2023年全國高考理科數(shù)學(xué)試題分類匯編14：導(dǎo)數(shù)與積分

2023年全國高考理科數(shù)學(xué)試題分類匯編14：導(dǎo)數(shù)與積分一、選擇題AUTONUM\*Arabic．〔2023年高考湖北卷〔理〕〕為常數(shù),函數(shù)有兩個極值點,那么〔〕A．B．C．D．【答案】DAUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)Ⅱ卷數(shù)學(xué)〔理〕〔純WORD版含答案〕〕函數(shù),以下結(jié)論中錯誤的是〔〕A．R,B．函數(shù)的圖像是中心對稱圖形C．假設(shè)是的極小值點,那么在區(qū)間上單調(diào)遞減D．假設(shè)是的極值點,那么【答案】CAUTONUM\*Arabic．〔2023年高考江西卷〔理〕〕假設(shè)那么的大小關(guān)系為〔〕A．B．C．D．【答案】BAUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學(xué)〔理〕試題〔WORD版〕〕設(shè)函數(shù)〔〕A．有極大值,無極小值B．有極小值,無極大值C．既有極大值又有極小值D．既無極大值也無極小值【答案】DAUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學(xué)〔理〕試題〔純WORD版〕〕設(shè)函數(shù)的定義域為R,是的極大值點,以下結(jié)論一定正確的是〔〕A．B．是的極小值點C．是的極小值點D．是的極小值點【答案】DAUTONUM\*Arabic．〔2023年高考北京卷〔理〕〕直線l過拋物線C:x2=4y的焦點且與y軸垂直,那么l與C所圍成的圖形的面積等于〔〕A．B．2 C．D．【答案】CAUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學(xué)〔理〕試題〔純WORD版〕〕為自然對數(shù)的底數(shù),設(shè)函數(shù),那么〔〕A．當(dāng)時,在處取得極小值B．當(dāng)時,在處取得極大值C．當(dāng)時,在處取得極小值D．當(dāng)時,在處取得極大值【答案】C二、填空題AUTONUM\*Arabic．〔2023年高考江西卷〔理〕〕設(shè)函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo),且,那么______________【答案】2AUTONUM\*Arabic．〔2023年高考湖南卷〔理〕〕假設(shè)_________.【答案】3AUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學(xué)〔理〕卷〔純WORD版〕〕假設(shè)曲線在點處的切線平行于軸,那么______.【答案】三、解答題AUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)Ⅱ卷數(shù)學(xué)〔理〕〔純WORD版含答案〕〕函數(shù).(Ⅰ)設(shè)是的極值點,求,并討論的單調(diào)性;(Ⅱ)當(dāng)時,證明.【答案】AUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學(xué)〔理〕試題〔WORD版〕〕函數(shù)(=1\*ROMANI)求證:(=2\*ROMANII)假設(shè)恒成立,求實數(shù)取值范圍.請考生在第22、23、24三題中任選一題做答,如果多做,那么按所做的第一題計分.作答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)題號下方的方框涂黑.【答案】AUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷〔數(shù)學(xué)〕〔已校對純WORD版含附加題〕〕本小題總分值16分.設(shè)函數(shù),,其中為實數(shù).(1)假設(shè)在上是單調(diào)減函數(shù),且在上有最小值,求的取值范圍;(2)假設(shè)在上是單調(diào)增函數(shù),試求的零點個數(shù),并證明你的結(jié)論.卷Ⅱ附加題局部答案word版[選做題]第21題,此題包括A、B、C、D四小題,請選定其中兩題,并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答,假設(shè)多做,那么按作答的前兩題評分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.【答案】解:(1)由即對恒成立,∴而由知<1∴由令那么當(dāng)<時<0,當(dāng)>時>0,∵在上有最小值∴>1∴>綜上所述:的取值范圍為(2)證明:∵在上是單調(diào)增函數(shù)∴即對恒成立,∴而當(dāng)時,>∴分三種情況:(Ⅰ)當(dāng)時,>0∴f(x)在上為單調(diào)增函數(shù)∵∴f(x)存在唯一零點(Ⅱ)當(dāng)<0時,>0∴f(x)在上為單調(diào)增函數(shù)∵<0且>0∴f(x)存在唯一零點(Ⅲ)當(dāng)0<時,,令得∵當(dāng)0<<時,>0;>時,<0∴為最大值點,最大值為①當(dāng)時,,,有唯一零點②當(dāng)>0時,0<,有兩個零點實際上,對于0<,由于<0,>0且函數(shù)在上的圖像不間斷∴函數(shù)在上有存在零點另外,當(dāng),>0,故在上單調(diào)增,∴在只有一個零點下面考慮在的情況,先證<0為此我們要證明:當(dāng)>時,>,設(shè),那么,再設(shè)∴當(dāng)>1時,>-2>0,在上是單調(diào)增函數(shù)故當(dāng)>2時,>>0從而在上是單調(diào)增函數(shù),進(jìn)而當(dāng)>時,>>0即當(dāng)>時,>,當(dāng)0<<時,即>e時,<0又>0且函數(shù)在上的圖像不間斷,∴函數(shù)在上有存在零點,又當(dāng)>時,<0故在上是單調(diào)減函數(shù)∴函數(shù)在只有一個零點綜合(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)知:當(dāng)時,的零點個數(shù)為1;當(dāng)0<<時,的零點個數(shù)為2AUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學(xué)〔理〕卷〔純WORD版〕〕設(shè)函數(shù)(其中).