2023年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模C題月上柳梢頭

高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽承諾書我們仔細(xì)閱讀了?全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽章程?和?全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽參賽規(guī)那么?〔以下簡(jiǎn)稱為“競(jìng)賽章程和參賽規(guī)那么〞，可從全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽網(wǎng)站下載〕。我們完全明白，在競(jìng)賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式〔包括、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等〕與隊(duì)外的任何人〔包括指導(dǎo)教師〕研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽章程和參賽規(guī)那么的，如果引用別人的成果或其他公開的資料〔包括網(wǎng)上查到的資料〕，必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽章程和參賽規(guī)那么，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽章程和參賽規(guī)那么的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們授權(quán)全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽組委會(huì)，可將我們的論文以任何形式進(jìn)行公開展示〔包括進(jìn)行網(wǎng)上公示，在書籍、期刊和其他媒體進(jìn)行正式或非正式發(fā)表等〕。我們參賽選擇的題號(hào)〔從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫〕：我們的報(bào)名參賽隊(duì)號(hào)〔12位數(shù)字全國統(tǒng)一編號(hào)〕：參賽學(xué)校〔完整的學(xué)校全稱，不含院系名〕：參賽隊(duì)員(打印并簽名)：1.2.3.指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人(打印并簽名)：日期：年月日〔此承諾書打印簽名后作為紙質(zhì)論文的封面，注意電子版論文中不得出現(xiàn)此頁。以上內(nèi)容請(qǐng)仔細(xì)核對(duì)，特別是參賽隊(duì)號(hào)，如填寫錯(cuò)誤，論文可能被取消評(píng)獎(jiǎng)資格?！迟悈^(qū)評(píng)閱編號(hào)〔由賽區(qū)組委會(huì)填寫〕：2023高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽編號(hào)專用頁賽區(qū)評(píng)閱記錄〔可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用〕：評(píng)閱人備注送全國評(píng)獎(jiǎng)統(tǒng)一編號(hào)〔由賽區(qū)組委會(huì)填寫〕：全國評(píng)閱統(tǒng)一編號(hào)〔由全國組委會(huì)填寫〕：此編號(hào)專用頁僅供賽區(qū)和全國評(píng)閱使用，參賽隊(duì)打印后裝訂到紙質(zhì)論文的第二頁上。注意電子版論文中不得出現(xiàn)此頁，即電子版論文的第一頁為標(biāo)題和摘要頁。月上柳梢頭摘要北宋歐陽修膾炙人口的詩句“月上柳梢頭，人約黃昏后〞描寫了詩人與佳人相約的情景，同時(shí)又隱含了相關(guān)天文學(xué)的知識(shí)，情景交融又富含哲理，被世人廣為流傳。