上海市崇明縣長(zhǎng)興中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)理月考試題含解析

上海市崇明縣長(zhǎng)興中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知D是由不等式組，所確定的平面區(qū)域，則圓

在區(qū)域D內(nèi)的弧長(zhǎng)為

[

]A

B

C

D參考答案：解析:解析如圖示，圖中陰影部分所在圓心角所對(duì)弧長(zhǎng)即為所求，易知圖中兩直線的斜率分別是，所以圓心角即為兩直線的所成夾角，所以，所以，而圓的半徑是2，所以弧長(zhǎng)是，故選B現(xiàn)。

2.已知直線經(jīng)過點(diǎn)A(0,3)和點(diǎn)B（1，2），則直線AB的斜率為（

）A.-1

B.1

C.3

D.不存在參考答案：A略3.在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，高為4，則點(diǎn)A1到截面AB1D1的距離是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算．【分析】設(shè)A1C1∩B1D1=O1，根據(jù)線面垂直的判定定理可知B1D1⊥平面AA1O1，再根據(jù)面面垂直的判定定理可知故平面AA1O1⊥面AB1D1，交線為AO1，在面AA1O1內(nèi)過A1作A1H⊥AO1于H，則A1H的長(zhǎng)即是點(diǎn)A1到截面AB1D1的距離，在Rt△A1O1A中，利用等面積法求出A1H即可．【解答】解：如圖，設(shè)A1C1∩B1D1=O1，∵B1D1⊥A1O1，B1D1⊥AA1，∴B1D1⊥平面AA1O1，故平面AA1O1⊥面AB1D1，交線為AO1，在面AA1O1內(nèi)過B1作B1H⊥AO1于H，則易知A1H的長(zhǎng)即是點(diǎn)A1到截面AB1D1的距離，在Rt△A1O1A中，A1O1=，AO1=3，由A1O1?A1A=h?AO1，可得A1H=，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了點(diǎn)到平面的距離，同時(shí)考查空間想象能力、推理與論證的能力，屬于基礎(chǔ)題．4.已知橢圓的左右焦點(diǎn)為，設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)為直角時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)A．

B．

C．

D．參考答案：B略5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖輸出的結(jié)果是（

）A.8 B.6 C.5 D.3參考答案：A【分析】根據(jù)程序框圖循環(huán)結(jié)構(gòu)運(yùn)算，依次代入求解即可?！驹斀狻扛鶕?jù)程序框圖和循環(huán)結(jié)構(gòu)算法原理，計(jì)算過程如下：所以選A【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖的基本結(jié)構(gòu)和運(yùn)算，主要是掌握循環(huán)結(jié)構(gòu)在何時(shí)退出循環(huán)結(jié)構(gòu)，屬于基礎(chǔ)題。6.在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，設(shè)，則x+y+z等于（）A．1 B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】空間向量的基本定理及其意義．【分析】在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，用、、表示出，將它和題中已知的的解析式作對(duì)照，求出x、y、z的值．【解答】解：∵在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，，又∵=++，∴x=1，2y=1，3z=1，∴x=1，y=，z=，∴x+y+z=1++=，故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量基本定理及其意義，空間向量的加減和數(shù)乘運(yùn)算，用待定系數(shù)法求出x、y、z的值．7.設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布和的密度函數(shù)圖像如圖，則有（

）A．

B．C．

D．參考答案：A8.①已知，求證，用反正法證明時(shí)，可假設(shè)；②設(shè)a為實(shí)數(shù)，，求證與中至少有一個(gè)小于，用反證法證明時(shí)可假設(shè)，且，以下說法正確的是（

