海南省?？谑泻蠋煷蟾街?022年高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在中，，，，則在方向上的投影是（）A．4 B．3 C．-4 D．-32．已知為虛數(shù)單位，實(shí)數(shù)滿足，則()A．1 B． C． D．3．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，則A．3 B．4 C．5 D．64．已知向量，且，則m=()A．?8 B．?6C．6 D．85．已知無(wú)窮等比數(shù)列的公比為2，且，則（）A． B． C． D．6．已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．7．已知向量，則是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充要條件8．為雙曲線的左焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與圓交于、兩點(diǎn)，（在、之間）與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，且，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．9．已知數(shù)列是公比為的正項(xiàng)等比數(shù)列，若、滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．10．已知，，那么是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，則角的大小為（）A． B． C． D．12．由實(shí)數(shù)組成的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則“a1>0”是“S9>S8”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過(guò)且斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，為的焦點(diǎn)若的面積等于的面積的2倍，則的值為_(kāi)__________.14．已知等比數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，且成等差數(shù)列，則=__________．15．執(zhí)行右邊的程序框圖，輸出的的值為.16．已知是拋物線的焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交軸于點(diǎn)．若為的中點(diǎn)，則_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）某公園準(zhǔn)備在一圓形水池里設(shè)置兩個(gè)觀景噴泉，觀景噴泉的示意圖如圖所示，兩點(diǎn)為噴泉，圓心為的中點(diǎn)，其中米，半徑米，市民可位于水池邊緣任意一點(diǎn)處觀賞．（1）若當(dāng)時(shí)，，求此時(shí)的值；（2）設(shè)，且．（i）試將表示為的函數(shù)，并求出的取值范圍；（ii）若同時(shí)要求市民在水池邊緣任意一點(diǎn)處觀賞噴泉時(shí)，觀賞角度的最大值不小于，試求兩處噴泉間距離的最小值．18．（12分）已知為橢圓的左、右焦點(diǎn)，離心率為，點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)的直線分別交橢圓于和，且，問(wèn)是否存在常數(shù)，使得成等差數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.19．（12分）等差數(shù)列中，，，分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且其中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行582第二行4312第三行1669（1）請(qǐng)選擇一個(gè)可能的組合，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記（1）中您選擇的的前項(xiàng)和為，判斷是否存在正整數(shù)，使得，，成等比數(shù)列，若有，請(qǐng)求出的值；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.20．（12分）已知矩形紙片中，，將矩形紙片的右下角沿線段折疊，使矩形的頂點(diǎn)B落在矩形的邊上，記該點(diǎn)為E，且折痕的兩端點(diǎn)M，N分別在邊上.設(shè)，的面積為S.（1）將l表示成θ的函數(shù)，并確定θ的取值范圍；（2）求l的最小值及此時(shí)的值；（3）問(wèn)當(dāng)θ為何值時(shí)，的面積S取得最小值？并求出這個(gè)最小值.21．（12分）秉持“綠水青山就是金山銀山”的生態(tài)文明發(fā)展理念，為推動(dòng)新能源汽車(chē)產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展，有必要調(diào)查研究新能源汽車(chē)市場(chǎng)的生產(chǎn)與銷售.下圖是我國(guó)某地區(qū)年至年新能源汽車(chē)的銷量（單位：萬(wàn)臺(tái)）按季度（一年四個(gè)季度）統(tǒng)計(jì)制成的頻率分布直方圖.（1）求直方圖中的值，并估計(jì)銷量的中位數(shù)；（2）請(qǐng)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)新能源汽車(chē)平均每個(gè)季度的銷售量（同一組數(shù)據(jù)用該組中間值代表），并以此預(yù)計(jì)年的銷售量.22．（10分）已知函數(shù)，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，求證：函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．D【解析】分析：根據(jù)平面向量的數(shù)量積可得，再結(jié)合圖形求出與方向上的投影即可.詳解：如圖所示：，，，又，，在方向上的投影是：，故選D.點(diǎn)睛：本題考查了平面向量的數(shù)量積以及投影的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用問(wèn)題.2．D【解析】，則故選D.3．C【解析】

方法一：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，所以.故選C．方法二：因?yàn)椋?，則.故選C．4．D【解析】

由已知向量的坐標(biāo)求出的坐標(biāo)，再由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算得答案．【詳解】∵，又，∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝1．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．5．A【解析】

