2022遼寧省朝陽市蒙古高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

2022遼寧省朝陽市蒙古高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.已知某三棱錐的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該三棱錐的體積是A.1cm3

B.2cm3

C.3cm3

D.6cm3參考答案：C由題意判斷出，底面是一個直角三角形，兩個直角邊分別為1和2，整個棱錐的高由側(cè)視圖可得為3，所以三棱錐的體積為.2.甲組有5名男同學(xué)、3名女同學(xué)；乙組有6名男同學(xué)、2名女同學(xué)，若從甲、乙兩組中各選出2名同學(xué)，則選出的4人中恰有1名女同學(xué)的不同選法共有（A）150種

（B）180種

（C）300種

（D）345種參考答案：D3.已知函數(shù)，則f(3)＝ ()A．8 B．9

C．11 D．10參考答案：C略4.若集合是函數(shù)的定義域，是函數(shù)的定義域，則M∩N等于(

)A．

B．

C．

D．

參考答案：A5.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是A.(－∞,－2) B.(－∞,1)C.(1,+∞) D.(4,+∞)參考答案：D由>0得：x∈(?∞,?2)∪(4,+∞)，令t=，則y=lnt，∵x∈(?∞,?2)時,t=為減函數(shù)；x∈(4,+∞)時,t=為增函數(shù)；y=lnt為增函數(shù)，故函數(shù)f(x)=ln()的單調(diào)遞增區(qū)間是(4,+∞)，故選：D.點(diǎn)睛：形如的函數(shù)為,的復(fù)合函數(shù)，為內(nèi)層函數(shù),為外層函數(shù).當(dāng)內(nèi)層函數(shù)單增，外層函數(shù)單增時，函數(shù)也單增；當(dāng)內(nèi)層函數(shù)單增，外層函數(shù)單減時，函數(shù)也單減；當(dāng)內(nèi)層函數(shù)單減，外層函數(shù)單增時，函數(shù)也單減；當(dāng)內(nèi)層函數(shù)單減，外層函數(shù)單減時，函數(shù)也單增.簡稱為“同增異減”.6.下列命題錯誤的是 （

） A．命題“若”的逆否命題為“”； B．若命題； C．若為假命題，則均為假命題； D．“”是“”的充分不必要條件.參考答案：C略7.設(shè)是不同的直線，是不同的平面，下列命題中正確的是（

）A．若，則

B．若，則

C．若，則⊥

D．若，則參考答案：CC中，當(dāng)，所以，或當(dāng)，所以⊥，所以正確。8.已知集合，，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D集合A為，集合B為所以并集所以選D

9.函數(shù)的反函數(shù)是A． B．C．

D．參考答案：A略10.已知點(diǎn)分別是正方體的棱的中點(diǎn)，點(diǎn)分別在線段上.以為頂點(diǎn)

的三棱錐的俯視圖不可能是（

）參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镈，如果存在非零常數(shù)T，對于任意x∈D，都有f（x+T）=T?f（x），則稱函數(shù)y=f（x）是“似周期函數(shù)”，非零常數(shù)T為函數(shù)y=f（x）的“似周期”．現(xiàn)有下面四個關(guān)于“似周期函數(shù)”的命題：①如果“似周期函數(shù)”y=f（x）的“似周期”為﹣1，那么它是周期為2的周期函數(shù)；②函數(shù)f（x）=x是“似周期函數(shù)”；③函數(shù)f（x）=2x是“似周期函數(shù)”；④如果函數(shù)f（x）=cosωx是“似周期函數(shù)”，那么“ω=kπ，k∈Z”．其中是真命題的序號是

