變化的快慢與變化率

會計(jì)學(xué)1變化的快慢與變化率銀杏樹高:15米樹齡:1000年雨后春筍高:15厘米時間:兩天世界上變化無處不在，如何刻畫事物變化的快慢呢？﹤第1頁/共28頁探究點(diǎn)1平均變化率定義

問題（1）物體從某一時刻開始運(yùn)動，設(shè)s表示此物體經(jīng)過時間t走過的路程，顯然s是時間t的函數(shù),表示為s=s(t).在運(yùn)動的過程中測得了一些數(shù)據(jù)，如表：t(s)025101315…s(m)069203244…

物體在0～2s和10～13s這兩段時間內(nèi)，哪一段時間運(yùn)動得更快？如何刻畫物體運(yùn)動的快慢？第2頁/共28頁分析：我們通常用平均速度來比較運(yùn)動的快慢.在0～2s這段時間內(nèi)，物體的平均速度為在10～13s這段時間內(nèi)，物體的平均速度為顯然，物體在后一段時間比前一段時間運(yùn)動得快.第3頁/共28頁問題（2）某病人吃完退燒藥，他的體溫變化如圖所示：比較時間x從0min到20min和從20min到30min體溫的變化情況，哪段時間體溫變化較快？如何刻畫體溫變化的快慢？y/(oC)x/min01020304050607036373839第4頁/共28頁分析：根據(jù)圖像可以看出：當(dāng)時間x從0min到20min時，體溫y從39oC變?yōu)?8.5oC，下降了0.5oC；當(dāng)時間x從20min到30min時，體溫y從38.5oC變?yōu)?8oC，下降了0.5oC.兩段時間下降相同的溫度，而后一段時間比前一段短，所以后一段時間的體溫比前一段時間下降得快.我們也可以比較這兩段時間中，單位時間內(nèi)體溫的平均變化量，于是當(dāng)時間x從0min變到20min時，體溫y第5頁/共28頁相對于時間x的平均變化率為當(dāng)時間x從20min變到30min時，體溫y相對于時間x的平均變化率為這里出現(xiàn)了負(fù)號，它表示體溫下降了，顯然，絕對值越大，下降得越快，這里，體溫從20min到30min這段時間下降得比0min到20min這段時間要快.第6頁/共28頁分析上面的第一個問題中，我們用一段時間內(nèi)物體的平均速度刻畫了物體運(yùn)動的快慢，當(dāng)時間從t0變?yōu)閠1時，物體所走的路程從s(t0)變?yōu)閟(t1)，這段時間內(nèi)物體的平均速度是第二個問題中，我們用一段時間內(nèi)體溫的平均變化率刻畫了體溫變化的快慢，當(dāng)時間從x0變?yōu)閤1體溫從y(x0)變?yōu)閥(x1)，體溫的平均變化率你能類比歸納出“函數(shù)f(x)在區(qū)間[x1,x2]上的平均變化率”的一般性定義嗎？第7頁/共28頁抽象概括：1.平均變化率的定義:

對一般的函數(shù)y=f（x）來說，當(dāng)自變量x從變?yōu)闀r，函數(shù)值從f（）變?yōu)?，它的平均變化率為通常把自變?稱作自變量的改變量，記作，函數(shù)值的變化稱作函數(shù)值的改變量，記作，則有如下表示：第8頁/共28頁xyB(x2,f(x2))A(x1,f(x1))Of(x2)-f(x1)=△yx2-x1=△x2.平均變化率的幾何意義：幾何意義是曲線上經(jīng)過Ａ，Ｂ兩點(diǎn)的直線的斜率.斜率的概念第9頁/共28頁思考1.表達(dá)式中f(x2)-f(x1)與x2-x1的順序可以交換嗎？它們本身前后兩個式子可以交換嗎？提示:f(x2)-f(x1)與x2-x1的順序不可交換，但它們本身的式子可以同時交換，如也可以寫為