）A．①與②的假設(shè)都錯(cuò)誤

B．①與②的假設(shè)都正確

C.①的假設(shè)正確，②的假設(shè)錯(cuò)誤

D．①的假設(shè)錯(cuò)誤，②的假設(shè)正確參考答案：D9.已知，，則（

）A. B.C. D.參考答案：C【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小.【詳解】因?yàn)?<a＝<1，b＝log2<0，c＝>＝1，所以c>a>b.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的大小的比較，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的合理運(yùn)用10.如圖，用小刀切一塊長(zhǎng)方體橡皮的一個(gè)角，在棱AD、AA1、AB上的截點(diǎn)分別是E、F、G，則截面△EFG（）A．一定是等邊三角形 B．一定是鈍角三角形C．一定是銳角三角形 D．一定是直角三角形參考答案：C【考點(diǎn)】平面的基本性質(zhì)及推論．【分析】由已知得∠EGF＜90°，∠EFG＜90°，∠GEF＜90°，從而截面△EFG是銳角三角形．【解答】解：用小刀切一塊長(zhǎng)方體橡皮的一個(gè)角，在棱AD、AA1、AB上的截點(diǎn)分別是E、F、G，則∠EGF＜∠CBD=90°，同理∠EFG＜90°，∠GEF＜90°，∴截面△EFG是銳角三角形，故選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，則的值為_________.參考答案：212.（4分）已知圓C過點(diǎn)（1，0），且圓心在x軸的正半軸上，直線l：y=x﹣1被該圓所截得的弦長(zhǎng)為，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_________．參考答案：13.已知函數(shù)f（x）=，若函數(shù)y=f（f（x）﹣2a）有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．參考答案：?【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．【分析】畫出函數(shù)圖象，令f（f（x）﹣2a）=0?f（x）﹣2a=﹣2或f（x）﹣2a=1，?f（x）=2a﹣2或f（x）=2a+1，由函數(shù)函數(shù)f（x）=的值域?yàn)镽，可得f（x）=2a﹣2和f（x）=2a+1都至少有一個(gè)零點(diǎn)，要使函數(shù)y=f（f（x）﹣2a）有兩個(gè)零點(diǎn)，必滿足f（x）=2a﹣2和f（x）=2a+1各有一個(gè)零點(diǎn)．【解答】解：函數(shù)y=的定義域是（0，+∞），令y′＞0，解得：0＜x＜e，令y′＜0，解得：x＞e，故函數(shù)y=在（0，e）遞增，在（e，+∞）遞減，故x=e時(shí)，函數(shù)y=取得最大值，最大值是，函數(shù)y=x2﹣4（x≤0）是拋物線的一部分．∴函數(shù)f（x）=的圖象如下：令y=f（f（x）﹣2a）=0?f（x）﹣2a=﹣2或f（x）﹣2a=1，?f（x）=2a﹣2或f（x）=2a+1，∵函數(shù)函數(shù)f（x）=的值域?yàn)镽，∴f（x）=2a﹣2和f（x）=2a+1都至少有一個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)y=f（f（x）﹣2a）有兩個(gè)零點(diǎn)，則必滿足f（x）=2a﹣2和f（x）=2a+1各有一個(gè)零點(diǎn)．∵2a+1＞2a﹣3，∴2a﹣2＜﹣4且2a+1＞?a∈?，故答案為?【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用數(shù)形結(jié)合的思想求解函數(shù)的零點(diǎn)問題，同時(shí)也考查了函數(shù)的單調(diào)性及分類討論思想，屬于難題．14.過兩平行平面α、β外的點(diǎn)P兩條直線AB與CD，它們分別交α于A、C兩點(diǎn)，交β于B、D兩點(diǎn)，若PA＝6，AC＝9，PB＝8，則ＢD的長(zhǎng)為_______．參考答案：12略15.已知A＝{x|x2－2x－3>0}，B＝{x|x2＋ax＋b≤0}，若A∪B＝R，A∩B＝(3,4],則a＝

,b＝

.參考答案：16.某單位有40名職工，現(xiàn)從中抽取5名職工，統(tǒng)計(jì)他們的體重，獲得體重?cái)?shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示，則該樣本的標(biāo)準(zhǔn)差為．參考答案：【考點(diǎn)】極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差；莖葉圖．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】先求出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再求出樣本數(shù)據(jù)方差，由此能求出該樣本的標(biāo)準(zhǔn)差．【解答】解：樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)==69，樣本數(shù)據(jù)方差S2=[（59﹣69）2+（62﹣69）2+（70﹣69）2+（73﹣69）2+（81﹣69）2]=62，∴該樣本的標(biāo)準(zhǔn)差為S=．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意方差公式的合理運(yùn)用．17.點(diǎn)是曲線上的點(diǎn)，則的最大值和最小值的差是_____．參考答案：8【分析】先將曲線方程化簡(jiǎn)整理，得到其參數(shù)方程，表示出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求出結(jié)果.【詳解】由可得，所以該曲線的參數(shù)方程為，（其中為參數(shù)）因?yàn)闉樵撉€上一點(diǎn)，所以，因此，因?yàn)椋?，，因此?故答案為8【點(diǎn)睛】本題主要考查曲線的參數(shù)方程的應(yīng)用，以及三角函數(shù)的性質(zhì)，熟記橢圓的參數(shù)方程以及正弦函數(shù)的性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在四棱錐中，AB∥CD，M為SB的中點(diǎn)，面SAB.（1）求證：CM∥面SAD；（2）求證：；（3）求四棱錐的體積.參考答案：（3）；19.如下圖，某隧道設(shè)計(jì)為雙向四車道，車道總寬20m，要求通行車輛限高5m，隧道全長(zhǎng)2.5km，隧道的兩側(cè)是與地面垂直的墻，高度為3米，隧道上部拱線近似地看成半個(gè)橢圓．（1）若最大拱高h(yuǎn)為6m，則隧道設(shè)計(jì)的拱寬l是多少？（2）若要使隧道上方半橢圓部分的土方工程量最小，則應(yīng)如何設(shè)計(jì)拱高h(yuǎn)和拱寬l？（已知：橢圓+=1的面積公式為S=，柱體體積為底面積乘以高.）（3）為了使隧道內(nèi)部美觀，要求在拱線上找兩個(gè)點(diǎn)M、N，使它們所在位置的高度恰好是限高5m，現(xiàn)以M、N以及橢圓的左、右頂點(diǎn)為支點(diǎn)，用合金鋼板把隧道拱線部分連接封閉，形成一個(gè)梯形，若

