2023年全國各地中考數(shù)學試卷分類匯編：矩形-菱形與正方形

2023中考數(shù)學矩形菱形與正方形一、選擇題1．〔2023江蘇揚州，7，3分〕如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分線交對角線AC于點F，垂足為E，連接DF，那么∠CDF等于〔〕．A．50°B．60°C．70°D．80°【答案】B．【解析】如圖，連接BF．在菱形ABCD中，∠BAD=80°，所以∠BAF=∠DAF=40°，△BAF≌△DAF，∠ADC=100°．因為EF的垂直平分AB，所以AF=BF=DF．所以∠ADF=∠DAF=40°．∠CDF=∠ADC－∠ADF=100°－40°=60°．所以應選B．【方法指導】特殊四邊形的性質(zhì)一直是中考命題的熱點，此題主要考查菱形的性質(zhì)．菱形是：①對角線互相垂直且平分；②四邊相等；③對角線平分對角，每一條對角線平分一組對角．【易錯警示】菱形的性質(zhì)與其它特殊四邊形的性質(zhì)混淆模糊，記憶不清、混淆是此題易出錯的主要原因．2.〔2023四川瀘州，11，2分〕如圖，點E是矩形ABCD的邊CD上一點，把沿AE對折，點D的對稱點F恰好落在BC上，折痕，且，那么該矩形的周長為〔〕A．72B．36C．20D．16【答案】A【解析】在矩形ABCD中，推理得到∠BAF＝∠EFC．由tan∠EFC＝，可設BF＝3x、AB＝4x，在Rt△ABF中，運用勾股定理得AF＝5x，∴AD＝BC＝5x，∴CF＝BC－BF＝5x－3x＝2x，∴CE＝CF?tan∠EFC＝2x×＝，∴DE＝CD－CE＝4x－＝，在Rt△ADE中，運用勾股定理求得x＝4，∴AB＝4×4＝16cm，AD＝5×4＝20〔cm〕，矩形的周長＝2〔16+20〕＝72〔cm〕．【方法指導】此題考查了矩形的對邊相等，四個角都是直角的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理的應用，根據(jù)正切值設出未知數(shù)并表示出圖形中的各線段是關鍵，也是難點所在．3.〔2023四川雅安，12，3分〕如圖，正方形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，△AEF是等邊三角形，連接AC交EF于G，以下結論：①BE＝DF，②∠DAF＝15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF＝EF，⑤S△CEF＝2S△ABE．其中正確的結論有()個A．2B．3【答案】C【解析】通過條件可以得出△ABE≌△ADF而得出∠BAE＝∠DAF，BE＝DF，由正方形的性質(zhì)就可以得出EC＝FC，就可以得出AC垂直平分EF，設EC＝x，BE＝y(tǒng)，由勾股定理就可以得出x與y的關系，表示出BE與EF，利用三角形的面積公式分別表示出S△CEF和2S△ABE再通過比擬大小而得出結論．【方法指導】此題考查了正方形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，等邊三角形的性質(zhì)的運用，三角形的面積公式的運用，解答此題時運用勾股定理的性質(zhì)解題時關鍵．4．〔2023山東德州，7，3分〕以下命題中，真命題是對角線相等的四邊形是等腰梯形對角線互相垂直且平分的四邊形是正方形對角線互相垂直的四邊形是菱形四個角相等的邊形是矩形【答案】D【解析】A、對角線相等的四邊形是等腰梯形，是假命題，如：對角線相等的四邊形可以是矩形等；B、對角線互相垂直且平分的四邊形是正方形是假命題，如：滿足條件的四邊形可以是菱形，但菱形不是正方形哦；D、四個角相等的邊形是矩形是假命題，如：滿足條件的四邊形可以是正方形，但要注意矩形與正方形是一般與特殊關系.【方法指導】此題考查了命題真、假的判斷.實際可以記住我們已經(jīng)學過的相關定義、定理、數(shù)學根本領實等，它們都是真命題.5．[2023山東菏澤，2，3分]2.如圖，把一個長方形的紙片按圖示對折兩次，然后剪下一局部，為了得到一個鈍角為120°的菱形，剪口與第二次折痕所成角的度數(shù)應為〔〕A．15°或30°B．30°或45°C．45°或60°D．30°或60°((第2題)【答案】D【解析】根據(jù)兩次折疊得到新的折痕，要使得到一個鈍角為120°的菱形，剪口與第二次折痕所成角的度數(shù)可以為30°或60°【方法指導】此題考查了軸對稱性質(zhì)、菱形的性質(zhì).解答過程可以進行動手操作得出結果.這里同時注意菱形的對角線互相垂直且每條對角線平分一組對角性質(zhì)的運用.6．[2023山東菏澤，7，3分]如圖，邊長為6的大正方形中有兩個小正方形，假設兩個小正方形的面積分別為S1、S2，那么S1+S2的值為〔〕SS2S1A．16B．17C．18D．19【答案】B．【解析】根據(jù)等腰直角三角形、勾股定理先求出面積分別為S1的邊唱是大正方形對角線的，S2正方形的邊長組成直角三角形斜邊長是大正方形對角線的一半.總分值解答：邊長為6的大正方形中，對角線長為.∴面積為S1小正方邊長為，面積S1==8；小正方S2=，∴S1+S2=8+9=17.應選B.【方法指導】此題主要考查正方形性質(zhì).熟悉正方形有關性質(zhì)是解題的關鍵.7.〔是真題嗎？〕4．〔2023四川涼山州，9，4分〕如圖，菱形中，，，那么以為邊長的正方形的周長為A．14 B．15 C．16 D．17BBACDFE〔第9題圖〕【答案】C.【解析】∵菱形，∴AB=BC?！?，∴△ABC是等邊三角形?！郃C=AB=4?！嘁詾檫呴L的正方形的周長為4×4=16。【方法指導】此題考查菱形的性質(zhì)四條邊都相等，等邊三角形的判定，有一個角是60度的等腰三角形是等邊三角形。正方形的性質(zhì)四邊都相等。8．〔2023湖北宜昌，7，3分〕如圖，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于點O，那么圖中等腰三角形的個數(shù)是〔〕A．8B．6C．4D．2考點：等腰三角形的判定；矩形的性質(zhì)．分析：根據(jù)矩形的對角線相等且互相平分可得AO=BO=CO=DO，進而得到等腰三角形．解答：解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AO=BO=CO=DO，∴△ABO，△BCO，△DCO，△ADO都是等腰三角形，應選：C．點評：此題主要考查了等腰三角形的判定，以及矩形的性質(zhì)，關鍵是掌握矩形的對角線相等且互相平分．9.．〔2023湖南婁底，6，3分〕以下命題中，正確的是〔〕A．平行四邊形的對角線相等B．矩形的對角線互相垂直C．菱形的對角線互相垂直且平分D．梯形的對角線相等考點：命題與定理．分析：根據(jù)菱形、平行四邊形、矩形、等腰梯形的性質(zhì)分別判斷得出即可．解答：解：A、根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分不相等，故此選項錯誤；B、矩形的對角線相等，不互相垂直，故此選項錯誤；C、根據(jù)菱形的性質(zhì)，菱形的對角線互相垂直且平分，故此選項正確；D、根據(jù)等腰梯形的對角線相等，故此選項錯誤；應選：C．點評：此題主要考查了菱形、平行四邊形、矩形、等腰梯形的性質(zhì)，熟練掌握相關定理是解題關鍵．10.．〔2023湖南張家界，6，3分〕順次連接等腰梯形四邊中點所得的四邊形一定是〔〕A．矩形B．正方形C．菱形D．直角梯形考點：中點四邊形．分析：根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)及中位線定理和菱形的判定，可推出四邊形為菱形．解答：解：如圖，：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E、F、G、H分別是各邊的中點，求證：四邊形EFGH是菱形．證明：連接AC、BD．∵E、F分別是AB、BC的中點，∴EF=AC．同理FG=BD，GH=AC，EH=BD，又∵四邊形ABCD是等腰梯形，∴AC=BD，∴EF=FG=GH=HE，∴四邊形EFGH是菱形．應選C．點評：此題主要考查了等腰梯形的性質(zhì)，三角形的中位線定理和菱形的判定．用到的知識點：等腰梯形的兩底角相等；三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半；四邊相等的四邊形是菱形．11．〔2023·聊城，5，3分〕以下命題中的真命題是〔〕A．三個角相等的四邊形是矩形B．對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形C．順次連接矩形四邊中點得到的四邊形是菱形D．正五邊形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形考點：命題與定理．分析：根據(jù)矩形、菱形、正方形的判定以及正五邊形的性質(zhì)得出答案即可．解答：解：A．根據(jù)四個角相等的四邊形是矩形，故此命題是假命題，故此選項錯誤；B．