2022江蘇省常州市芙蓉中學(xué)高一數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

2022江蘇省常州市芙蓉中學(xué)高一數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.從一籃子雞蛋中任取1個,如果其重量小于30克的概率為0.3,重量在[30,40]克的概率為0.5,那么重量不小于30克的概率為(

)A.0.3 B.0.5

C.0.8

D.0.7參考答案：D2.我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)學(xué)九章》中有云：“今有木長二丈四尺，圍之五尺.葛生其下，纏木兩周，上與木齊，問葛長幾何？”其意思為“圓木長2丈4尺，圓周為5尺，葛藤從圓木的底部開始向上生長，繞圓木兩周，剛好頂部與圓木平齊，問葛藤最少長多少尺”（注：1丈等于10尺）（

）A．29尺

B．24尺

C.

26尺

D．30尺參考答案：C解析：由題意，圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，一條直角邊（即木棍的高）長24尺，另一條直角邊長5×2=10（尺），因此葛藤長=26（尺）．3.在等差數(shù)列中，，，則的前5項(xiàng)和=

A．7

B．15

C．20

D．25參考答案：Ｂ4.若函數(shù)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A.(1,+∞) B.[4,8) C.(4,8) D.(1,4)參考答案：B【分析】分段函數(shù)要求每一段函數(shù)均為單調(diào)的，根據(jù)這一條件列式即可.【詳解】函數(shù)是上單調(diào)遞增函數(shù)，則要求每一段上函數(shù)均為增函數(shù)，則要求故答案為：B.【點(diǎn)睛】本題考查了已知函數(shù)單調(diào)性求參的問題，要求每一段函數(shù)均為單調(diào)的，且要求在兩段函數(shù)的連接點(diǎn)處，函數(shù)圖像不能錯位.5.函數(shù)在下面的哪個區(qū)間上是增函數(shù)（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：B6.現(xiàn)有200根相同的鋼管，把它們堆放成正三角形垛，要使剩余的鋼管盡可能的少，那么剩余鋼管的根數(shù)為（）A．9

B．10

C．19

D．29參考答案：B7.已知數(shù)列{an},，其中，則等于

()A.1

B.2

C. D.3參考答案：A略8.設(shè)則的大小關(guān)系是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B9.己知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表：x0134y1469

則y與x的線性回歸直線必過點(diǎn)（

）A.(2,5) B.(5,9) C.(0,1) D.(1,4)參考答案：A【分析】分別求出均值即得．【詳解】，，因此回歸直線必過點(diǎn)．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查線性回歸直線方程，線性回歸直線一定過點(diǎn)．10.下列命題中正確的是

（

）A．若，則

B.若，，則C.若，，則

D.若，，則參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某?，F(xiàn)有高一學(xué)生210人，高二學(xué)生270人，高三學(xué)生300人，用分層抽樣的方法從這三個年級的學(xué)生中隨機(jī)抽取n名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，如果已知從高一學(xué)生中抽取的人數(shù)為7，那么從高三學(xué)生中抽取的人數(shù)應(yīng)為

參考答案：1012.要設(shè)計兩個矩形框架，甲矩形的面積是1m2，長為xm，乙矩形的面積為9m2，長為ym，若甲矩形的一條寬與乙矩形一條寬之和為1m，則x+y的最小值為．參考答案：16m【考點(diǎn)】基本不等式．【分析】利用矩形的面積計算公式、“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．【解答】解：由題意可得：+=1，x，y＞0．則x+y=（x+y）=10++≥10+2≥16．當(dāng)且僅當(dāng)y=3x=12時取等號．故答案為：16m．13.如果實(shí)數(shù)，則的最大值為___________.參考答案：6可以變?yōu)?，其中可以看作是不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)之間連線的斜率，作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，點(diǎn)與點(diǎn)之間連線的斜率最大，即.

14.在ΔABC中，已知，則角A為

參考答案：15.當(dāng)時，方程只有一個解，則的取值范圍是

參考答案：16.已知函數(shù)f（x）=2x，x∈[0，3]，則g（x）=f（2x）﹣f（x+2）的定義域?yàn)椋畢⒖即鸢福篬0，1]【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法．【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)定義域之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵f（x）中x的取值范圍是[0，3]，∴，得，得0≤x≤1，即函數(shù)的定義域?yàn)閇0，1]，故答案為：[0，1]17.數(shù)列中，，那么這個數(shù)列的通項(xiàng)公式是