=30m，梯形兩腰所在側(cè)面單位面積的鋼板造價(jià)與梯形頂部單位面積鋼板造價(jià)相同且為定值，試確定M、N的位置以及的值，使總造價(jià)最少.參考答案：解：（1）如下圖建立直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)P（10，2）在橢圓上，令橢圓方程為+=1.將b=h-3=3與點(diǎn)P坐標(biāo)代入橢圓方程，得a=，此時(shí)=2a=,因此隧道的拱寬約為

m.（2）要使隧道上方半橢圓部分的土方工程量最小，由柱體的體積公式可知：只需半橢圓的面積最小即可．由橢圓方程+=1，得+=1.因?yàn)?≥，即ab≥40，所以半橢圓面積S=≥.當(dāng)S取最小值時(shí)，有==，得a=10，b=.此時(shí)l=2a=20，

h=b+3=+3故當(dāng)拱高為(+3)m、拱寬為20m時(shí)，隧道上方半橢圓部分的土方工程量最小

（3）根據(jù)題意設(shè)要使總造價(jià)最低，只要梯形的兩腰長(zhǎng)與上底長(zhǎng)之和最短即可，令這個(gè)和為，則，的幾何意義是點(diǎn)（x，0）到點(diǎn)（0,0）和點(diǎn)（15,2）的距離和的兩倍，答：，總造價(jià)最小。20.某校1000名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如右圖所示，其中成績(jī)分組區(qū)間是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求圖中a的值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這1000名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分；（3）若數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)趨^(qū)間[72，88]上的評(píng)為良好，在88分以上的評(píng)為優(yōu)秀，試估計(jì)該校約有多少學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)可評(píng)為良好，多少評(píng)為優(yōu)秀？參考答案：【考點(diǎn)】頻率分布直方圖．【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖所有小矩形的面積之和為1，求a．（2）根據(jù)平均數(shù)公式計(jì)算即可，（3）數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)趨^(qū)間[72，88]上的人數(shù)，在88分以上的人數(shù)，然后求解該校約有多少學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)可評(píng)為良好，評(píng)為優(yōu)秀．【解答】解：（1）由頻率分布圖可知：（2a+0.02+0.03+0.04）×10=1?a=0.005…（2）由頻率分布圖可得該校1000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)平均分為55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73…（3）數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)趨^(qū)間[72，80]的人數(shù)約為：數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)趨^(qū)間[80，88]的人數(shù)約為：∴成績(jī)?cè)u(píng)為良好的學(xué)生數(shù)約為：240+160=400；成績(jī)?cè)u(píng)為優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)約為∴評(píng)為良好的人數(shù)約為400人，評(píng)為優(yōu)秀的人數(shù)約為90人…【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻率分布估計(jì)總體分布，解題的關(guān)鍵是理解頻率分布直方圖，熟練掌握頻率分布直方圖的性質(zhì)，且能根據(jù)所給的數(shù)據(jù)建立恰當(dāng)?shù)姆匠糖蠼猓?1.名同學(xué)排隊(duì)照相．(1)若排成一排照，甲、乙、丙三人必須相鄰，有多少種不同的排法？（用數(shù)字作答）(2)若排成一排照，人中有名男生，名女生，女生不能相鄰，有多少種不面的排法？（用數(shù)字作答）參考答案：(1)第一步，將甲、乙、丙視為一個(gè)元素，有其余個(gè)元素排成一排，即看成個(gè)元素的全排列問題，有種排法；第二步，甲、乙、丙三人內(nèi)部全排列，有種排法．由分步計(jì)數(shù)原理得，共有種排法．(2)第一步，名男生全排列，有種排法；第二步，女生插空，即將名女生插入名男生之間的個(gè)空位，這樣可保證女生不相鄰，易知有種插入方法．由分步計(jì)數(shù)原理得，符合條件的排法共有：種．略22.已知直線l過點(diǎn)（1，4）．（1）若直線l與直線l1：y=2x平行，求直線l的方程并求l與l1間的距離；（2）若直線l在x軸與y軸上的截距均為a，且a≠0，求a的值．參考答案：【考點(diǎn)】直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系；直線的截距式方程．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；