根據(jù)對角線互相垂直、互相平分且相等的四邊形是正方形，故此命題是假命題，故此選項錯誤；C．順次連接矩形四邊中點得到的四邊形是菱形，故此命題是真命題，故此選項正確；D．正五邊形是軸對稱圖形不是中心對稱圖形，故此命題是假命題，故此選項錯誤．點評：此題主要考查了矩形、菱形、正方形的判定以及正五邊形的性質(zhì)等知識，熟練掌握相關定理是解題關鍵．12．〔2023?東營，12，3分〕如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊CD、AD上的點，且CE=DF，AE、BF相交于點O，以下結論：〔1〕AE=BF；〔2〕AE⊥BF；〔3〕AO=OE；〔4〕中正確的有〔〕FF〔第12題圖〕ABCDOEA．4個 B．3個C．2個 D．1個答案：B解析：在正方形ABCD中，因為CE=DF，所以AF=DE，又因為AB=AD，所以，所以AE=BF，，，因為，所以，即，所以AE⊥BF，因為S四邊形DEOF，所以S四邊形DEOF，故〔1〕，〔2〕，〔4〕正確．13．〔2023·濟寧，9，3分〕如圖，矩形ABCD的面積為20cm2，對角線交于點O；以AB、AO為鄰邊做平行四邊形AOC1B，對角線交于點O1；以AB、AO1為鄰邊做平行四邊形AO1C2B；…；依此類推，那么平行四邊形AO4C5B的面積為〔〕 A．cm2B．cm2C．cm2D．cm2考點：矩形的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．專題：規(guī)律型．分析：根據(jù)矩形的對角線互相平分，平行四邊形的對角線互相平分可得下一個圖形的面積是上一個圖形的面積的，然后求解即可．解答：解：設矩形ABCD的面積為S=20cm2，∵O為矩形ABCD的對角線的交點，∴平行四邊形AOC1B底邊AB上的高等于BC的，∴平行四邊形AOC1B的面積=S，∵平行四邊形AOC1B的對角線交于點O1，∴平行四邊形AO1C2B的邊AB上的高等于平行四邊形AOC1B底邊AB上的高的，∴平行四邊形AO1C2B的面積=×S=，…，依此類推，平行四邊形AO4C5B的面積===cm2．應選B．點評：此題考查了矩形的對角線互相平分，平行四邊形的對角線互相平分的性質(zhì)，得到下一個圖形的面積是上一個圖形的面積的是解題的關鍵．14.〔2023陜西，9，3分〕如圖，在矩形ABCD中，AD=2AB，點M、N分別在邊AD、BC是，連接BM、DN，假設四邊形MBND是菱形，那么等于〔〕A．B．C．D．考點：矩形的性質(zhì)及菱形的性質(zhì)應用。解析：矩形的性質(zhì)應用較為常見的就是轉(zhuǎn)化成直角三角形來解決問題，菱形的性質(zhì)應用較常見的是四條邊相等或者對角線的性質(zhì)應用。此題中求的是線段的比值，所以在解決過程中取特殊值法較為簡單。設AB=1，那么AD=2，因為四邊形MBND是菱形，所以MB=MD，又因為矩形ABCD，所以A=90°，設AM=x,那么MB=2-x，由勾股定理得：AB2+AM2=MB2，所以xBCDA第9題圖MN2+12=(2-x)2解得：，所以MD=BCDA第9題圖MN15.〔2023四川綿陽，6，3分〕以下說法正確的是〔D〕D．對角線相等且互相平分的四邊形是矩形［解析］由矩形的性質(zhì)可知，只有D正確。平行四邊形的對角線是互相平行，菱形的對角線互相平分且垂直，故A、C錯，等腰梯形的對角線相等B也錯。16.〔2023四川綿陽，10，3分〕如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于點H，且DH與AC交于G，那么GH=〔B〕A．B．C．D．［解析］OA=4，OB=3，AB=5，△BDH∽△BOA，BD/AB=BH/OB=DH/OA，6/5=BH/3，BH=18/5，AH=AB-BH=5-18/5=7/5，△AGH∽△ABO，GH/BO=AH/AO，GH/3=7/5/4，GH=21/20。17．〔2023貴州省六盤水，7，3分〕在平面中，以下命題為真命題的是〔〕A．四個角相等的四邊形是矩形B．對角線垂直的四邊形是菱形C．對角線相等的四邊形是矩形D．四邊相等的四邊形是正方形考點：命題與定理．分析：分別根據(jù)矩形、菱形、正方形的判定與性質(zhì)分別判斷得出即可．解答：解：A、根據(jù)四邊形的內(nèi)角和得出，四個角相等的四邊形即四個內(nèi)角是直角，故此四邊形是矩形，故此選項正確；B、只有對角線互相平分且垂直的四邊形是菱形，故此選項錯誤；C、對角線互相平分且相等的四邊形是矩形，故此選項錯誤；D、四邊相等的四邊形是菱形，故此選項錯誤．應選：A．點評：此題主要考查了矩形、菱形、正方形的判定與性質(zhì)，正確把握相關定理是解題關鍵．18．〔2023河北省，11，3分〕如圖4，菱形ABCD中，點M，N在AC上，ME⊥AD，NF⊥AB.假設NF=NM=2，ME=3，那么AN= A．3 B．4 C．5 D．6答案：B解析：由△AFN∽△AEM，得：，即，解得：AN＝4，選B。19．〔2023河北省，12，3分〕如：線段AB，BC，∠ABC=90°.求作：矩形ABCD.以下是甲、乙兩同學的作業(yè)：對于兩人的作業(yè)，以下說法正確的是A．兩人都對 B．兩人都不對 C．甲對，乙不對 D．甲不對，乙對答案：A解析：對于甲：由兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形及角B為90度，知ABCD是矩形，正確；對于乙：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形及角B為90度，可判斷ABCD是矩形，故都正確，選A。二、填空題1．〔2023廣東廣州，15，3分〕如圖6，Rt△ABC的斜邊AB=16,Rt△ABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)后得到，那么的斜邊上的中線的長度為_____________.【答案】8.【解析】旋轉(zhuǎn)是全等變換，所以所以Rt△ABC與全等，且=CD，∵Rt△ABC的斜邊AB=16，∴CD=8，∴=8，答案填8.【方法指導】在幾何圖形變換中，平移、軸對稱、對折、旋轉(zhuǎn)、中心對稱等都是全等變換，所以，對應邊、對應角、對應邊的中線、高和對應角平分線等都相等．2．〔2023山東德州，17，4分〕如圖，在正方形ABCD中，邊長為2的等邊三角形AEF的頂點E、F分別在BC和CD上，以下結論：①CE＝CF②∠AEB＝750③BE+DF＝EF④S正方形ABCD＝2+，其中正確的序號是?！舶涯阏J為正確的都填上〕【答案】①②④.【解析】∵在正方形ABCD與等邊三角形AEF中，∴AB=BC=CD=DA，AE=EF=AF，∴△ABE≌△ADF，∴DF=BE，有DC-DF=BC-BE，即CE＝CF，①正確；∵CE=CF，∠C=90°，∴∠FEC=45°，而∠AEF=60°，∴∠AEB＝180°-60°-45°=75°，②正確；根據(jù)分析BE+DF≠EF，③不正確；在等腰直角三角形CEF中，CE=CF=EF·sin45°=.在Rt△ADF中，設AD=x，那么DF=x-，根據(jù)勾股定理可得，，解得，x1=，〔舍去〕.所以正方形ABCD面積為=2+，④正確.【方法指導】此題考查正方形與等邊三角形.此題涉及正方形、等邊三角形相關知識，同時應用勾股定理、全等三角形等解題.具有一定的綜合性.解題的關鍵是對所給命題運用相關知識逐一驗證.3．〔2023江蘇泰州，13，3分〕對角線互相___________的平行四邊形是菱形.【答案】垂直．【解析】根據(jù)菱形的判定條件，其中有“對角線互相垂直的平行四邊形是菱形〞.【方法指導】掌握菱形的判定與性質(zhì)，我們可以從邊、角、對角線、對稱性這幾個方面概括與總結，形成系統(tǒng)知識，便于復習穩(wěn)固.4．〔2023江蘇蘇州，17，3分〕如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是邊長為2的正方形，頂點A，C分別在x，y軸的正半軸上．點Q在對角線OB上，且OQ＝OC，連接CQ并延長CQ交邊AB于點P，那么點P的坐標為(，)．【答案】(2，4－2)．【解析】分析：根據(jù)正方形的對角線等于邊長的倍求出OB，再求出BQ，然后求出△BPQ和△OCQ相似，根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式求出BP的長，再求出AP，即可得到點P的坐標．解：∵四邊形OABC是邊長為2的正方形，∴OA=OC=2，OB=2．∵QO=OC，∴BQ=OB－OQ=2－2．∵正方形OABC的邊AB∥OC，∴△BPQ∽△OCQ．∴=，即=．解得BP=2－2．∴AP=AB－BP=2－〔2－2〕=4－2．∴點P的坐標為〔2，4－2〕．所以應填2，4－2．【方法指導】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的對角線等于邊長的倍的性質(zhì)，以及坐標與圖形的性質(zhì)，比擬簡單，利用相似三角形的對應邊成比例求出BP的長是解題的關鍵．