本文首先從天文學(xué)的角度對(duì)該詩句進(jìn)行賞析，然后從詩人描寫的情景出發(fā)利用相關(guān)的根本天文學(xué)、物理學(xué)、知識(shí)在適當(dāng)簡(jiǎn)化的根底上建立了數(shù)學(xué)模型。一年當(dāng)中同一地點(diǎn)每天日落月出的時(shí)間均不同，而且同一時(shí)間不同地點(diǎn)日落月出的時(shí)間也不同，我們把一年當(dāng)中日期的變化轉(zhuǎn)換成太陽直射點(diǎn)高度的變化〔-23.26°至23.26°〕，把地理位置的不同用經(jīng)緯度來描述，這樣不同日期不同地點(diǎn)日落月出的時(shí)間就可以寫成一個(gè)關(guān)于緯度α、經(jīng)度β、太陽直射高度γ的多元函數(shù)Tsun〔α，β，γ〕和Tmoon〔α，β，γ〕。由于月上柳梢和黃昏同時(shí)發(fā)生，所以Tsun〔α，β，γ〕與Tmoon〔α，β，γ〕時(shí)間差在一個(gè)很小的范圍之間。而且，經(jīng)過人們長(zhǎng)時(shí)間的觀察結(jié)果顯示，日落月出同時(shí)發(fā)生，也就是說地球太陽月球三者共線的時(shí)間只能在農(nóng)歷的每月15號(hào)，再利用Maple數(shù)學(xué)計(jì)算軟件編寫相應(yīng)的程序就可以計(jì)算出地球上任意一位置在農(nóng)歷每月15號(hào)能否發(fā)生“月上柳梢頭，人約黃昏后〞本文根據(jù)相關(guān)的天文學(xué)資料驗(yàn)證了我們所建的模型在一定的誤差范圍內(nèi)是合理的，并且預(yù)測(cè)2023年農(nóng)歷8月15號(hào)可以發(fā)生“月上柳梢頭，人約黃昏后〞這一場(chǎng)景，根據(jù)模型判斷出2023年哈爾濱、上海、昆明、成都可以發(fā)生這一場(chǎng)景，烏魯木齊不能發(fā)生這一場(chǎng)景。最后對(duì)所建模型及求解方法的優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行客觀評(píng)價(jià)，并提出了相應(yīng)的改進(jìn)方法。關(guān)鍵詞：Maple、經(jīng)緯度、日落時(shí)間函數(shù)、月出時(shí)間函數(shù)、線性規(guī)劃一、問題的重述“月上柳梢頭，人約黃昏后〞是北宋學(xué)者歐陽修的名句，寫的是與佳人相約的情景。請(qǐng)用天文學(xué)的觀點(diǎn)賞析該名句，并進(jìn)行如下的討論：定義“月上柳梢頭〞時(shí)月亮在空中的角度和什么時(shí)間稱為“黃昏后〞。根據(jù)天文學(xué)的根本知識(shí)，在適當(dāng)簡(jiǎn)化的根底上，建立數(shù)學(xué)模型，分別確定“月上柳梢頭〞和“人約黃昏后〞發(fā)生的日期與時(shí)間。并根據(jù)已有的天文資料〔如太陽和月亮在天空中的位置、日出日沒時(shí)刻、月出月沒時(shí)刻〕驗(yàn)證所建模型的合理性。根據(jù)所建立的模型，分析2023年北京地區(qū)“月上柳梢頭，人約黃昏后〞發(fā)生的日期與時(shí)間。根據(jù)模型判斷2023年在哈爾濱、上海、廣州、昆明、成都、烏魯木齊是否能發(fā)生這一情景？如果能，請(qǐng)給出相應(yīng)的日期與時(shí)間；如果不能，請(qǐng)給出原因。二、根本假設(shè)1.不考慮月食的形成。2.假設(shè)天氣晴朗，便于觀察。3.假設(shè)地面平整，不考慮高山、建筑物對(duì)觀察的影響。4.將一個(gè)城市看成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)。5.不考慮太陽落山時(shí)云層對(duì)太陽光線的散射效應(yīng)。三、符號(hào)約定1.α緯度2.β經(jīng)度3.γsun1一二季度太陽直射點(diǎn)高度函數(shù)(-23.26°~23.26°)4.