《直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式》備考策略

《直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式》備考策略關(guān)鍵詞：直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式，知識(shí)總結(jié)備考策略難度：3重要程度：2內(nèi)容：1．兩條直線的交點(diǎn)直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．2.幾種距離1．兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).2．點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).思維規(guī)律解題：考點(diǎn)一、兩直線的交點(diǎn)與距離例1.(1)求經(jīng)過直線l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交點(diǎn)，且垂直于直線l3：3x－5y＋6＝0的直線l的方程．(2)已知點(diǎn)P(2，－1)，①求過點(diǎn)P且與原點(diǎn)距離為2的直線l的方程；②求過點(diǎn)P且與原點(diǎn)距離最大的直線l的方程，并求最大距離．解答(1)法一先解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋2y－1＝0，,5x＋2y＋1＝0，))得l1、l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(－1,2)，再由l3的斜率eq\f(3,5)求出l的斜率為－eq\f(5,3)，于是由直線的點(diǎn)斜式方程求出l：y－2＝－eq\f(5,3)(x＋1)，即5x＋3y－1＝0.法二由于l⊥l3，故l是直線系5x＋3y＋C＝0中的一條，而l過l1、l2的交點(diǎn)(－1,2)，故5×(－1)＋3×2＋C＝0，由此求出C＝－1，故l的方程為5x＋3y－1＝0.法三由于l過l1、l2的交點(diǎn)，故l是直線系3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0中的一條，將其整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0，其斜率－eq\f(3＋5λ,2＋2λ)＝－eq\f(5,3)，解得λ＝eq\f(1,5)，代入直線系方程即得l的方程為5x＋3y－1＝0.(2)①若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x＝2滿足條件．若斜率存在，設(shè)l的方程為y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.由已知，得eq\f(|－2k－1|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝eq\f(3,4).此時(shí)l的方程為3x－4y－10＝0.綜上，可得直線l的方程為x＝2或3x－4y－10＝0.②作圖可得過P點(diǎn)與原點(diǎn)O距離最大的直線是過P點(diǎn)且與PO垂直的直線，如圖．由l⊥OP，得klkOP＝－1，所以kl＝－eq\f(1,kOP)＝2.由點(diǎn)斜式得y＋1＝2(x－2)，2x－y－5＝0.∴直線2x－y－5＝0是過P點(diǎn)且與原點(diǎn)O距離最大的直線，最大距離為eq\f(|－5|,\r(5))＝eq\r(5).規(guī)律方法2求點(diǎn)到直線距離的最值問題的方法：1直接利用點(diǎn)到直線的距離公式建立距離關(guān)于斜率k的代數(shù)關(guān)系式求解；2從幾何中位置關(guān)系的角度，利用幾何關(guān)系求解.在解決解析幾何問題時(shí)，要善于發(fā)現(xiàn)其中包含的幾何關(guān)系，充分利用幾何性質(zhì)進(jìn)行求解.考點(diǎn)二、對(duì)稱問題例2光線由點(diǎn)P(－1,3)射出，遇直線l：x＋y＋1＝0反射，反射光線經(jīng)過點(diǎn)Q(4，－2)，求入射光線與反射光線所在的直線方程．解答設(shè)P(－1,3)關(guān)于直線x＋y＋1＝0的對(duì)稱點(diǎn)為P′(x1，y1)，點(diǎn)Q(4，－2)關(guān)于直線x＋y＋1＝0的對(duì)稱點(diǎn)為Q′(x2，y2)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y1－3,x1＋1)·－1＝－1,\f(x1－1,2)＋\f(y1＋3,2)＋1＝0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝－4，,y1＝0，))所以P′(－4,0)．同理有Q′(1，－5)．這樣，反射光線所在直線為P′Q，斜率k1＝eq\f(－2－0,4－－4)＝－eq\f(1,4).直線方程為x＋4y＋4＝0.入射光線所在直線為PQ′，斜率k2＝eq\f(－5－3,1－－1)＝－4，直線方程為4x＋y＋1＝0.∴入射光線直線方程為4x＋y＋1＝0，反射光線直線方程為x＋4y＋4＝0.備考策略：1.求點(diǎn)到直線距離的最值問題的方法：1直接利用點(diǎn)到直線的距離公式建立距離關(guān)于斜率k的代數(shù)關(guān)系式求解；2從幾何中位置關(guān)系的角度，利用幾何關(guān)系求解.在解決解析幾何問題時(shí)，要善于發(fā)現(xiàn)其中包含的幾何關(guān)系，充分利用幾何性質(zhì)進(jìn)行求解.2.（1）