(Ⅰ)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)當(dāng)時,求函數(shù)在上的最大值.【答案】(Ⅰ)當(dāng)時,,令,得,當(dāng)變化時,的變化如下表:極大值極小值右表可知,函數(shù)的遞減區(qū)間為,遞增區(qū)間為,.(Ⅱ),令,得,,令,那么,所以在上遞增,所以,從而,所以所以當(dāng)時,;當(dāng)時,;所以令,那么,令,那么所以在上遞減,而所以存在使得,且當(dāng)時,,當(dāng)時,,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.因為,,所以在上恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)時取得“〞.綜上,函數(shù)在上的最大值.AUTONUM\*Arabic．〔2023年高考江西卷〔理〕〕函數(shù),為常數(shù)且.(1) 證明:函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱;(2) 假設(shè)滿足,但,那么稱為函數(shù)的二階周期點,如果有兩個二階周期點試確定的取值范圍;(3) 對于(2)中的和,設(shè)x3為函數(shù)f(f(x))的最大值點,A(x1,f(f(x1))),B(x2,f(f(x2))),C(x3,0),記△ABC的面積為S(a),討論S(a)的單調(diào)性.【答案】(1)證明:因為,有,所以函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱.(2)解:當(dāng)時,有所以只有一個解,又,故0不是二階周期點.當(dāng)時,有所以有解集,又當(dāng)時,,故中的所有點都不是二階周期點.當(dāng)時,有所以有四個解,又,,故只有是的二階周期點.綜上所述,所求的取值范圍為.(3)由(2)得,因為為函數(shù)的最大值點,所以或.當(dāng)時,.求導(dǎo)得:,所以當(dāng)時,單調(diào)遞增,當(dāng)時單調(diào)遞減;當(dāng)時,,求導(dǎo)得:,因,從而有,所以當(dāng)時單調(diào)遞增.AUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試重慶數(shù)學(xué)〔理〕試題〔含答案〕〕設(shè),其中,曲線在點處的切線與軸相交于點.(1)確定的值;(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.【答案】AUTONUM\*Arabic．〔2023年高考四川卷〔理〕〕函數(shù),其中是實數(shù).設(shè),為該函數(shù)圖象上的兩點,且.(Ⅰ)指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)假設(shè)函數(shù)的圖象在點處的切線互相垂直,且,求的最小值;(Ⅲ)假設(shè)函數(shù)的圖象在點處的切線重合,求的取值范圍.【答案】解:函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知,點A處的切線斜率為,點B處的切線斜率為,故當(dāng)點A處的切線與點B處的切垂直時,有.當(dāng)時,對函數(shù)求導(dǎo),得.因為,所以,所以.因此當(dāng)且僅當(dāng)==1,即時等號成立.所以函數(shù)的圖象在點處的切線互相垂直時,的最小值為1當(dāng)或時,,故.當(dāng)時,函數(shù)的圖象在點處的切線方程為,即當(dāng)時,函數(shù)的圖象在點處的切線方程為,即.兩切線重合的充要條件是由①及知,.由①②得,.設(shè),那么.所以是減函數(shù).那么,所以.又當(dāng)且趨近于時,無限增大,所以的取值范圍是.故當(dāng)函數(shù)的圖像在點處的切線重合時,的取值范圍是AUTONUM\*Arabic．〔2023年高考湖南卷〔理〕〕,函數(shù).(=1\*ROMANI)記求的表達(dá)式;(=2\*ROMANII)是否存在,使函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的圖像上存在兩點,在該兩點處的切線相互垂直?假設(shè)存在,求的取值范圍;假設(shè)不存在,請說明理由.【答案】解:(Ⅰ)(=2\*ROMANII)由前知,y=f(x)的圖像是由兩段反比例函數(shù)的圖像組成的.因此,假設(shè)在圖像上存在兩點滿足題目要求,那么P,Q分別在兩個圖像上,且.不妨設(shè)所以,當(dāng)時,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的圖像上存在兩點,在該兩點處的切線相互垂直.AUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學(xué)〔理〕試題〔純WORD版〕〕函數(shù)(1)當(dāng)時,求曲線在點處的切線方程;(2)求函數(shù)的極值.