【易錯警示】此題是綜合題，掌握所用知識不全面而出錯．5．〔2023江蘇蘇州，18，3分〕如圖，在矩形ABCD中，點E是邊CD的中點，將△ADE沿AE折疊后得到△AFE，且點F在矩形ABCD內(nèi)部．將AF延長交邊BC于點G．假設，那么〔用含k的代數(shù)式表示〕．【答案】．【解析】分析：根據(jù)中點定義可得DE=CE，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得DE=EF，AF=AD，∠AFE=∠D=90°，從而得到CE=EF，連接EG，利用“HL〞證明Rt△ECG和Rt△EFG全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得CG=FG，設CG=a，表示出GB，然后求出BC，再根據(jù)矩形的對邊相等可得AD=BC，從而求出AF，再求出AG，然后利用勾股定理列式求出AB，再求比值即可．解：∵點E是邊CD的中點，∴DE=CE．∵將△ADE沿AE折疊后得到△AFE，∴DE=EF，AF=AD，∠AFE=∠D=90°．∴CE=EF．如圖，連接EG．在Rt△ECG和Rt△EFG中，∵EG=EG，CE=EF，∴Rt△ECG≌Rt△EFG〔HL〕，∴CG=FG．設CG=a，∵，∴GB=ka，∴BC=CG+BG=a+ka=a〔k+1〕．在矩形ABCD中，AD=BC=a〔k+1〕．∴AF=a〔k+1〕．AG=AF+FG=a〔k+1〕+a=a〔k+2〕．在Rt△ABG中，AB===2a．∴==．所以應填．【方法指導】此題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應用，以及翻折變換的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵．【易錯警示】此題綜合性很強，不能綜合運用所學知識很容易出錯．6.〔2023江蘇揚州，17，3分〕矩形的兩鄰邊長的差為2，對角線長為4，那么矩形的面積為．【答案】6．【解析】分析：設矩形一條邊長為x，那么另一條邊長為x－2，然后根據(jù)勾股定理列出方程式求出x的值，繼而可求出矩形的面積．解：設矩形一條邊長為x，那么另一條邊長為x－2．由勾股定理得，x2＋(x－2)2=42．整理得，x2－2x－6=0．解得：x=1＋或x=1－〔不合題意，舍去〕．另一邊為：－1．那么矩形的面積為：〔1＋〕〔－1〕=6．所以應填6．【方法指導】此題考查了勾股定理及矩形的性質(zhì)，難度適中，解答此題的關鍵是根據(jù)勾股定理列出等式求處矩形的邊長，要求同學們掌握矩形面積的求法．【易錯警示】解題時，用勾股定理可能出錯，解一元二次方程可能出錯．7．〔2023山東臨沂，17，3分〕如圖，菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，連接EF，那么△AEF的面積是_________________．AABCDEF【答案】．【解析】△AEF是等邊三角形，邊長為，所以該三角形的面積為?！痉椒ㄖ笇А坷萌热切蔚男再|(zhì)可知AE=AF，利用直角三角形的性質(zhì)得到∠BAE=30°，所以∠EAF=60°。8.(2023山東煙臺，18,3分)如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E在BC上，四邊形EFCB也是正方形，以B為圓心，BA長為半徑畫弧AC，連結AF,CF那么圖中陰影局部面積為__________.9.〔2023福建福州，12，4分〕矩形的外角和等于__________度【答案】360【解析】根據(jù)任意多邊形的外角和都為360°即可得出答案．【方法指導】此題考查了多邊形的外角和，多邊形的外角和與邊數(shù)無關，任何多邊形的外角和都是360°．計算時，要熟記吆！【答案】【解析】利用兩次三角形全等把不規(guī)那么圖形的面積轉(zhuǎn)化成扇形的面積，注意化歸思想方法的運用.在AB上截取AH=EF，連接EH交AF于點G，那么∵EF∥AH∴∠HAG=∠GFE，又∵∠AGH=∠FGE∴△AHG≌△FEG∴AH=EF=BE,又∵AB=BC，∴BH=CE又∵∠HBG=∠CEF∴△HBG≌△CEF∵AB=4，∴S陰=S扇形ABC==4.【方法指導】此題考查了正方形的性質(zhì)、扇形的面積公式、不規(guī)那么圖形的面積、全等三角形.此題要求的陰影局部面積是不規(guī)那么圖形，在解題過程中要善于運用化歸思想通過三角形全等把不規(guī)那么圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)那么的圖形然后利用面積公式即可求解.10.(2023湖南邵陽,18,3分)如圖(六)所示，將△ABC繞AC的中點O順時針旋轉(zhuǎn)180°得到△CDA，添加一個條件______________，使四邊形ABCD為矩形.圖〔六〕圖〔六〕【答案】:∠B=90°(答案不唯一)【解析】：∵△ABC繞AC的中點O順時針旋轉(zhuǎn)180°得到△CDA，∴AB=CD，∠BAC=∠DCA，∴AB∥CD，∴四邊形ABCD為平行四邊形，當∠B=90°時，平行四邊形ABCD為矩形，∴添加的條件為∠B=90°．故答案為∠B=90°．【方法指導】：此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了矩形的判定．11．〔2023江西，10，3分〕如圖，矩形ABCD中，點E、F分別是AB、CD的中點，連接DE和BF，分別取DE、BF的中點M、N，連接AM，CN，MN，假設AB=2，BC=2，那么圖中陰影局部的面積為．【答案】2.【解析】△BCN與△ADM全等，面積也相等，口DFMN與口BEMN的面積也相等，所以陰影局部的面積其實就是原矩形面積的一半．，即陰影局部的面積為.【方法指導】仔細觀察圖形特點，搞清局部與整體的關系，把不規(guī)那么的圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)那么的來計算.12．〔2023廣西欽州，18，3分〕如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點，BE=2，AE=3BE，P是AC上一動點，那么PB+PE的最小值是10．考點：軸對稱-最短路線問題；正方形的性質(zhì)．分析：由正方形性質(zhì)的得出B、D關于AC對稱，根據(jù)兩點之間線段最短可知，連接DE，交AC于P，連接BP，那么此時PB+PE的值最小，進而利用勾股定理求出即可．解答：解：如圖，連接DE，交AC于P，連接BP，那么此時PB+PE的值最?。咚倪呅蜛BCD是正方形，∴B、D關于AC對稱，∴PB=PD，∴PB+PE=PD+PE=DE．∵BE=2，AE=3BE，∴AE=6，AB=8，∴DE==10，故PB+PE的最小值是10．故答案為：10．點評：此題考查了軸對稱﹣最短路線問題，正方形的性質(zhì)，解此題通常是利用兩點之間，線段最短的性質(zhì)得出．13．[2023湖南邵陽，18，3分]如圖(六)所示，將△ABC繞AC的中點O順時針旋轉(zhuǎn)180°得到△CDA，添加一個條件______________，使四邊形ABCD為矩形.圖〔六〕圖〔六〕知識考點：矩形的判定.審題要津：由題意可知四邊形ABCD是平行四邊形，只要滿足“有一個角是直角的平行四邊形是矩形〞即可得到答案.總分值解答：解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，假設∠B=90°，那么平行四邊形ABCD為矩形.故答案為∠B=90°.名師點評：熟練掌握矩形的判定定理是解題的關鍵.ABCDB’1C’D’14.〔2023江蘇南京，11，2分〕如圖，將矩形ABCD繞點AABCDB’1C’D’旋轉(zhuǎn)角為(0<<90)。假設1=110，那么=。答案：20解析：錯誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)立對象。，延長錯誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)立對象。交CD于E，那么錯誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)立對象。=20，錯誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)立對象。ED=160，由四邊形的內(nèi)角和為360，可得=2015.〔2023江蘇南京，12，2分〕如圖，將菱形紙片ABCD折迭，使點A恰好落在菱形的對稱中心O處，折痕為EF。假設菱形ABCD的邊長為2cm，A=120，那么EF=cm。答案：EQ\r(,3)解析：點A恰好落在菱形的對稱中心O處，如圖，P為AO中點，所以E為A職點，AE＝1，EAO=60，EP＝錯誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)立對象。