思考2.函數(shù)y=f(x)在x=x0附近的平均變化率如何計(jì)算？提示:設(shè)x在x0附近的變化量為Δx，則平均變化率

第10頁/共28頁提示：對于一般的函數(shù)y=f(x),在自變量x從x0變到x1的過程中，若設(shè)△x=x1-x0△y=f(x1)-f(x0),則函數(shù)的平均變化率是思考：如何精確地刻畫物體在某一瞬間的變化率呢？探究點(diǎn)2瞬時速度、瞬時變化率則當(dāng)△x趨于0時，平均變化率就趨于函數(shù)在x0點(diǎn)的瞬時變化率.第11頁/共28頁（1）瞬時變化率的表示對于函數(shù)y=f(x),在自變量x從x0變到x1的過程中①自變量的改變量:Δx=_____;②函數(shù)值的改變量:Δy=___________;③平均變化率:=___________________;④在x0點(diǎn)的瞬時變化率：當(dāng)Δx趨于__時，平均變化率趨于某一常數(shù)，此常數(shù)即為瞬時變化率.(2)瞬時變化率的意義瞬時變化率刻畫的是函數(shù)在_____處變化的快慢.x1-x0f(x1)-f(x0)0一點(diǎn)第12頁/共28頁例1：一個小球從高空自由下落，其走過的路程s（單位：m）與時間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系為其中，g為重力加速度試估計(jì)小球在t=5s這個時刻的瞬時速度.，第13頁/共28頁分析：當(dāng)時間t從t0變到t1時，根據(jù)平均速度公式可以求出從5s到6s這段時間內(nèi)小球的平均速度我們有時用它來近似表示t=5s時的瞬時速度.為了提高精確度，可以縮短時間間隔，如求出5～5.1s這段時間內(nèi)的平均速度（m/s）.（m/s）用它來近似表示t=5s時的瞬時速度.第14頁/共28頁解：我們將時間間隔每次縮短為前面的，計(jì)算出相應(yīng)的平均速度得到下表：平均速度t0/st1/s時間的改變量（Δt）/s路程的改變量（Δs）/m

/（m/s）55.10.14.9549.555.010.010.4949.04955.0010.0010.04949.004955.00010.00010.004949.000495…………第15頁/共28頁可以看出，當(dāng)時間t1趨于t0=5s時，平均速度趨于49m/s，因此，可以認(rèn)為小球在t0=5s時的瞬時速度為49m/s.從上面的分析和計(jì)算可以看出，瞬時速度為49m/s的物理意義是，如果小球保持這一時刻的速度進(jìn)行運(yùn)動的話，每秒將要運(yùn)動49m．第16頁/共28頁【變式練習(xí)】一輛汽車按規(guī)律s＝3t2＋1做直線運(yùn)動，求這輛汽車在t＝3s時的瞬時速度(單位：m/s)．解析：因?yàn)棣＝3(3＋Δt)2＋1－(3×32＋1)＝3Δt2＋18Δt，所以因?yàn)楫?dāng)Δt趨于0時，趨于18，所以這輛汽車在t＝3

s時的瞬時速度的大小為18m/s.第17頁/共28頁例2：如圖所示，一根質(zhì)量分布不均勻的合金棒，長為10m.x（單位：m）表示OX這段棒的長，y（單位：kg）表示OX這段棒的質(zhì)量，它們滿足以下函數(shù)關(guān)系：估計(jì)該合金棒在x=2m處的線密度.分析：一段合金棒的質(zhì)量除以這段合金棒的長度，就是這段合金棒的平均線密度.第18頁/共28頁解：由，我們可以計(jì)算出相應(yīng)的平均線密度得到下表：x0/mx1/m長度x的改變量（Δx）/m質(zhì)量y的改變量（Δy）/kg/（kg/m）22.10.10.0700.7022.010.010.00710.7122.0010.0010.000710.7122.00010.00010.0000710.712…………平均線密度第19頁/共28頁可以看出，當(dāng)x1趨于x0=2m時，平均線密度趨于0.71kg/m，因此，可以認(rèn)為合金棒在x0=2m處的線密度為0.71kg/m.從上面的分析和計(jì)算可以看出，線密度為0.71kg/m的物理意義是，如果有1m長的這種線密度的合金棒，其質(zhì)量將為0.71kg.第20頁/共28頁某物體做勻速運(yùn)動，其運(yùn)動方程是s＝vt＋b，則該物體在運(yùn)動過程中其平均速度與任何時刻的瞬時速度分別是多少？【變式練習(xí)】提示：所以當(dāng)Δt趨于0時，趨于常數(shù)v，即物體在任意時刻的瞬時速度都是v.定義法第21頁/共28頁D2.如果質(zhì)點(diǎn)A按規(guī)律運(yùn)動，則在秒的瞬時速度為（）A．6

B．18

C．54

D．81C1.已知函數(shù)f(x)=-x2+x的圖像上的一點(diǎn)A(-1,-2)及臨近一點(diǎn)B(-1+Δx,-2+Δy),則=()A.3B.3Δx-(Δx)2C.3-(Δx)2D.3-Δx第22頁/共28頁A4.甲、乙兩個物體沿直線運(yùn)動的方程分別是和，則在秒時兩個物體運(yùn)動的瞬時速度關(guān)系是（）A.甲大B.乙大C.相等D.無法比較B第23頁/共28頁5.自由落體運(yùn)動的運(yùn)動方程為s=gt2，計(jì)算t從3s到3.1s這段時間內(nèi)的平均速度（位移的單位為m）.解析：設(shè)在[3，3.1]內(nèi)的平均速度為v1，則△t1=3.1-3=0.1(s).△s1=s(3.1)-s(3)=0.5g×3.12-0.5g×32=0.305g(m).所以第24頁/共28頁1.平均變化率的定義:2.平均變化率的幾何意義是曲線上經(jīng)過Ａ，Ｂ兩點(diǎn)的直線的斜率.3