依據(jù)無(wú)窮等比數(shù)列求和公式，先求出首項(xiàng)，再求出，利用無(wú)窮等比數(shù)列求和公式即可求出結(jié)果。【詳解】因?yàn)闊o(wú)窮等比數(shù)列的公比為2，則無(wú)窮等比數(shù)列的公比為。由有，，解得，所以，，故選A。【點(diǎn)睛】本題主要考查無(wú)窮等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用。6．A【解析】分析：題設(shè)中復(fù)數(shù)滿足的等式可以化為，利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算可以求出.詳解：由題設(shè)有，故，故選A.點(diǎn)睛：本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)數(shù)概念中的共軛復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.7．A【解析】

向量，，，則，即，或者-1，判斷出即可．【詳解】解：向量，，，則，即，或者-1，所以是或者的充分不必要條件，故選：A．【點(diǎn)睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查向量平行的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.8．D【解析】

過(guò)點(diǎn)作，可得出點(diǎn)為的中點(diǎn)，由可求得的值，可計(jì)算出的值，進(jìn)而可得出，結(jié)合可知點(diǎn)為的中點(diǎn)，可得出，利用勾股定理求得（為雙曲線的右焦點(diǎn)），再利用雙曲線的定義可求得該雙曲線的離心率的值.【詳解】如下圖所示，過(guò)點(diǎn)作，設(shè)該雙曲線的右焦點(diǎn)為，連接.，.，，，為的中點(diǎn)，，，，，由雙曲線的定義得，即，因此，該雙曲線的離心率為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的求解，解題時(shí)要充分分析圖形的形狀，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.9．B【解析】

利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和指數(shù)冪的運(yùn)算法則、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得再根據(jù)此范圍求的最小值．【詳解】數(shù)列是公比為的正項(xiàng)等比數(shù)列，、滿足，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得，即，，可得，且、都是正整數(shù)，求的最小值即求在，且、都是正整數(shù)范圍下求最小值和的最小值，討論、取值.當(dāng)且時(shí)，的最小值為.故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和指數(shù)冪的運(yùn)算法則、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力和分類討論思想，是中等題．10．B【解析】

由，可得，解出即可判斷出結(jié)論．【詳解】解：因?yàn)椋遥?，解得．是的必要不充分條件．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、三角函數(shù)求值、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．11．A【解析】

先利用正弦定理將邊統(tǒng)一化為角，然后利用三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)，可求出解B.【詳解】由正弦定理可得，即，即有，因?yàn)椋瑒t，而，所以.故選：A【點(diǎn)睛】此題考查了正弦定理和三角函數(shù)的恒等變形，屬于基礎(chǔ)題.12．C【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】解：若{an}是等比數(shù)列，則，

若，則，即成立，

若成立，則，即，

故“”是“”的充要條件，

故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是解決本題的關(guān)鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．2【解析】

聯(lián)立直線與拋物線的方程，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系以及面積關(guān)系求解即可.【詳解】如圖，設(shè)，由，則，由可得，由，則，所以，得.故答案為：2【點(diǎn)睛】此題考查了拋物線的性質(zhì)，屬于中檔題.14．【解析】

根據(jù)等差中項(xiàng)性質(zhì)，結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求得公比；代入表達(dá)式，結(jié)合對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】等比數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，且成等差數(shù)列，則，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可知，所以，解得或（舍），所以由對(duì)數(shù)式運(yùn)算性質(zhì)可得，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，等比數(shù)列通項(xiàng)公式的用法，對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)運(yùn)算，屬于中檔題.15．【解析】初始條件成立方；運(yùn)行第一次：成立；運(yùn)行第二次：不成立；輸出的值：結(jié)束所以答案應(yīng)填：考點(diǎn)：1、程序框圖；2、定積分.16．【解析】

由題意可得，又由于為的中點(diǎn)，且點(diǎn)在軸上，所以可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入拋物線方程中可求點(diǎn)的縱坐標(biāo)，從而可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式可求得結(jié)果.【詳解】解：因?yàn)槭菕佄锞€的焦點(diǎn)，所以，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，而點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0，所以，所以，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為所以，故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查拋物線的性質(zhì)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．(1)；(2)(i)，；(ii).【解析】