，所以，EF＝EQ\r(,3)16．〔2023·濰坊，14，3分〕如圖，ABCD是對角線互相垂直的四邊形，且OB＝OD，請你添加一個適當?shù)臈l件____________，使ABCD成為菱形．〔只需添加一個即可〕答案：OA＝OC或AD＝BC或AD//BC或AB＝BC等考點：菱形的判別方法．點評：此題屬于開放題型，答案不唯一．主要考查了菱形的判定，關鍵是掌握菱形的判定定理．17.〔2023?嘉興5分〕如圖，正方形ABCD的邊長為3，點E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，AE=BF=1，小球P從點E出發(fā)沿直線向點F運動，每當碰到正方形的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角．當小球P第一次碰到點E時，小球P與正方形的邊碰撞的次數(shù)為6，小球P所經(jīng)過的路程為．【思路分析】根據(jù)中的點E，F(xiàn)的位置，可知入射角的正切值為，通過相似三角形，來確定反射后的點的位置，從而可得反射的次數(shù)．再由勾股定理就可以求出小球經(jīng)過的路徑的總長度【解析】根據(jù)中的點E，F(xiàn)的位置，可知入射角的正切值為，第一次碰撞點為F，在反射的過程中，根據(jù)入射角等于反射角及平行關系的三角形的相似可得第二次碰撞點為G，在DA上，且DG=DA，第三次碰撞點為H，在DC上，且DH=DC，第四次碰撞點為M，在CB上，且CM=BC，第五次碰撞點為N，在DA上，且AN=AD，第六次回到E點，AE=AB．由勾股定理可以得出EF=，F(xiàn)G=，GH=，HM=，MN=，NE=，故小球經(jīng)過的路程為：+++++=6，故答案為：6，6．【方法指導】此題主要考查了反射原理與三角形相似知識的運用．通過相似三角形，來確定反射后的點的位置，從而可得反射的次數(shù)，由勾股定理來確定小球經(jīng)過的路程，是一道學科綜合試題，屬于難題18.2023浙江麗水4分如圖，四邊形ABCD與四邊形AEFG都是菱形，其中點C在AF上，點E，G分別在BC，CD上，假設∠BAD=135°，∠EAG=75°，那么=__________19.〔2023四川綿陽，16，4分〕對正方形ABCD進行分割，如圖1，其中E、F分別是BC、CD的中點，M、N、G分別是OB、OD、EF的中點，沿分化線可以剪出一副“七巧板〞，用這些部件可以拼出很多圖案，圖2就是用其中6塊拼出的“飛機〞。假設△GOM的面積為1，那么“飛機〞的面積為14。［解析］連接AC，四邊形ABCD是正方形，AC⊥BD，E、F分別BC、CD的中點，EF//BD，AC⊥EF，CF=CE，△EFC是等腰直角三角形，直線AC是△EFC底邊上的高所在直線，根據(jù)等腰三角形“三線合一〞，AC必過EF的中點G，點A、O、G和C在同一條直線上，OC=OB=OD，OC⊥OB，F(xiàn)G是△DCO的中位線，OG=CG=eq\f(1,2)OC,M、N分別是OB、OD的中點，OM=BM=eq\f(1,2)OB，ON=DN=eq\f(1,2)OD，OG=OM=BM=ON=DN=eq\f(1,4)BD，等腰直角三角形GOM的面積為1，eq\f(1,2)OM?OG=eq\f(1,2)OM2=1，OM=eq\r(,2),BD=4OM=4eq\r(,2),2AD2=BD2=32,AD=4,圖2中飛機面積圖1中多邊形ABEFD的面積，飛機面積=正方形ABCD面積-三角形CEF面積=16-2=14。20.〔2023四川內(nèi)江，16，5分〕菱形ABCD的兩條對角線分別為6和8，M、N分別是邊BC、CD的中點，P是對角線BD上一點，那么PM+PN的最小值=5．考點：軸對稱-最短路線問題；菱形的性質(zhì)．分析：作M關于BD的對稱點Q，連接NQ，交BD于P，連接MP，此時MP+NP的值最小，連接AC，求出OC、OB，根據(jù)勾股定理求出BC長，證出MP+NP=QN=BC，即可得出答案．解答：解：作M關于BD的對稱點Q，連接NQ，交BD于P，連接MP，此時MP+NP的值最小，連接AC，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，即Q在AB上，∵MQ⊥BD，∴AC∥MQ，∵M為BC中點，∴Q為AB中點，∵N為CD中點，四邊形ABCD是菱形，∴BQ∥CD，BQ=CN，∴四邊形BQNC是平行四邊形，∴NQ=BC，∵四邊形ABCD是菱形，∴CO=AC=3，BO=BD=4，在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC=5，即NQ=5，∴MP+NP=QP+NP=QN=5，故答案為：5．點評：此題考查了軸對稱﹣最短路線問題，平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的性質(zhì)，勾股定理的應用，解此題的關鍵是能根據(jù)軸對稱找出P的位置．21．〔2023貴州省黔西南州，17，3分〕如下圖，菱形ABCD的邊長為4，且AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠B=60°，那么菱形的面積為．考點：菱形的性質(zhì)．分析：根據(jù)條件解直角三角形ABE可求出AE的長，再由菱形的面積等于底×高計算即可．解答：解：∵菱形ABCD的邊長為4，∴AB=BC=4，∵AE⊥BC于E，∠B=60°，∴sinB==，∴AE=2，∴菱形的面積=4×2=8，故答案為8．點評：此題考查了菱形的性質(zhì)：四邊相等以及特殊角的三角函數(shù)值和菱形面積公式的運用．22．〔2023河南省，15，3分〕如圖，矩形中，,點是邊上一點，連接，把沿折疊，使點落在點處，當△為直角三角形時，的長為【解析】①當時，由題可知：,即：在同一直線上，落在對角線上，此時，設，那么，，在中，解得②當時，即落在上，，此時在中，斜邊大于直角邊，因此這種情況不成立。③當時，即落在上，此時四邊形是正方形，所以【答案】23．〔2023黑龍江省哈爾濱市，20〕如圖。矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點0，過點O作OE⊥AC交AB于E,假設BC=4，△AOE的面積為5，那么sin∠BOE的值為．考點：線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理；矩形的性質(zhì)。解直角三角形分析：此題利用三角形的面積計算此題考查了矩形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)以及勾股定理及解直角三角形．注意數(shù)形結合思想的應用，此題綜合性較強，難度較大，解答：由△AOE的面積為5，找此三角形的高，作OH⊥AE于E,得OH∥BC,AH=BH,由三角形的中位線∵BC=4∴OH=2，從而AE=5，連接CE,由AO=OC,OE⊥AC得EO是AC的垂直平分線，∴AE=CE，在直角三角形EBC中，BC=4,AE=5,勾股定理得EB=3，AB=8，在直角三角形ABC中，勾股定理得AC=,BO=AC=,作EM⊥BO于M,在直角三角形EBM中,EM=BEsin∠ABD=3×=，BM=BEcos∠ABD=3×=,從而OM=,在直角三角形E0M中，勾股定理得OE=,sin∠BOE=三、解答題1.〔2023重慶市(A)，24，10分〕如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是邊AB、CD上的點，AE＝CF，連接EF、BF，EF與對角線AC交于點O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC．〔1〕求證：OE＝OF；〔2〕假設BC＝，求AB的長．【答案】〔1〕證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD．∴∠OAE＝∠OCF，∠OEA＝∠OFC．∴AE＝CF，∴△AEO≌△CFO〔ASA〕．∴OE＝OF．〔2〕連接BO．∵OE＝OF，BE＝BF，∴BO⊥EF，且∠EBO＝∠FBO．∴∠BOF＝90°．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BCF＝90°．又∵∠BEF＝2∠BAC，∠BEF＝∠BAC＋∠EOA，∴∠BAC＝∠EOA．∴AE＝OE．∵AE＝CF，OE＝OF，∴OF＝CF．又∵BF＝BF，∴△BOF≌△BCF〔HL〕．∴∠OBF＝∠CBF．∴∠CBF＝∠FBO＝∠OBE．∵∠ABC＝90°，∴∠OBE＝30°．∴∠BEO＝60°．∴∠BAC＝30°．∵tan∠BAC＝，∴tan30°＝，即，∴AB＝6．【解析】〔1〕證明△AEO≌△CFO解決．〔2〕連接BO，根據(jù)等腰三角形“三線合一〞的性質(zhì)，得∠FBO＝∠EBO，然后證明△BOF≌△BCF，得∠FBO＝∠FBC，直至證得∠BAC＝30°后，運用解直角三角形知識求解．