γsun2三四季度太陽直射點(diǎn)的高度函數(shù)(-23.26°~23.26°)5.γmoon1前半個(gè)月月亮直射的高度函數(shù)(-5.1°~5.1°)6.γmoon2后半個(gè)月月亮直射點(diǎn)的高度函數(shù)(-5.1°~5.1°)7.Tsun日落時(shí)間函數(shù)8.Tmoon月出時(shí)間函數(shù)9.n1該天在前兩個(gè)季度或后兩個(gè)季度中天的序數(shù)〔譬如5月5日，它是第二季度中的第五天，n1=105〕10.n2前半個(gè)月或者后半個(gè)月天的序數(shù)〔譬如5月17號(hào)，n2=2〕11.θ月球每小時(shí)相對(duì)于地球轉(zhuǎn)過的弧度12.DT日落月出時(shí)間差的絕對(duì)值四、問題分析1.詩文賞析?生查子·元夕?歐陽修去年元夜時(shí)，花市燈如晝。月上柳梢頭，人約黃昏后。今年元夜時(shí)，月與燈依舊。

不見去年人，淚濕春衫袖。圖一“月上柳梢頭，人約黃昏后〞意境圖這首詞是一首相思詞，寫去年與情人相會(huì)的甜蜜與今日不見情人的痛苦，明白如話，饒有韻味，也寫出了情人的美麗和當(dāng)日相戀時(shí)的溫馨甜蜜，又寫出了今日伊人不見的悵惘和憂傷。其中這句“月上柳梢頭，人約黃昏后〞隱含天文學(xué)的相關(guān)知識(shí)，間接的告訴了我們?cè)娙伺c佳人約會(huì)的時(shí)間，此時(shí)正好是農(nóng)歷正月十五日太陽剛落山月亮剛升起的黃昏佳時(shí)?！霸律狭翌^，人約黃昏后〞二句言有盡而意無窮。柔情密意溢于言表。2.月亮在空中的角度和黃昏后時(shí)間的定義假設(shè)柳樹高度為5m，人距柳樹的距離20米,人的身高為1.7m,根據(jù)三角函數(shù)和相似三角形根本數(shù)學(xué)知識(shí)求出月亮在空中的角度為9.36°.根據(jù)天文學(xué)知識(shí)和日常觀察經(jīng)驗(yàn)定義黃昏后時(shí)間為日落到月出的時(shí)間差或者月出到日落的時(shí)間差，不超過10分鐘。日落時(shí)間的計(jì)算以地球中心為原點(diǎn)O,赤道所在平面為XY平面,東經(jīng)120度指向西經(jīng)60度為Y軸正方向.球心指向北極為Z軸正方向.有了Y軸與Z軸就可定X軸的方向(從東經(jīng)30度指向西經(jīng)150度)。球面方程:X2+Y2+Z2=1(設(shè)地球直徑為1)由于地球繞太陽運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)地軸與黃道平面存在一夾角〔23o26、〕，所以會(huì)導(dǎo)致太陽直射點(diǎn)在北回歸線與南回歸線之間變化。這時(shí)晨昏線與經(jīng)線就會(huì)存在一定的偏差，因此我們對(duì)這一偏差做坐標(biāo)變換進(jìn)行修訂如下：日出日落時(shí)刻圈方程:Y2+Z'2=1(Z'以Z軸作坐標(biāo)變換)Z’=Z*sin(γ+90)其中，γsun1=23.26*n1γsun2=(23.26-23.26*n1求緯度為α度時(shí)日落時(shí)刻與同經(jīng)度下赤道上點(diǎn)的日落時(shí)間的差值.先解出緯度為α度時(shí)對(duì)應(yīng)的X,Y坐標(biāo).x=y=[-(1-所以，日落時(shí)間我們可以寫成如下形式，下式中的常數(shù)14代表經(jīng)緯度都為0時(shí)日落的時(shí)間，第二項(xiàng)的含義是由經(jīng)度引起的時(shí)間修正，第三項(xiàng)代表同一經(jīng)度上由維度的變化引起的時(shí)間修正4.