.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是平行四邊形，且AB=1，BC=2，∠ABC=60°，E為BC的中點(diǎn)，AA1⊥平面ABCD． （1）證明：平面A1AE⊥平面A1DE； （2）若DE=A1E，試求異面直線AE與A1D所成角的余弦值． 參考答案：【考點(diǎn)】平面與平面垂直的判定；異面直線及其所成的角． 【分析】（1）根據(jù)題意，得△ABE是正三角形，∠AEB=60°，等腰△CDE中∠CED=（180°﹣∠ECD）=30°，所以∠AED=90°，得到DE⊥AE，結(jié)合DE⊥AA1，得DE⊥平面A1AE，從而得到平面A1AE⊥平面平面A1DE． （2）取BB1的中點(diǎn)F，連接EF、AF，連接B1C．證出EF∥A1D，可得∠AEF（或其補(bǔ)角）是異面直線AE與A1D所成的角．利用勾股定理和三角形中位線定理，算出△AEF各邊的長，再用余弦定理可算出異面直線AE與A1D所成角的余弦值． 【解答】解：（1）依題意，BE=EC=BC=AB=CD…， ∴△ABE是正三角形，∠AEB=60°…， 又∵△CDE中，∠CED=∠CDE=（180°﹣∠ECD）=30°… ∴∠AED=180°﹣∠CED﹣∠AEB=90°，即DE⊥AE…， ∵AA1⊥平面ABCD，DE?平面ABCD，∴DE⊥AA1．…， ∵AA1∩AE=A，∴DE⊥平面A1AE…， ∵DE?平面A1DE，∴平面A1AE⊥平面A1DE．…． （2）取BB1的中點(diǎn)F，連接EF、AF，連接B1C，… ∵△BB1C中，EF是中位線，∴EF∥B1C ∵A1B1∥AB∥CD，A1B1=AB=CD， ∴四邊形ABCD是平行四邊形，可得B1C∥A1D ∴EF∥A1D…， 可得∠AEF（或其補(bǔ)角）是異面直線AE與A1D所成的角…． ∵△CDE中，DE=CD==A1E=，AE=AB=1 ∴A1A=，由此可得BF=，AF=EF==…， ∴cos∠AEF==，即異面直線AE與A1D所成角的余弦值為… 【點(diǎn)評】本題在直平行六面體中，求證面面垂直并求異面直線所成角余弦，著重考查了線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)和異面直線所成角的求法等知識，屬于中檔題． 19.B是單位圓O上的點(diǎn)，點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B在第二象限．記∠AOB=θ且sinθ=．（1）求B點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求的值．參考答案：【考點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡求值；任意角的三角函數(shù)的定義．【分析】（1）由已知條件設(shè)出B點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），即可求出y和x的值，則B點(diǎn)坐標(biāo)可求；（2）利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡代值計算即可得答案．【解答】解：（1）∵點(diǎn)A是單位圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B在第二象限．設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則y=sinθ=．，即B點(diǎn)坐標(biāo)為：；（2）．20.（本題滿分12分）

已知，函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；(2)函數(shù)的圖象可以由函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？參考答案：（1）

………2分的最小正周期……4分

依題意得

即

的單調(diào)增區(qū)間為……7分 （2）先把圖象上所有點(diǎn)向左平移個單位長度，得到的圖象，再把所得圖象上所有的點(diǎn)向上平移個單位長度，就得到的圖象.……………12分21.已知定義域?yàn)椋ī仭蓿?）∪（0，+∞）的偶函數(shù)g（x）在（﹣∞，0）內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)，且g（x?y）=g（x）+g（y）對任意的x，y都成立，g（2）=1．（1）求g（4）的值；（2）求滿足條g（x）＞g（x+1）+2的x的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】抽象函數(shù)及其應(yīng)用；奇偶性與單調(diào)性的綜合．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（1）由g（x?y）=g（x）+g（y）對任意的x，y都成立及g（2）=1，考慮利用賦值法，取x=y=2可求g（4）；

（2）若g（x）＞g（x+1）+2，結(jié)合（1）及已知可以化簡為g（x）＞g[4（x+1）]，g（x）為偶函數(shù)，且在（﹣∞，0）為單調(diào)遞減函數(shù)，可得g（x）在（0，+∞）為單調(diào)遞增函數(shù)．從而可得|x|＞4|x+1|，|x+1|≠0，解不等式可求x的取值范圍【解答】解：（1）∵g（x?y）=g（x）+g（y）對任意的x，y都成立，g（2）=1．令x=y=2時有g(shù)（4）=g（2×2）=g（2）+g（2）=2（2）∵g（x）＞2+g（x+1）=g（4）+g（x+1）=g[4（x+1）]又∵g（x）為偶函數(shù)，且g（x）在（﹣∞，0）為單調(diào)遞減函數(shù)，∴g（x）在（0，+∞）為單調(diào)遞增函數(shù)．|x|＞4|x+1|，|x+1|≠0兩邊同時平方化簡可得，15x2+32x+16＜0解二次不等式可得，﹣＜x＜﹣，且x≠﹣1綜上x的取值范圍為（﹣，﹣1）∪（﹣1，﹣）【點(diǎn)評】本題主要考查了利用賦值法求解抽象函數(shù)的函數(shù)值，還考查了偶函數(shù)的性質(zhì)：對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反的性質(zhì)的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是由偶函數(shù)y=g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，g（a）＞g（b）可|a|＞|b|，考生容易漏洞由偶函數(shù)y=g（x）在（﹣∞，0）單調(diào)遞減，從而誤寫為a＞b．22.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的值域和最小正周期；（2）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．參考答案：【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦函數(shù)的圖象．【分析】（1）利用兩角和正弦公式化簡函數(shù)f（x）的解析式，求出周期，由﹣1≤s