【方法指導】此題考查矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形．以往考題中，與此題圖形相關的問題多是告訴點O是對角線AC的中點，得以產(chǎn)生△AEO≌△CFO，可得AE＝CF，而此題一改這種命題形式，將AE＝CF當作條件呈現(xiàn)，讓學生證明OE＝OF，顯得精巧細致，同時也為后面等腰三角形“三線合一〞性質(zhì)的應用創(chuàng)造了條件，進而通過∠BEF＝2∠BAC這一條件，貫穿與未知的聯(lián)系，是一道不可多得的好的直線型幾何綜合題．2.〔2023湖北黃岡，17，6分〕如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC、BD相交于點O，DH⊥AB于H，連接OH，求證：∠DHO＝∠DCO．【答案】證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴OD＝OB，∠COD＝90°．∵DH⊥AB于H，∴∠DHB＝90°．∴OH＝BD＝OB．∴∠OHB＝∠OBH．又∵AB∥CD，∴∠OBH＝∠ODC．∴∠OHB＝∠ODC．在Rt△COD中，∠ODC＋∠OCD＝90°，在Rt△DHB中，∠DHO＋OHB＝90°，∴∠DHO＝∠DCO．【解析】根據(jù)菱形的對邊平行，對角線互相垂直，易知∠OBH＝∠ODC，∠ODC＋∠DCO＝90°．再根據(jù)菱形的對角線互相平分及DH⊥AB，易證∠OHB＝∠OBH，∠OHB＋∠DHO＝90°．最后根據(jù)等角的余角相等證得∠DHO＝∠DCO．【方法指導】此題考查菱形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)及等角的余角相等．熟練掌握相關幾何知識是求解關鍵．解答此題也可通過證明∠DHO＝∠ODH＝∠DCO解決，這可由∠ODH＋∠DBH＝90°，∠ODC＋∠DCO＝90°，∠DBH＝∠ODC及OH＝BD＝OD證得．3．〔2023江蘇蘇州，28，8分〕如圖，點P是菱形ABCD對角線AC上的一點，連接DP并延長DP交邊AB于點E，連接BP并延長BP交邊AD于點F，交CD的延長線于點G．〔1〕求證：△APB≌△APD；〔2〕DF︰FA＝1︰2，設線段DP的長為x，線段PF的長為y．①求y與x的函數(shù)關系式；②當x＝6時，求線段FG的長．【思路分析】〔1〕要證明△APB≌△APD，只要根據(jù)菱形的鄰邊相等、一條對角線平分一組對角，用“邊角邊〞證明即可；〔2〕根據(jù)菱形的性質(zhì)證明△AFP∽△CBP，將DF︰FA＝1︰2變形，得AF︰AD＝2︰3，即AF︰BC＝2︰3，進一步可以得出y與x的函數(shù)關系式；先求出當x＝6時y的值，再證明△DFG∽△AFB，從而可以求出線段FG的長．【解】【方法指導】此題考查了相似三角形的判定和菱形的性質(zhì)．特殊四邊形的性質(zhì)和判定一直是中考命題的熱點，常用的菱形的性質(zhì)有：①菱形的四條邊相等；②菱形的對角線互相垂直平分；③菱形的一條對角線平分一組對角．【易錯警示】不會運用菱形的一條對角線平分一組對角就不會證明三角形全等，不會運用菱形的性質(zhì)證明三角形相似就解決不了問題．4.〔2023江蘇揚州，23，10分〕如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點D在邊AB上，連接CD，將線段CD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°至CE位置，連接AE．〔1〕求證：AB⊥AE；〔2〕假設BC2=AD·AB，求證：四邊形ADCE為正方形．【思路分析】〔1〕根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠DCE=90°，CD=CE，利用等角的余角相等得∠BCD=∠ACE，然后根據(jù)“SAS〞可判斷△BCD≌△ACE，那么∠B=∠CAE=45°，所以∠DAE=90°，即可得到結論；〔2〕由于BC=AC，那么AC2=AD?AB，根據(jù)相似三角形的判定方法得到△DAC∽△CAB，那么∠CDA=∠BCA=90°，可判斷四邊形ADCE為矩形，利用CD=CE可判斷四邊形ADCE為正方形．【解】證明：〔1〕∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∴∠BAC=∠B=45°．由旋轉(zhuǎn)得DC=EC，且∠DCE=∠ACB=90°，即∠BCD+∠ACD=∠ACE+∠ACD，∴∠BCD=∠ACE.∴在△BCD和△ACE中，∴△BCD≌△ACE.∴∠CAE=∠B=∠CAE=45°.又∠BAC=45°，∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=90°，∴AB⊥AE.〔2〕∵AC=BC,假設BC=AD·AB,那么AC=AD·AB,即,又∠CAD=∠BAC.∴△ACD∽△ABC，∴∠ADC=∠ACB=90°.∴四邊形ADCE是矩形(三個角都是直角的四邊形是矩形).再由DC=CE，可得四邊形ADCE是正方形.【方法指導】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形全等、相似的判定與性質(zhì)以及正方形的判定．【易錯警示】證明四邊形ADCE是矩形、菱形的條件不夠，從而感覺無從入手．5.〔2023貴州安順，23，12分〕如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點。BE=2DE，延長DE到點F，使得EF=BE，連接CF.〔1〕求證：四邊形BCFE是菱形；〔2〕假設CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面積.【思路分析】從所給的條件可知，DE是△ABC中位線，所以DE∥BC且2DE=BC，所以BC和EF平行且相等，所以四邊形BCFE是平行四邊形，又因為BE=FE，所以是菱形；∠BCF是120°，所以∠EBC為60°，所以菱形的邊長也為4，求出菱形的高面積就可求．【解】〔1〕證明：∵D、E分別是AB、AC的中點，∴DE∥BC，BC=2DE，又BE=2DE，EF=BE，∴BC=BE=EF，EF∥BC，∴四邊形BCFE是菱形；……………(6分)〔2〕解：連接BF交CE于點O.∵在菱形BCFE中，∠BCF=120°，CE=4，∴BF⊥CE，∠BCO=∠BCF=60°，OC=CE=2。在Rt△BOC中，tan60°=,∴OB=2tan60°,BF=4tan60°?！嗔庑蜝CFE的面積=CE·BF=×4×4tan60°=8.……………〔12分〕【方法指導】此題考查菱形的判定和性質(zhì)以及三角形中位線定理，以及菱形的面積的計算等知識點．6．〔2023山東臨沂，22，7分〕如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交BE的延長線于點F，連接CF．〔1〕求證：AF＝DC；〔2〕假設AB⊥AC，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結論．AABCDEF【解析】證明：〔1〕∵E是AD的中點，∴AE＝ED．∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∠FAE＝∠BDE，∴△AFE≌△DBE，∴AF＝DB．∵AD是BC邊上的中線，∴DB＝DC，∴AF＝DC．〔2〕四邊形ADCF是菱形．理由：由〔1〕知，AF＝DC，∵AF∥CD，∴四邊形ADCF是平行四邊形．又∵AB⊥AC，∴△ABC是直角三角形．∵AD是BC邊上的中線，∴AD＝BC＝DC．∴平行四邊形ADCF是菱形．【方法指導】利用全等三角形的性質(zhì)得出相等的線段，根據(jù)題目中的條件和三角形中線的性質(zhì)，可以判定四邊形為菱形。7．〔2023廣東廣州，18，9分〕如圖8，四邊形ABCD是菱形，對角線AC與BD相交于O,AB=5,AO=4,求BD的長.【思路分析】因為菱形的對角線互相垂直，在Rt△AOB中，兩條邊，由勾股定理可求出第三邊，進而求得答案.【解】∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，且BO=DO在Rt△AOB中，∵AB=5，AO=4，由勾股定理，得BO=3∴BD=6【方法指導】解決菱形的對角線的相關問題，通常都是先根據(jù)菱形的對角線的性質(zhì)得到相關的結論，然后再根據(jù)題中的條件進行計算或推理證明。.8．〔2023山東德州,23,10分〕〔1〕如圖1，△ABC，以AB、AC為邊向△ABC外做等邊△ABD和等邊△ACE，連接BE，CD。請你完成圖形，并證明：BE=CD；〔尺規(guī)作圖，不寫做法，保存作圖痕跡〕〔2〕如圖2，△ABC，以AB、AC為邊向外做正方形ABFD和正方形ACGE。連接BE，CD。BE與CD有什么數(shù)量關系？