數(shù)列知識點梳理課件

數(shù)列公式等差數(shù)列通項公式：an＝a1＋(n－1)d.等差中項：A＝eq\f(a＋b,2)通項公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．若{an}為等差數(shù)列，且m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．例：設等差數(shù)列的前n項和為Sn，已知前6項和為36，Sn＝324，最后6項的和為180(n＞6)，求數(shù)列的項數(shù)n.若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列．數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列．S2n－1＝(2n－1)an.若n為偶數(shù)，則S偶－S奇＝eq\f(nd,2)；若n為奇數(shù)，則S奇－S偶＝a中(中間項)．等差數(shù)列的前n項和公式若已知首項a1和末項an，則Sn＝n(a1+an)2，或等差數(shù)列{an}的首項是a1，公差是d，則其前n項和公式為Sn＝na1+等差數(shù)列的前n項和公式與函數(shù)的關系Sn＝eq\f(d,2)n2＋(a1-d2)n，數(shù)列{an}是等差數(shù)列的充要條件是Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))．最值問題在等差數(shù)列{an}中，a1＞0，d＜0，則Sn存在最大值，若a1＜0，d＞0，則Sn存在最小值．等比數(shù)列（1）通項an＝a1·qn－1.通項公式的推廣：an＝am·qn－m，(n，m∈N＋)．(2)若{an}為等比數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，則ak·al＝am·an.(3)若{an}，{bn}(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，則{λan}(λ≠0)，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{an2}，{an·bn}，anbn仍是等比數(shù)列．(4)公比不為－1的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn.（5）等比數(shù)列的前n項和公式等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠0)，其前n項和為Sn，當q＝1時，Sn＝na1；當q≠1時，Sn＝a1(1-qn)1-q求通項公式方法：(1)an＋1－an＝f(n)型，采用疊加法：例：已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝an＋3n＋2，且a1＝2，求an.(2)an+1an＝f(例：a1＝1，an＝eq\f(n－1,n)an－1(n≥2)；(3)an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)型，采用待定系數(shù)法轉化為等比數(shù)列：例：a1＝1，an＋1＝3an＋2；數(shù)列中求最值問題數(shù)列求和公式法：例：已知數(shù)列{an}是首項a1＝4，公比q≠1的等比數(shù)列，Sn是其前n項和，且4a1，a5，－2a3成等差數(shù)列．求公比q的值；求Tn＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n的值．（2）倒序相加法（3）錯位相減法：例：已知等差數(shù)列{an}滿足a2＝0，a6＋a8＝－10.求數(shù)列{an}的通項公式；求數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n－1)))的前n項和．（4）裂項相消法：例：在數(shù)列{an}中，a1＝1，當n≥2時，其前n項和Sn滿足Seq\o\al(2,n)＝aneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Sn－\f(1,2))).求Sn的表達式；設bn＝eq\f(Sn,2n＋1)，求{bn}的前n項和Tn.（5）分組轉化求和法：例：已知數(shù)列{xn}的首項x1＝3，通項xn＝2np＋nq(n∈N*，p，q為常數(shù))，且x1，x4，x5成等差數(shù)列．求：p，q的值；數(shù)列{xn}前n項和Sn的公式．（6）并項求和法常用特殊公式：(1)1n(n-1)=eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)；(2)1(2n-1)(2n+1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))；(3)eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n)數(shù)列的綜合應用1.在等差數(shù)列{an}中，a10＝30，a20＝50.(1)求數(shù)列{an}的通項an；(2)令bn＝2an－10，證明：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列．2.數(shù)列{an}的前n項和記為Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n≥1)．(1)求{an}的通項公式；(2)等差數(shù)列{bn}的各項為正，其前n項和為Tn，且T3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比數(shù)列，求Tn.3.等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知對任意的n∈N*，點(n，Sn)均在函數(shù)y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均為常數(shù))的圖象上．(1)求r的值；(2)當b＝2時，記bn＝eq\f(n＋1,4an)(n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.4.已知等比數(shù)列{an}的公比q＝3，前3項和S3＝eq\f(13,3).(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若函數(shù)f(x)＝Asin(2x＋φ)(A＞0,0＜φ＜π)在x＝eq\f(π,6)處取得最大值，且最大值為a3，求函數(shù)f(x)的解析式．5.在等比數(shù)列{an}中，an＞0(n∈N*)，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3與a5的等比中項為2.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設bn＝log2an，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn；(3)是否存在k∈N*，使得eq\f(S1,1)＋eq\f(S2,2)＋…＋eq\f(Sn,n)＜k對任意n∈N*恒成立，若存在，求出k的最小值，若不存在，請說明理由．6.已知單調遞增的等比數(shù)列{an}滿足：a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中項．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若bn＝anlogeq\f(1,2)an，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn＋n·2n＋1＞50成立的正整數(shù)n的最小值．7.如圖，從點P1(0,0)作x軸的垂線交曲線y＝ex于點Q1(0,1)，曲線在Q1點處的切線與x軸交于點P2.再從P2作x軸的垂線交曲線于點Q2，依次重復上述過程得到一系列點：P1，Q1；P2，Q2；…；Pn，Qn.記Pk點的坐標為(xk,0)(k＝1,2，…，n)．(1)試求xk與xk－1的關系(2≤k≤n)；(2)求|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|PnQn|.08.在數(shù)1和100之間插入n個實數(shù)，使得這n＋2個數(shù)構成遞增的等比數(shù)列，將這n＋2個數(shù)的乘積記作Tn，再令an＝lgTn，n≥1.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設bn＝tanan·tanan＋1，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.高考動向1.已知數(shù)列{an}與{bn}滿足bn＋1an＋bnan＋1＝(－2)n＋1，bn＝eq\f(3＋－1n－1,2)，n∈N*，且a1＝2.(1)求a2，a3的值；(2)設cn＝a2n＋1－a2n－1，n∈N*，證明{cn}是等比數(shù)列；(3)設Sn為{an}的前n項和，證明eq\f(S1,a1)＋eq\f(S2,a2)＋…＋eq\f(S2n－1,a2n－1)＋eq\f(S2n,a2n)≤n－eq\f(1,3)(n∈N*)2.已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，Sn為其前n項和，對于任意的n∈N*滿足關系式2Sn＝3an－3.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設數(shù)列{bn}的通項公式是bn＝eq\f(1,log3an·log3an＋1)，前n項和為Tn，求證：對于任意的正數(shù)n，總有Tn＜1.3.等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且2a1＋3a2＝1，aeq\o\al(2,3)＝9a2a6.(1)求數(shù)列{an}的