月出時(shí)間的計(jì)算類比日落時(shí)間的計(jì)算方法，我們就可以寫月出時(shí)間關(guān)于經(jīng)緯度及號(hào)數(shù)的函數(shù)，但是，在計(jì)算月初時(shí)間時(shí)由于地球在自轉(zhuǎn)的同時(shí)月球還在繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)，所以月亮相對(duì)于地球公轉(zhuǎn)的角速度速度為地球自傳角速度減月球繞地球公轉(zhuǎn)的角速度，如此，我們就可計(jì)算出每小時(shí)內(nèi)月亮相對(duì)于地球轉(zhuǎn)過的角度為：同樣的方法我們就可以求解出緯度為α度時(shí)對(duì)應(yīng)的X,Y坐標(biāo)其中，γmoon1=5.1γmoon1=5.1-5.129.6所以，月出時(shí)間我們可以寫成如下形式，下式中的常數(shù)2代表經(jīng)緯度都為0時(shí)1號(hào)月出的時(shí)間，第二項(xiàng)代表每月號(hào)數(shù)不同引起的時(shí)間變化修正，第三項(xiàng)的含義是由經(jīng)度引起的時(shí)間修正，第四項(xiàng)代表同一經(jīng)度上由維度的變化引起的時(shí)間修正5.月出日落時(shí)間差根據(jù)3，4中得出的日落和月出的時(shí)間函數(shù)式，我們將其作差，取絕對(duì)值。如果該差值的差值的變化范圍恰好小于等于我們剛開始定義的“月上柳梢頭，人約黃昏后〞這一場(chǎng)景的時(shí)間段，那么，可以發(fā)生“月上柳梢頭，人約黃昏后〞這一現(xiàn)象。經(jīng)過人們長(zhǎng)時(shí)間的觀察結(jié)果顯示，日落月出同時(shí)發(fā)生，也就是說地球太陽月球三者共線的時(shí)間只能在農(nóng)歷的每月15號(hào)，再利用Maple數(shù)學(xué)計(jì)算軟件編寫相應(yīng)的程序以計(jì)算出北京在農(nóng)歷每月15號(hào)日落月出的時(shí)間差，并畫出了直觀的點(diǎn)狀圖，如下：根據(jù)前面“月上柳梢頭，人約黃昏后〞這一場(chǎng)景的時(shí)間段的定義及上圖可知，北京地區(qū)在2023年農(nóng)歷4月15日和9月15日可發(fā)生上述現(xiàn)象。6.模型的檢驗(yàn)及預(yù)測(cè)根據(jù)相關(guān)的文學(xué)資料，詩人寫此詩的地點(diǎn)為今湖北宜昌附近，時(shí)間為農(nóng)歷正月15日，根據(jù)宜昌的經(jīng)緯度我們計(jì)算出詩人寫詩那一天的日落時(shí)間為17:58，月出時(shí)間為18:07，時(shí)間差為9分鐘，在一定的誤差范圍內(nèi)可以發(fā)生詩人所描繪的場(chǎng)景，所以我們所建的模型根本正確。并預(yù)測(cè)出了題目第二問中列舉的六個(gè)城市在農(nóng)歷每月15號(hào)日落月出的時(shí)間差，見以下圖：根據(jù)圖形可以預(yù)測(cè)出上海、哈爾濱、烏魯木齊三地區(qū)地區(qū)在農(nóng)歷4月15和9月15可發(fā)生“月上柳梢頭，人約黃昏后〞這一場(chǎng)景，廣州、成都、昆明可在農(nóng)歷4月15，5月15,8月15日，9月15可發(fā)生“月上柳梢頭，人約黃昏后〞這一場(chǎng)景。五、模型評(píng)價(jià)及改進(jìn)本文圍繞“月上柳梢頭，人約黃昏后〞這一場(chǎng)景在不同地點(diǎn)發(fā)生的時(shí)間的計(jì)算展開。本文利用Maple計(jì)算軟件編程求解是該模型的一大優(yōu)點(diǎn)，大大簡(jiǎn)化了計(jì)算過程并提高了計(jì)算精度，另外本模型的思路較清晰，從根本的建立直角坐標(biāo)系開始，到推導(dǎo)日落月出時(shí)間的過程都詳細(xì)的給出了具體的計(jì)算方法和思考過程，而且，我們?cè)谟?jì)算時(shí)考慮到了白道平面與赤道平面的夾角及地軸的偏轉(zhuǎn)對(duì)日落月出時(shí)間造成的影響。所應(yīng)用的方法簡(jiǎn)單、易懂其實(shí)用性也很高。缺乏之處在于模型理想化，沒有全面的考慮太陽落山時(shí)云層對(duì)太陽光線的散射效應(yīng)以及期間可能發(fā)生的月食形成過程，只是具體的計(jì)算出了一些特殊的城市發(fā)生“月上柳梢頭，人約黃昏后〞這一場(chǎng)景的時(shí)間。我們方案后續(xù)會(huì)繼續(xù)考慮某一時(shí)間直接求解出可“月上柳梢頭，