充分統(tǒng)計量與完備統(tǒng)計量

會計學(xué)1充分統(tǒng)計量與完備統(tǒng)計量

為了推斷總體分布的未知參數(shù)，需要把樣本中關(guān)于未知參數(shù)的信息“提煉“出來，即構(gòu)造合適的統(tǒng)計量——樣本的函數(shù)f(X1,X2,…,Xn)

例

為研究某個運動員的打靶命中率，我們對該運動員進行測試，觀測其10次，發(fā)現(xiàn)除第三、六次未命中外，其余8次都命中。這樣的觀測結(jié)果包含了兩種信息：(1)打靶10次命中8次；(2)2次不命中分別出現(xiàn)在第3次和第6次打靶上。

第二種信息對了解該運動員的命中率是沒有什么幫助的。第1頁/共27頁

一般地，設(shè)我們對該運動員進行n次觀測，得到x1,x2,…,xn，每個xj

取值非0即1，命中1，不命中為0。

令T=x1+…+xn

，T為觀測到的命中次數(shù)。在這種場合僅僅記錄使用T不會丟失任何與命中率有關(guān)的信息。

顯然，一個“好”的統(tǒng)計量應(yīng)該能夠?qū)颖局兴年P(guān)于未知參數(shù)的信息全部提煉出來，而不沒有任何有用信息損失，這就是英國著名統(tǒng)計學(xué)家Fisher于1922年提出的一個重要的概念-----充分統(tǒng)計量。第2頁/共27頁

樣本X1,X2,…,Xn有一個樣本分布F(x)，這個分布包含了樣本中一切有關(guān)的信息。統(tǒng)計量T=T(X1,X2,…,Xn)也有一個抽樣分布FT(t)。

當(dāng)我們期望用統(tǒng)計量T代替原始樣本并且不損失任何有關(guān)的信息時，也就是期望抽樣分布FT(t)像F(x)一樣概括了有關(guān)的一切信息。

這即是說在統(tǒng)計量T的取值為t的情況下樣本x的條件分布F(x|T=t)已不含的信息，這正是統(tǒng)計量具有充分性的含義。第3頁/共27頁第4頁/共27頁第5頁/共27頁第6頁/共27頁第7頁/共27頁二、

因子分解定理

根據(jù)充分統(tǒng)計量的含義，在對總體未知參數(shù)進行推斷時，應(yīng)在可能的情況下盡量找出關(guān)于未知參數(shù)的充分統(tǒng)計量。

但從定義出發(fā)來判別一個統(tǒng)計量是否是充分統(tǒng)計量是很麻煩的。

為此，需要一個簡單的判別準(zhǔn)則。下面給出一個定理——因子分解定理，運用這個定理，判別甚至尋找一個充分統(tǒng)計量有時會很方便。第8頁/共27頁第9頁/共27頁第10頁/共27頁例1.4根據(jù)因子分解定理證明例1.3。

證明樣本的聯(lián)合分布律為

若取

則有

第11頁/共27頁若取

則第12頁/共27頁第13頁/共27頁第14頁/共27頁三、完備統(tǒng)計量

為了介紹完備統(tǒng)計量的概念，首先需要引入完備分布函數(shù)族的概念。

第15頁/共27頁

完備統(tǒng)計量的含義不如充分統(tǒng)計量那么明確，但由定義可見它有如下特征：

第16頁/共27頁但反之不成立，

第17頁/共27頁第18頁/共27頁第19頁/共27頁

如果一個統(tǒng)計量既是充分的，又是完備的，則稱為充分完備統(tǒng)計量。在尋求總體分布中未知參數(shù)的優(yōu)良估計中，充分完備統(tǒng)計量扮演著重要的角色。

第20頁/共27頁四、指數(shù)型