簡單說明理由；〔3〕運用〔1〕〔2〕解答中所積累的經(jīng)驗和知識，完成下題：如圖3，要測量池塘兩岸相對的兩點B，E的距離，已經(jīng)測得∠ABC=450，∠CAE=900，AB=BC=100米，AC=AE。求BE的長。【思路分析】〔1〕根據(jù)題目要求進行尺規(guī)作圖，并加以證明其它結論；〔2〕用三角形全等分析BE與CD相等關系；〔3〕構件建幾何模型解〔添加輔助線、運用勾股定理〕決實際問題.【解】〔1〕完成作圖，字母標注正確。證明：∵△ABD和△ACE都是等邊三角形?！郃D=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=600?！唷螧AD+∠BAC=∠CAE+∠BAC即∠CAD=∠EAB∴△CAD≌△EAB∴BE=CD〔2〕BE=CD理由同〔1〕：∵四邊形ABFD和ACGE均為正方形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD=∠CAE=900∴∠CAD=∠EAB∴△CAD≌△EAB∴BE=CD〔3〕由〔1〕〔2〕的解題經(jīng)驗可知，過A作等腰直角三角形ABD，∠BAD=900，那么AD＝AB＝1000，∠ABD＝450，∴BD＝100連接CD，那么由〔2〕可得BE＝CD。∵∠ABC＝450，∴∠DBC＝900，在Rt△DBC中，BC＝100，BD＝100∴CD＝＝100∴BE的長為100米【方法指導】此題考查了與等邊三角形、正方形的全等應用實踐操作、探究題.圖形與幾何的實踐、探究題，是新中考比擬熱點的命題方向.9.〔2023江蘇泰州，25，12分〕如圖，矩形ABCD中，點P在邊CD上，且與點C、D不重合，過點A作AP的垂線與CB的延長線相交于點Q，連接PQ，PQ的中點為M.(1)求證：△ADP∽△ABQ；(2)假設AD=10，AB=20，點P在邊CD上運動，設DP=x,BM2=y，求y與x的函數(shù)關系式，并求線段BM長的最小值；(3)假設AD=10,AB=a，DP=8，隨著a的大小的變化，點M的位置也在變化，當點M落在矩形ABCD外部時，求a的取值范圍?！舅悸贩治觥俊?〕尋找∠ADP=∠ABQ，∠PAD=∠QAB，證△ADP∽△ABQ；〔2〕證△ADP∽△ABQ，根據(jù)對應邊成比例，將DP=x,BM2=y代入比例式可以求出y與x之間的二次函數(shù)關系式求最小值；〔3〕由△ADP∽△ABQ得，解出a，結再探究其取值范圍.【解】(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形∴∠ADP=∠ABC=∠BAD=90°∵∠ABC+∠ABQ=180°∴∠ABQ=∠ADP=90°∵AQ⊥AP∴∠PAQ=90°∴∠QAB+∠BAP=90°又∵∠PAD+∠BAP=90°∴∠PAD=∠QAB在△ADP與△ABQ中∵∴△ADP∽△ABQ〔2〕如圖，作MN⊥QC，那么∠QNM=∠QCD=90°又∵∠MQN=∠PQC∴△MQN∽△PQC∴∵點M是PQ的中點∴∴又∵∴∵△ADP∽△ABQ∴∴∵∴在Rt△MBN中，由勾股定理得：即：當即時，線段BM長的最小值.(3)如圖，當點PQ中點M落在AB上時，10108ABCPDQM10a10此時QB=BC=10由△ADP∽△ABQ得解得：∴隨著a的大小的變化，點M的位置也在變化，當點M落在矩形ABCD外部時，求a的取值范圍為：【方法指導】此題綜合考查矩形、相似三角形、線段中點、勾股定理、二欠函數(shù)等知識，方程建摸、函數(shù)建摸的應用.10.〔2023廣東省，22，8分〕如題22圖，矩形ABCD中，以對角線BD為一邊構造一個矩形BDEF，使得另一邊EF過原矩形的頂點C．〔1〕設Rt△CBD的面積為，Rt△BFC的面積為，Rt△DCE的面積為，那么+〔用“＞〞、“=〞、“＜〞填空〕；〔2〕寫出題22圖中的三對相似三角形，并選擇其中一對進行證明．【思路分析】〔1〕由“等底等高的三角形面積相等〞可以直接得到答案；〔2〕由矩形內(nèi)角為直角和對邊平行的性質(zhì)，利用“兩角對應相等的三角形相似〞即可得證三對相似三角形.【解】〔1〕=；〔2〕△BCD∽△DEC；△BCD∽△CFB；△DEC∽△CFB.選證△BCD∽△CFB，理由如下〔可以純粹利用角間關系證明〕：在矩形ABCD中和矩形BDEF中∠DBF=∠F=∠BCD=∴∠DBC+∠CBF=∠BCF+∠CBF=∴∠DBC=∠BCF∴△BCD∽△CFB選證△BCD∽△DEC，理由如下〔可以利用直角和平行邊證明〕：在矩形ABCD中和矩形BDEF中∠E=∠BCD=，且BD∥EF∴∠BDC=∠DCE∴△BCD∽△DEC選證△DEC∽△CFB，理由如下：在矩形ABCD中和矩形BDEF中∠E=∠F=∠BCD=∴∠BCF+∠CBF=∠BCF+∠DCE=∴∠CBF=∠DCE∴△DEC∽△CFB【方法指導】解決解直角三角形的面積或者判定相似的時候，我們往往要關注“直角〞和“直角邊〞，有了直角，證相似只需再找一對角相等，有了直角邊，計算就方便.11．(2023湖南邵陽,26,10分)如圖(十二)所示，在Rt△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=90°.點P是△ABC外角∠BCN的角平分線上一個動點，點P/是點P關于直線BC的對稱點，連結PP/交BC于點M、BP/交AC于點D，連結BP、AP/、CP/.(1)假設四邊形BPCP/為菱形，求BM的長；(2)假設△BMP/∽△ABC，求BM的長；(3)假設△ABD為等腰三角形，求△ABD的面積.圖(十一)圖(十一)②③①【答案】：解：∵四邊形BPCP/是菱形，∴BC與PP/互相平分，∴BM=eq\f(1,2)BC=3.(2)∵△BMP/∽△ABC，且△ABC是等腰直角三角形，∴△BMP/是等腰直角三角形，∴BM=MP/,∠BPP/=45°.∵P與P/關于直線BC對稱，∴∠BPM=45°，PM=MP/，∴BM=MP.∵CP平分∠NCB，∴∠BCP=eq\f(1,2)∠BCN=eq\f(1,2)(180°-45°)=67.5°.又∵∠CPM=90°-∠BCP=90°-67.5°=22.5°，∴∠BPC=∠BPM+∠CPM=45°+22.5°=67.5°，∴∠BCP=∠BPC，∴BP=BC=6.在Rt△BMP中，∵BM2+MP2=BP2，2BM2=62，∴BM=3eq\r(2).(3)由題意，知∠BAD=45°.①當AB=AD時，過點D作DE⊥AB，垂足為D.在Rt△AED中，DE=AD·sin∠DAB=6×sin45°=3eq\r(2),此時△ABD的面積為：eq\f(1,2)AB·DE=eq\f(1,2)×6×3eq\r(2)=9eq\r(2).胸、地(1,2)②當AD=BD時，有∠ABD=∠BAD=45°，∴∠ADB=90°，∴BD⊥AC，∵△ABC是等腰在解三角形，且AB=BC，∴D為AC的中點，∴△ABD的面積為△ABC面積的一半，∴△ABC的面積為eq\f(1,2)×eq\f(1,2)AB·AC=eq\f(1,4)×6×6=9.③當AB=BD時，∵∠BAD=45，∴∠ABC=90°，此時△ABD就是△ABC，∴△ABD的面積為eq\f(1,2)AB·BD=eq\f(1,2)AB·BC=eq\f(1,2)×6×6=18.綜上所述，△ABD的面積為9eq\r(2),或9,或18.【方法指導】：此題考查了菱形的性質(zhì)及運用，相似三角形對應角相等，對應邊成比例的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，尤其是第三問注意分類討論的思想方法.胸、地(9,2)12.(湖南株洲,22)四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，對角線AC與BD交于點O，過點O的直線EF交AD于點E，交BC于點F.⑴求證：△AOE≌△COF；⑵假設∠EOD=30°，求CE的長.【答案】：〔1〕證明：∵四邊形ABCD是菱形，對角線AC與BD交于點O∴AD//BC，OA=OC∴∠EAO=∠FCO又∵∠EOA=∠FOC〔對頂角相等〕∴△AOE≌△COF〔ASA〕〔2〕解：∵四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°∴△ABD是邊長為2的等邊三角形∴△ABD邊上的高為2tan60°=,∠BDA=60°〔即∠EDO=60°〕又∵∠EOD=30°∴△OED為Rt△∴EF的長等于△ABD邊上的高，°∴【方法指導】此題考查了菱形的性質(zhì)，菱形是特殊的平行四邊形，除了具有平行四邊形所有的性質(zhì)外，還具有四條邊相等，對角線互相垂直的性質(zhì).第二問重在掌握解特殊三角形的知識.13．〔2023白銀，26，10分〕如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點，E是AD的中點，過A點作BC的平行線交CE的延長線于點F，且AF=BD，連接BF．〔1〕BD與CD有什么數(shù)量關系，并說明理由；〔2〕當△ABC滿足什么條件時，四邊形AFBD是矩形？并說明理由．