．（寫出所有滿足條件的命題序號）參考答案：①④【考點(diǎn)】抽象函數(shù)及其應(yīng)用．【分析】①由題意知f（x﹣1）=﹣f（x），從而可得f（x﹣2）=﹣f（x﹣1）=f（x）；②由f（x+T）=T?f（x）得x+T=Tx恒成立；從而可判斷；③由f（x+T）=T?f（x）得2x+T=T2x恒成立；從而可判斷；④由f（x+T）=T?f（x）得cos（ω（x+T））=Tcosωx恒成立；即cosωxcosωT﹣sinωxsinωT=Tcosωx恒成立，從而可得，從而解得．【解答】解：①∵似周期函數(shù)”y=f（x）的“似周期”為﹣1，∴f（x﹣1）=﹣f（x），∴f（x﹣2）=﹣f（x﹣1）=f（x），故它是周期為2的周期函數(shù)，故正確；②若函數(shù)f（x）=x是“似周期函數(shù)”，則f（x+T）=T?f（x），即x+T=Tx恒成立；故（T﹣1）x=T恒成立，上式不可能恒成立；故錯誤；③若函數(shù)f（x）=2x是“似周期函數(shù)”，則f（x+T）=T?f（x），即2x+T=T2x恒成立；故2T=T成立，無解；故錯誤；④若函數(shù)f（x）=cosωx是“似周期函數(shù)”，則f（x+T）=T?f（x），即cos（ω（x+T））=Tcosωx恒成立；故cos（ωx+ωT）=Tcosωx恒成立；即cosωxcosωT﹣sinωxsinωT=Tcosωx恒成立，故，故ω=kπ，k∈Z；故正確；故答案為：①④．12.平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，已知底面四邊形ABCD為矩形，∠A1AB＝∠A1AD＝。其中｜AB｜＝a，｜AD｜＝b，｜AA1｜＝c，體對角線｜A1C｜＝1，則c的最大值為＿＿參考答案： 13.在△ABC中，AB=7，BC=5，CA=6，則=

.參考答案：-1914.我們把形如的函數(shù)稱為冪指函數(shù)，冪指函數(shù)在求導(dǎo)時，可以利用對法數(shù)：在函數(shù)解析式兩邊求對數(shù)得，兩邊對x求導(dǎo)數(shù)，得于是，運(yùn)用此方法可以求得函數(shù)在（1，1）處的切線方程是

。參考答案：15.定義：如果函數(shù)在定義域內(nèi)給定區(qū)間上存在，滿足，則稱函數(shù)是上的“平均值函數(shù)”，是它的一個均值點(diǎn)，例如是上的平均值函數(shù)，就是它的均值點(diǎn)．現(xiàn)有函數(shù)是上的平均值函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

．參考答案：16.已知函數(shù),則___________.參考答案：－2略17.

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．參考答案：1三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面邊長為a，E是PC的中點(diǎn)，連接BE，DE.（1）證明：平面，平面平面；（2）若，求四棱錐P-ABCD的體積.參考答案：（1）證明見解析；（2）【分析】（1）連結(jié)OE，推導(dǎo)出，從而平面BDE，推導(dǎo)出，，從而平面，由此能證明平面平面；

（2）由平面，得，推導(dǎo)出，從而，由此能求出四棱錐的體積.【詳解】（1）證明：連接.∵，分別為，的中點(diǎn)，∴.∵平面，平面，∴平面.∵平面，∴.在正方形，.又∵，平面，平面，∴平面.又∵平面，∴平面平面；（2）解：取的中點(diǎn)，連接，易得.∵平面，∴.∵，分別是，的中點(diǎn)，∴，∴，即.在中，，∴，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行、面面垂直的證明，考查四棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.19.．如圖，直線PQ與⊙O相切于點(diǎn)A，AB是⊙O的弦，∠PAB的平分線AC交⊙O于點(diǎn)C，連結(jié)CB，并延長與直線PQ相交于點(diǎn)Q．（Ⅰ）求證：QC?BC=QC2﹣QA2；（Ⅱ）若AQ=6，AC=5．求弦AB的長．參考答案：考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段．專題：立體幾何．分析：（1）由已知得∠BAC=∠CBA，從而AC=BC=5，由此利用切割線定理能證明QC?BC=QC2﹣QA2．（2）由已知求出QC=9，由弦切角定理得∠QAB=∠ACQ，從而△QAB∽△QCA，由此能求出AB的長．解答： （本小題滿分10分）選修4﹣1：幾何證明選講1證明：（1）∵PQ與⊙O相切于點(diǎn)A，∴∠PAC=∠CBA，∵∠PAC=∠BAC，∴∠BAC=∠CBA，∴AC=BC=5，由切割線定理得：QA2=QB?QC=（QC﹣BC）?QC，∴QC?BC=QC2﹣QA2．（2）由AC=BC=5，AQ=6及（1），知QC=9，∵直線PQ與⊙O相切于點(diǎn)A，AB是⊙O的弦，∴∠QAB=∠ACQ，又∠Q=∠Q，∴△QAB∽△QCA，∴=，∴AB=．點(diǎn)評：本題考查等式的證明，考查與圓有關(guān)的線段長的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意切割線定理、弦切角定理的合理運(yùn)用．20.如圖,四棱柱的底面是平行四邊形,且,,,為的中點(diǎn),平面.(Ⅰ)證明:平面平面;(Ⅱ)若,試求異面直線與所成角的余弦值;(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,試求二面角的余弦值.