（1）在中，由正弦定理可得所求；（2）（i）由余弦定理得，兩式相加可得所求解析式．（ii）在中，由余弦定理可得，根據(jù)的最大值不小于可得關(guān)于的不等式，解不等式可得所求．【詳解】（1）在中，由正弦定理得，所以，即．（2）（i）在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，又所以，即．又，解得，所以所求關(guān)系式為，．（ii）當(dāng)觀賞角度的最大時(shí)，取得最小值．在中，由余弦定理可得，因?yàn)榈淖畲笾挡恍∮?，所以，解得，?jīng)驗(yàn)證知，所以．即兩處噴泉間距離的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查解三角形在實(shí)際中的應(yīng)用，解題時(shí)要注意把條件轉(zhuǎn)化為三角形的邊或角，然后借助正余弦定理進(jìn)行求解．解題時(shí)要注意三角形邊角關(guān)系的運(yùn)用，同時(shí)還要注意所得結(jié)果要符合實(shí)際意義．18．（1）；（2）存在，.【解析】

（1）由條件建立關(guān)于的方程組，可求得，得出橢圓的方程；（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可求得，求得，②當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)聯(lián)立直線與橢圓的方程，求出線段，再由得出線段，根據(jù)等差中項(xiàng)可求得，得出結(jié)論.【詳解】（1）由條件得，所以橢圓的方程為：；（2），①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，此時(shí),②當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè),聯(lián)立消元得，設(shè)，，直線的斜率為，同理可得，所以，綜合①②，存在常數(shù)，使得成等差數(shù)列.【點(diǎn)睛】本題考查利用橢圓的離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系中的弦長(zhǎng)公式的相關(guān)問(wèn)題，當(dāng)兩直線的斜率具有關(guān)系時(shí)，可能通過(guò)斜率的代換得出另一條線段的弦長(zhǎng)，屬于中檔題.19．（1）見(jiàn)解析，或；（2）存在，.【解析】

（1）滿足題意有兩種組合：①，，，②，，，分別計(jì)算即可；（2）由（1）分別討論兩種情況，假設(shè)存在正整數(shù)，使得，，成等比數(shù)列，即，解方程是否存在正整數(shù)解即可.【詳解】（1）由題意可知：有兩種組合滿足條件：①，，，此時(shí)等差數(shù)列，，，所以其通項(xiàng)公式為.②，，，此時(shí)等差數(shù)列，，，所以其通項(xiàng)公式為.（2）若選擇①，.則.若，，成等比數(shù)列，則，即，整理，得，即，此方程無(wú)正整數(shù)解，故不存在正整數(shù)，使，，成等比數(shù)列.若選則②，，則，若，，成等比數(shù)列，則，即，整理得，因?yàn)闉檎麛?shù)，所以.故存在正整數(shù)，使，，成等比數(shù)列.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和，涉及到等比數(shù)列的性質(zhì)，是一道中檔題.20．（1）（2），的最小值為.（3）時(shí)，面積取最小值為【解析】

（1）,利用三角函數(shù)定義分別表示,且,即可得到關(guān)于的解析式；,,則,即可得到的范圍；（2）由（1）,若求l的最小值即求的最大值,即可求的最大值,設(shè)為,令,則,即可設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,即可求得的最大值,進(jìn)而求解；（3）由題,,則,設(shè),,利用導(dǎo)函數(shù)求得的最大值,即可求得的最小值.【詳解】解:（1）,故.因?yàn)?所以，,所以,又,,則,所以,所以（2）記,則,設(shè),,則,記,則,令,則,當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,故當(dāng)時(shí)取最小值,此時(shí),的最小值為.（3）的面積,所以,設(shè),則,設(shè),則,令,,所以當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,故當(dāng),即時(shí),面積取最小值為【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)定義的應(yīng)用,考查利用導(dǎo)函數(shù)求最值,考查運(yùn)算能力.21．（1），中位數(shù)為；（2）新能源汽車(chē)平均每個(gè)季度的銷售量為萬(wàn)臺(tái)，以此預(yù)計(jì)年的銷售量約為萬(wàn)臺(tái).【解析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖中所有矩形面積之和為可計(jì)算出的值，利用中位數(shù)左邊的矩形面積之和為可求得銷量的中位數(shù)的值；（2）利用每個(gè)矩形底邊的中點(diǎn)值乘以相應(yīng)矩形的面積，相加可得出銷量的平均數(shù)，由此可預(yù)計(jì)年的銷售量.【詳解】（1）由于頻率分布直方圖的所有矩形面積之和為，則，解得，由于，因此，銷量的中位數(shù)為；（2）由頻率分布直方圖可知，新能源汽車(chē)平均每個(gè)季度的銷售量為（萬(wàn)臺(tái)），由此預(yù)測(cè)年的銷售量為萬(wàn)臺(tái).【點(diǎn)