【答案】解:函數(shù)的定義域為,.(Ⅰ)當(dāng)時,,,,在點處的切線方程為,即.(Ⅱ)由可知:①當(dāng)時,,函數(shù)為上的增函數(shù),函數(shù)無極值;②當(dāng)時,由,解得;時,,時,在處取得極小值,且極小值為,無極大值.綜上:當(dāng)時,函數(shù)無極值當(dāng)時,函數(shù)在處取得極小值,無極大值.AUTONUM\*Arabic．〔2023年高考新課標(biāo)1〔理〕〕(本小題總分值共12分)函數(shù)=,=,假設(shè)曲線和曲線都過點P(0,2),且在點P處有相同的切線(Ⅰ)求,,,的值;(Ⅱ)假設(shè)≥-2時,≤,求的取值范圍.【答案】(Ⅰ)由得,而=,=,∴=4,=2,=2,=2;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,設(shè)函數(shù)==(),==,有題設(shè)可得≥0,即,令=0得,=,=-2,(1)假設(shè),那么-2<≤0,∴當(dāng)時,<0,當(dāng)時,>0,即在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,故在=取最小值,而==≥0,∴當(dāng)≥-2時,≥0,即≤恒成立,(2)假設(shè),那么=,∴當(dāng)≥-2時,≥0,∴在(-2,+∞)單調(diào)遞增,而=0,∴當(dāng)≥-2時,≥0,即≤恒成立,(3)假設(shè),那么==<0,∴當(dāng)≥-2時,≤不可能恒成立,綜上所述,的取值范圍為[1,].AUTONUM\*Arabic．〔2023年高考湖北卷〔理〕〕設(shè)是正整數(shù),為正有理數(shù).(=1\*ROMANI)求函數(shù)的最小值;(=2\*ROMANII)證明:;(=3\*ROMANIII)設(shè),記為不小于的最小整數(shù),例如,,.令,求的值.(參考數(shù)據(jù):,,,)【答案】證明:(=1\*ROMANI)在上單減,在上單增.(=2\*ROMANII)由(=1\*ROMANI)知:當(dāng)時,(就是伯努利不等式了)所證不等式即為:假設(shè),那么=1\*GB3①,,故=1\*GB3①式成立.假設(shè),顯然成立.=2\*GB3②,,故=2\*GB3②式成立.綜上可得原不等式成立.(=3\*ROMANIII)由(=2\*ROMANII)可知:當(dāng)時,AUTONUM\*Arabic．〔2023年高考陜西卷〔理〕〕函數(shù).(Ⅰ)假設(shè)直線y=kx+1與f(x)的反函數(shù)的圖像相切,求實數(shù)k的值;(Ⅱ)設(shè)x>0,討論曲線y=f(x)與曲線公共點的個數(shù).(Ⅲ)設(shè)a<b,比擬與的大小,并說明理由.【答案】解:(Ⅰ)f(x)的反函數(shù).設(shè)直線y=kx+1與相切與點.所以(Ⅱ)當(dāng)x>0,m>0時,曲線y=f(x)與曲線的公共點個數(shù)即方程根的個數(shù).由,那么h(x)在h(x).所以對曲線y=f(x)與曲線公共點的個數(shù),討論如下:當(dāng)m時,有0個公共點;當(dāng)m=,有1個公共點;當(dāng)m有2個公共點;(Ⅲ)設(shè)令.,且.所以AUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試山東數(shù)學(xué)〔理〕試題〔含答案〕〕設(shè)函數(shù)(=2.71828是自然對數(shù)的底數(shù),).(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間、最大值;(Ⅱ)討論關(guān)于的方程根的個數(shù).【答案】解:(Ⅰ),由,解得,當(dāng)時,,單調(diào)遞減所以,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是,最大值為(Ⅱ)令(1)當(dāng)時,,那么,所以,因為,所以因此在上單調(diào)遞增.(2)當(dāng)時,當(dāng)時,,那么,所以,因為,,又所以所以因此在上單調(diào)遞減.綜合(1)(2)可知當(dāng)時,,當(dāng),即時,沒有零點,故關(guān)于的方程根的個數(shù)為0;當(dāng),即時,只有一個零點,故關(guān)于的方程根的個數(shù)為1;當(dāng),即時,=1\*GB3①當(dāng)時,由(Ⅰ)知要使,只需使,即;=2\*GB3②當(dāng)時,由(Ⅰ)知;要使,只需使,即;所以當(dāng)時,有兩個零點,故關(guān)于的方程根的個數(shù)為2;綜上所述:當(dāng)時,關(guān)于的方程根的個數(shù)為0;當(dāng)時,關(guān)于的方程根的個數(shù)為1;當(dāng)時,關(guān)于的方程根的個數(shù)為2.AUTONUM\*Arabic．〔2023年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學(xué)〔理〕試題〔純WORD版〕〕,函數(shù)(1)求曲線在點處的切線方程;(2)當(dāng)時,求的最大值.【答案】解:(Ⅰ)由得:,且,所以所求切線方程為:,即為:;(Ⅱ)由得到:,其中,當(dāng)時,,(1)當(dāng)時,,所以在上遞減,所以,因為;(2)當(dāng),即時,恒成立,所以在上遞增,所以,因為;(3)當(dāng),即時, ,且,即2+0-0+遞增極大值遞減極小值遞增所以,且所以,所以;由,所以(ⅰ)當(dāng)時,,所以時,遞增,時,遞減,所以,因為,又因為,所以,所以,所以(ⅱ)當(dāng)時,,所以,因為,