參考答案：(Ⅰ)略(Ⅱ)(Ⅲ)(Ⅰ)依題意,所以是正三角形,[]又所以,因?yàn)槠矫?平面,所以因?yàn)?又在平面內(nèi)所以平面因?yàn)槠矫?所以平面平面(Ⅱ)取的中點(diǎn),連接、

,連接,則所以是異面直線與所成的角因?yàn)?,所以,,所以(Ⅱ)解法2:以為原點(diǎn),過且垂直于的直線為軸,所在直線為軸、所在直線為建立右手系空間直角坐標(biāo)系

設(shè)(),則(Ⅰ)設(shè)平面的一個法向量為,則

,取,則,從而,同理可得平面的一個法向量為,直接計算知,所以平面平面(Ⅱ)由即

解得

,所以異面直線與所成角的余弦值(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,平面的一個法向量為又,設(shè)平面的法向量[]則得，令,則所以設(shè)二面角的平面角為,且為銳角則所以二面角的余弦值為略21.（本小題滿分11分）如圖，已知直線l與拋物線相切于點(diǎn)P(2，1)，且與x軸交于點(diǎn)A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，定點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0）.（I）若動點(diǎn)M滿足，求點(diǎn)M的軌跡C；（II）若過點(diǎn)B的直線l′（斜率不等于零）與（I）中的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)E、F（E在B、F之間），試求△OBE與△OBF面積之比的取值范圍.參考答案：【答案解析】（I）點(diǎn)M的軌跡為以原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在x軸上，長軸長為，短軸長為2的橢圓（II）（3－2，1）解析：（I）由，∴直線l的斜率為，（用點(diǎn)斜式）故l的方程為，∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，0），………….2分設(shè)，則，由得整理，得∴點(diǎn)M的軌跡為以原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在x軸上，長軸長為，短軸長為2的橢圓………5分

（II）如圖，由題意知直線l的斜率存在且不為零，設(shè)l方程為y=k(x－2)(k≠0)①將①代入，整理，得，由△>0得0<k2<.

設(shè)E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)則②…………..8分令，由②知，所以，即，因?yàn)椋?，解得，又，所以，∴△OBE與△OBF面積之比的取值范圍是（3－2，1）.…………..11分.【思路點(diǎn)撥】注意求軌跡方程和求軌跡的區(qū)別，求軌跡時，在求出軌跡方程后必須指明軌跡形狀特征；對于第二問為直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題，此類問題通常把要解決的問題轉(zhuǎn)化為直線與圓錐曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，再通過聯(lián)立方程用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化求解.22.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=PA=2，E，F(xiàn)分別為PB，AD的中點(diǎn)．（1）證明：AC⊥EF；（2）求直線EF與平面PCD所成角的正弦值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面所成的角；直線與平面垂直的性質(zhì)．【分析】（1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=t，可得相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)，AC⊥BD，可得?=﹣t2+2+0=0，求出t，進(jìn)而證明⊥，可得AC⊥EF；（2）求出平面PCD的一個法向量，利用向量的夾角公式，可得直線EF與平面PCD所成角的正弦值．【解答】解：（1）易知AB，AD，AP兩兩垂直．如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)AB=t，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為：A（0，0，0），B（t，0，0），C（t，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），F(xiàn)（0，1，0）．…從而=（﹣，1，﹣1），=（t，1，