jié)算方式式：每每月結(jié)算算合約期限限：24個月敲出條件件：累累計盈利利350萬美元元協(xié)議匯率率：0.7815-0.9600美元元/澳元元加權(quán)協(xié)議議匯率：：0.8971美元元/澳元元杠桿比率率：2.5合約簽訂訂日：2008年7月月16日日匯率現(xiàn)價價：0.9749美元/澳元合約開始始時間：：2008年年10月月15日日定價分析析：定價步驟驟1：給出出（月））匯率演演化的隨隨機過程程（包括括參數(shù)、、初值））2:根據(jù)據(jù)隨機過過程模擬擬出一條條匯率價價格路徑徑，計算算這條路路徑上每每個月的的損益3:根據(jù)據(jù)合約條條款計算算累計損損益-當(dāng)節(jié)點點價格大大于協(xié)議議價格，，則收益益：節(jié)點點價格-協(xié)議價價格-當(dāng)節(jié)點點價格小小于協(xié)議議價格，，則損失失：2.5*（（節(jié)點價價格-協(xié)協(xié)議價格格）-計算所所有節(jié)點點的累計計損益4:判斷斷合約的的終止日日期-如果累累計損益益大于350萬萬元，則則合約停停止-如果累累計損益益小于350萬萬元，則則合約繼繼續(xù)5:得到到一條路路徑的現(xiàn)現(xiàn)金流6:得到到多條路路徑的現(xiàn)現(xiàn)金流7:得到到不同時時刻現(xiàn)金金流的均均值8:將所所有的現(xiàn)現(xiàn)金流均均值按照照期限結(jié)結(jié)構(gòu)進行行貼現(xiàn)，，得到的的一個價價格。窄幅波動動時的現(xiàn)現(xiàn)金流寬幅波動動時的現(xiàn)現(xiàn)金流謝謝！END謝謝謝12月月-2214:31:1514:3114:3112月月-2212月月-2214:3114:3114:31:1512月月-2212月月-2214:31:152022/12/3114:31:159、靜靜夜夜四四無無鄰鄰，，荒荒居居舊舊業(yè)業(yè)貧貧。。。。12月月-2212月月-22Saturday,December31,202210、雨雨中中黃黃葉葉樹樹，，燈燈下下白白頭頭人人。。。。14:31:1514:31:1514:3112/31/20222:31:15PM11、以我獨獨沈久，，愧君相相見頻。。。12月-2214:31:1514:31Dec-2231-Dec-2212、故人江海海別，幾度度隔山川。。。14:31:1514:31:1514:31Saturday,December31,202213、乍見翻疑夢夢，相悲各問問年。。12月-2212月-2214:31:1514:31:15December31,202214、他鄉(xiāng)生白發(fā)發(fā)，舊國見青青山。。31十二月月20222:31:15下午14:31:1512月-2215、比比不不了了得得就就不不比比，，得得不不到到的的就就不不要要。。。。。十二二月月222:31下下午午12月月-2214:31December31,202216、行行動動出出成成果果，，工工作作出出財財富富。。。。2022/12/3114:31:1514:31:1531December202217、做做前前，，能能夠夠環(huán)環(huán)視視四四周周；；做做時時，，你你只只能能或或者者最最好好沿沿著著以以腳腳為為起起點點的的射射線線向向前前。。。。2:31:15下下午午2:31下下午午14:31:1512月月-229、沒有失失敗，只只有暫時時停止成成功！。。12月-2212月-22Saturday,December31,202210、很多多事情情努力力了未未必有有結(jié)果果，但但是不不努力力卻什什么改改變也也沒有有。。。14:31:1514:31:1514:3112/31/20222:31:15PM11、成功功就是是日復(fù)復(fù)一日日那一一點點點小小小努力力的積積累。。。12月月-2214:31:1514:31Dec-2231-Dec-2212、世間間成事事，不不求其其絕對對圓滿滿，留留一份份不足足，可可得無無限完完美。。。14:31:1514:31:1514:31Saturday,December31,202213、不不知知香香積積寺寺，，數(shù)數(shù)里里入入云云峰峰。。。。12月月-2212月月-2214:31:1514:31:15December31,202214、意意志志堅堅強強的的人人能能把把世世界界放放在在手手中中像像泥泥塊塊一一樣樣任任意意揉揉捏捏。。31十十二二月月20222:31:15下下午午14:31:1512月月-2215、楚塞三湘接接，荊門九派派通。。。十二月222:31下下午12月-2214:31December31,202216、少年年十五五二十十時，，步行行奪得得胡馬馬騎。。。2022/12/3114:31:1614:31:1631December202217、空山新雨雨后，天氣氣晚來秋。。。2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