考點：矩形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)．專題：證明題．分析：〔1〕根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角邊〞證明△AEF和△DEC全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AF=CD，再利用等量代換即可得證；〔2〕先利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形AFBD是平行四邊形，再根據(jù)一個角是直角的平行四邊形是矩形，可知∠ADB=90°，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知必須是AB=AC．解答：解：〔1〕BD=CD．理由如下：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE，∵E是AD的中點，∴AE=DE，在△AEF和△DEC中，，∴△AEF≌△DEC〔AAS〕，∴AF=CD，∵AF=BD，∴BD=CD；〔2〕當△ABC滿足：AB=AC時，四邊形AFBD是矩形．理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，∴四邊形AFBD是平行四邊形，∵AB=AC，BD=CD，∴∠ADB=90°，∴?AFBD是矩形．點評：此題考查了矩形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，是根底題，明確有一個角是直角的平行四邊形是矩形是解此題的關鍵．14．〔2023貴州安順，23，10分〕如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，BE=2DE，延長DE到點F，使得EF=BE，連接CF．〔1〕求證：四邊形BCFE是菱形；〔2〕假設CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面積．考點：菱形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理．分析：從所給的條件可知，DE是△ABC中位線，所以DE∥BC且2DE=BC，所以BC和EF平行且相等，所以四邊形BCFE是平行四邊形，又因為BE=FE，所以是菱形；∠BCF是120°，所以∠EBC為60°，所以菱形的邊長也為4，求出菱形的高面積就可求．解答：〔1〕證明：∵D、E分別是AB、AC的中點，∴DE∥BC且2DE=BC，又∵BE=2DE，EF=BE，∴EF=BC，EF∥BC，∴四邊形BCFE是平行四邊形，又∵BE=FE，∴四邊形BCFE是菱形；〔2〕解：∵∠BCF=120°，∴∠EBC=60°，∴△EBC是等邊三角形，∴菱形的邊長為4，高為2，∴菱形的面積為4×2=8．點評：此題考查菱形的判定和性質(zhì)以及三角形中位線定理，以及菱形的面積的計算等知識點．15．〔2023貴州畢節(jié)，25，10分〕四邊形ABCD是正方形，E、F分別是DC和CB的延長線上的點，且DE=BF，連接AE、AF、EF．〔1〕求證：△ADE≌△ABF；〔2〕填空：△ABF可以由△ADE繞旋轉(zhuǎn)中心A點，按順時針方向旋轉(zhuǎn)90度得到；〔3〕假設BC=8，DE=6，求△AEF的面積．考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．專題：證明題．分析：〔1〕根據(jù)正方形的性質(zhì)得AD=AB，∠D=∠ABC=90°，然后利用“SAS〞易證得△ADE≌△ABF；〔2〕由于△ADE≌△ABF得∠BAF=∠DAE，那么∠BAF+∠EBF=90°，即∠FAE=90°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義可得到△ABF可以由△ADE繞旋轉(zhuǎn)中心A點，按順時針方向旋轉(zhuǎn)90度得到；〔3〕先利用勾股定理可計算出AE=10，在根據(jù)△ABF可以由△ADE繞旋轉(zhuǎn)中心A點，按順時針方向旋轉(zhuǎn)90度得到AE=AF，∠EAF=90°，然后根據(jù)直角三角形的面積公式計算即可．解答：〔1〕證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠D=∠ABC=90°，而F是DCB的延長線上的點，∴∠ABF=90°，在△ADE和△ABF中，∴△ADE≌△ABF〔SAS〕；〔2〕解：∵△ADE≌△ABF，∴∠BAF=∠DAE，而∠DAE+∠EBF=90°，∴∠BAF+∠EBF=90°，即∠FAE=90°，∴△ABF可以由△ADE繞旋轉(zhuǎn)中心A點，按順時針方向旋轉(zhuǎn)90度得到；故答案為A、90；〔3〕解：∵BC=8，∴AD=8，在Rt△ADE中，DE=6，AD=8，∴AE==10，∵△ABF可以由△ADE繞旋轉(zhuǎn)中心A點，按順時針方向旋轉(zhuǎn)90度得到，∴AE=AF，∠EAF=90°，∴△AEF的面積=AE2=×100=50〔平方單位〕．點評：此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．16.〔2023湖北宜昌，18，7分〕如圖，點E，F(xiàn)分別是銳角∠A兩邊上的點，AE=AF，分別以點E，F(xiàn)為圓心，以AE的長為半徑畫弧，兩弧相交于點D，連接DE，DF．〔1〕請你判斷所畫四邊形的性狀，并說明理由；〔2〕連接EF，假設AE=8厘米，∠A=60°，求線段EF的長．考點：菱形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)．分析：〔1〕由AE=AF=ED=DF，根據(jù)四條邊都相等的四邊形是菱形，即可證得：四邊形AEDF是菱形；〔2〕首先連接EF，由AE=AF，∠A=60°，可證得△EAF是等邊三角形，那么可求得線段EF的長．解答：解：〔1〕菱形．理由：∵根據(jù)題意得：AE=AF=ED=DF，∴四邊形AEDF是菱形；〔2〕連接EF，∵AE=AF，∠A=60°，∴△EAF是等邊三角形，∴EF=AE=8厘米．點評：此題考查了菱形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．此題比擬簡單，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結合思想的應用．17.〔2023湖南長沙，24，9分〕如圖，在□ABCD中，M，N分別是AD，BC的中點，∠AND=90°，連接CM交DN于點O.〔1〕求證：⊿ABN≌⊿CDM；〔2〕過點C作CE⊥MN于點E，交DN于點P，假設PE=1，∠1=∠2，求AN的長.〔第〔第24題〕18．〔2023湖南婁底，23，9分〕某校九年級學習小組在探究學習過程中，用兩塊完全相同的且含60°角的直角三角板ABC與AFE按如圖〔1〕所示位置放置放置，現(xiàn)將Rt△AEF繞A點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角α〔0°＜α＜90°〕，如圖〔2〕，AE與BC交于點M，AC與EF交于點N，BC與EF交于點P．〔1〕求證：AM=AN；〔2〕當旋轉(zhuǎn)角α=30°時，四邊形ABPF是什么樣的特殊四邊形？并說明理由．考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定．分析：〔1〕根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AB=AF，∠BAM=∠FAN，進而得出△ABM≌△AFN得出答案即可；〔2〕利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠FAB=120°，∠FPC=∠B=60°，即可得出四邊形ABPF是平行四邊形，再利用菱形的判定得出答案．解答：〔1〕證明：∵用兩塊完全相同的且含60°角的直角三角板ABC與AFE按如圖〔1〕所示位置放置放置，現(xiàn)將Rt△AEF繞A點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角α〔0°＜α＜90°〕，∴AB=AF，∠BAM=∠FAN，在△ABM和△AFN中，，∴△ABM≌△AFN〔ASA〕，∴AM=AN；〔2〕解：當旋轉(zhuǎn)角α=30°時，四邊形ABPF是菱形．理由：連接AP，∵∠α=30°，∴∠FAN=30°，∴∠FAB=120°，∵∠B=60°，∴AF∥BP，∴∠F=∠FPC=60°，∴∠FPC=∠B=60°，∴AB∥FP，∴四邊形ABPF是平行四邊形，∵AB=AF，∴平行四邊形ABPF是菱形．點評：此題主要考查了平行四邊形的判定以及菱形的判定和全等三角形的判定等知識，根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后圖形大小不發(fā)生變化得出是解題關鍵．19．〔2023湖南張家界，24，10分〕如圖，△ABC中，點O是邊AC上一個動點，過O作直線MN∥BC．設MN交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F．〔1〕求證：OE=OF；〔2〕假設CE=12，CF=5，求OC的長；〔3〕當點O在邊AC上運動到什么位置時，四邊形AECF是矩形？并說明理由．考點：矩形的判定；平行線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線．分析：〔1〕根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)得出∠1=∠2，∠3=∠4，進而得出答案；〔2〕根據(jù)得出∠2+∠4=∠5+∠6=90°，進而利用勾股定理求出EF的長，即可得出CO的長；〔3〕根據(jù)平行四邊形的判定以及矩形的判定得出即可．解答：〔1〕證明：∵MN交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F，∴∠2=∠5，4=∠6，∵MN∥BC，∴∠1=∠5，3=∠6，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴EO=CO，F(xiàn)O=CO，∴OE=OF；〔2〕解：∵∠2=∠5，∠4=∠6，∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，∵CE=12，CF=5，∴EF==13，∴OC=EF=6.5；〔3〕答：當點O在邊AC上運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形．證明：當O為AC的中點時，AO=CO，∵EO=FO，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵∠ECF=90°，∴平行四邊形AECF是矩形．點評：此題主要考查了矩形的判定、平行四邊形的判定和直角三角形的判定等知識，根據(jù)得出∠ECF=90°是解題關鍵．20．〔2023湖南婁底，25，10分〕如圖，在△ABC中，∠B=45°，BC=5，高AD=4，矩形EFPQ的一邊QP在BC邊上，E、F分別在AB、AC上，AD交EF于點H．〔1〕求證：；〔2〕設EF=x，當x為何值時，矩形EFPQ的面積最大？并求出最大面積；〔3〕當矩形EFPQ的面積最大時，該矩形EFPQ以每秒1個單位的速度沿射線DA勻速向上運動〔當矩形的邊PQ到達A點時停止運動〕，設運動時間為t秒，矩形EFPQ與△ABC重疊局部的面積為S，求S與t的函數(shù)關系式，并寫出t的取值范圍．考點：相似形綜合題．分析：〔1〕由相似三角形，列出比例關系式，即可證明；〔2〕首先求出矩形EFPQ面積的表達式，然后利用二次函數(shù)求其最大面積；〔3〕本問是運動型問題，要點是弄清矩形EFPQ的運動過程：〔I〕當0≤t≤2時，如答圖①所示，此時重疊局部是一個矩形和一個梯形；〔II〕當2＜t≤4時，如答圖②所示，此時重疊局部是一個三角形．解答：〔1〕證明：∵矩形EFPQ，∴EF∥BC，∴△AHF∽△ADC，∴，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴，∴．〔2〕解：∵∠B=45°，∴BD=AD=4，∴CD=BC﹣BD=5﹣4=1．∵EF∥BC，∴△AEH∽△ABD，∴，∵EF∥BC，∴△AFH∽△ACD，∴，∴，即，∴EH=4HF，EF=x，那么EH=x．∵∠B=45°，∴EQ=BQ=BD﹣QD=BD﹣EH=4﹣x．S矩形EFPQ=EF?EQ=x?〔4﹣x〕=﹣x2+4x=﹣〔x﹣〕2+5，∴當x=時，矩形EFPQ的面積最大，最大面積為5．〔3〕解：由〔2〕可知，當矩形EFPQ的面積最大時，矩形的長為，寬為4﹣×=2．在矩形EFPQ沿射線AD的運動過程中：〔I〕當0≤t≤2時，如答圖①所示．設矩形與AB、AC分別交于點K、N，與AD分別交于點H1，D1．此時DD1=t，H1D1=2，∴HD1=HD﹣DD1=2﹣t，HH1=H1D1﹣HD1=t，AH1=AH﹣HH1=2﹣t，．∵KN∥EF，∴，即，得KN=〔2﹣t〕．S=S梯形KNFE+S矩形EFP1Q1=〔KN+EF〕?HH1+EF?EQ1=[〔2﹣t〕+]×t+〔2﹣t〕=t2+5；〔II〕當2＜t≤4時，如答圖②所示．設矩形與AB、AC分別交于點K、N，與AD交于點D2．此時DD2=t，AD2=AD﹣DD2=4﹣t，∵KN∥EF，∴，即，得KN=5﹣t．S=S△AKN=KN?AD2=〔5﹣t〕〔4﹣t〕=t2﹣5t+10．綜上所述，S與t的函數(shù)關系式為：S=．點評：此題是運動型相似三角形壓軸題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的表達式與最值、矩形、等腰直角三角形等多個知識點，涉及考點較多，有一定的難度．難點在于第〔3〕問，弄清矩形的運動過程是解題的關鍵．21.〔2023江蘇南京，19，8分〕如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，對角線BD平分ABC，P是BD上一點，過點P作PMAD，PNCD，垂ABCDNMABCDNMP(1)求證：ADB=CDB；(2)假設ADC=90，求證：四邊形MPND是正方形。解析：證明：(1)∵BD平分ABC，∴ABD=CBD。又∵BA=BC，BD=BD，∴△ABD△CBD。∴ADB=CDB。(4分)(2)∵PMAD，PNCD，∴PMD=PND=90。又∵ADC=90，∴四邊形MPND是矩形?！逜DB=CDB，PMAD，PNCD，∴PM=PN。∴四邊形MPND是正方形。(8分)22．[2023湖南邵陽，26，10分]如圖(十二)所示，在Rt△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=90°.點P是△ABC外角∠BCN的角平分線上一個動點，點P/是點P關于直線BC的對稱點，連結PP/交BC于點M、BP/交AC于點D，連結BP、AP/、CP/.(1)假設四邊形BPCP/為菱形，求BM的長；(2)假設△BMP/∽△ABC，求BM的長；(3)假設△ABD為等腰三角形，求△ABD的面積.圖(十一)圖(十一)②③①知識考點：菱形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形面積計算.審題要津：〔1〕根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分即可求解；〔2〕根據(jù)勾股定理求解；〔3〕根據(jù)面積公式求解.總分值解答：解：〔1〕∵四邊形BPCP/是菱形，∴BC與PP/互相平分，∴BM=eq\f(1,2)BC=3.(2)∵△BMP/∽△ABC，且△ABC是等腰直角三角形，∴△BMP/是等腰直角三角形，∴BM=MP/,∠BPP/=45°.∵P與P/關于直線BC對稱，∴∠BPM=45°，PM=MP/，∴BM=MP.∵CP平分∠NCB，∴∠BCP=eq\f(1,2)∠BCN=eq\f(1,2)(180°-45°)=67.5°.又∵∠CPM=90°-∠BCP=90°-67.5°=22.5°，∴∠BPC=∠BPM+∠CPM=45°+22.5°=67.5°，∴∠BCP=∠BPC，∴BP=BC=6.在Rt△BMP中，∵BM2+MP2=BP2，2BM2=62，∴BM=3eq\r(2).(3)由題意，知∠BAD=45°.①當AB=AD時，過點D作DE⊥AB，垂足為D.在Rt△AED中，DE=AD·sin∠DAB=6×sin45°=3eq\r(2),此時△ABD的面積為：eq\f(1,2)AB·DE=eq\f(1,2)×6×3eq\r(2)=9eq\r(2).胸、地(1,2)錯誤！未指定書簽。②當AD=BD時，有∠ABD=∠BAD=45°，∴∠ADB=90°，∴BD⊥AC，∵△ABC是等腰在解三角形，且AB=BC，∴D為AC的中點，∴△ABD的面積為△ABC面積的一半，∴△ABC的面積為eq\f(1,2)×eq\f(1,2)AB·AC=eq\f(1,4)×6×6=9.③當AB=BD時，∵∠BAD=45，∴∠ABC=90°，此時△ABD就是△ABC，∴△ABD的面積為eq\f(1,2)AB·BD=eq\f(1,2)AB·BC=eq\f(1,2)×6×6=18.綜上所述，△ABD的面積為9eq\r(2),或9,或18.名師點評：此題是一道綜合性壓軸題，題目難度較大，解題時注意轉(zhuǎn)換思想的運用.胸、地(9,2)錯誤！未指定書簽。23．〔2023·泰安，28，?分〕如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一點，BE交AC于F，連接DF．〔1〕證明：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE．〔2〕假設AB∥CD，試證明四邊形ABCD是菱形；〔3〕在〔2〕的條件下，試確定E點的