函數(shù)的奇偶性（第一課時(shí)）課件-學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)湘教版（2019）必修第一冊VIP

3.2.2函數(shù)的奇偶性第一課時(shí)函數(shù)的奇偶性(一)1.理解奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義，會判斷函數(shù)的奇偶性.2.掌握奇函數(shù)、偶函數(shù)的圖象特征.課標(biāo)要求素養(yǎng)要求由圖象抽象出函數(shù)性質(zhì)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng).課前預(yù)習(xí)課堂互動(dòng)分層訓(xùn)練內(nèi)容索引課前預(yù)習(xí)知識探究11.奇函數(shù)、偶函數(shù)的圖象特征(1)如果F(x)的圖象是以______為對稱軸的軸對稱圖形，就稱F(x)是偶函數(shù).(2)如果F(x)的圖象是以______為中心的中心對稱圖形，就稱F(x)是奇函數(shù).y軸原點(diǎn)2.奇函數(shù)、偶函數(shù)的數(shù)學(xué)符號描述(1)如果對一切使F(x)有定義的x，________也有定義，并且_______________成立，則稱F(x)為偶函數(shù)，偶函數(shù)就是滿足條件F(－x)＝F(x)的函數(shù).(2)如果對一切使F(x)有定義的x，F(xiàn)(－x)也有定義，并且________________成立，則稱F(x)為奇函數(shù)，奇函數(shù)就是滿足條件F(－x)＝－F(x)的函數(shù).F(－x)F(－x)＝F(x)F(－x)＝－F(x)點(diǎn)睛(1)一看定義域.定義域D具有對稱性，即?x∈D，－x∈D，也就是說奇、偶函數(shù)的定義域要關(guān)于原點(diǎn)對稱，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱時(shí)，f(x)是非奇非偶函數(shù).如f(x)＝x2，x∈R是偶函數(shù)，但f(x)＝x2，x∈[－1，2]是非奇非偶函數(shù).(2)二看等式.當(dāng)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱時(shí)，要看f(x)與f(－x)的關(guān)系：①f(－x)＝f(x)?f(x)是偶函數(shù)；②f(－x)＝－f(x)?f(x)是奇函數(shù)；③f(－x)≠±f(x)?f(x)是非奇非偶函數(shù)；④f(－x)＝±f(x)?f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).這樣的函數(shù)只有一類，即f(x)＝0，x∈D，且D關(guān)于原點(diǎn)對稱.由以上兩點(diǎn)不難得到利用定義法判斷函數(shù)奇偶性的步驟.

1.思考辨析，判斷正誤(1)f(x)是定義在R上的函數(shù)，若f(－1)＝f(1)，則f(x)一定是偶函數(shù).(

)提示

偶函數(shù)需對一切x∈R，都有f(－x)＝f(x). (2)若函數(shù)的定義域?yàn)镽，則該函數(shù)不是奇函數(shù)就是偶函數(shù).(

)

提示

只有符合定義才能判斷是奇函數(shù)或偶函數(shù)，也有可能非奇非偶. (3)對于函數(shù)y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，則函數(shù)y＝f(x)一定是奇函數(shù).(

)

提示反例：f(x)＝x2，存在x＝0，f(－0)＝－f(0)＝0，但函數(shù)f(x)＝x2不是奇函數(shù).(4)不存在既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù).(

)提示存在f(x)＝0，x∈R既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù).××××2.下列圖象表示的函數(shù)中具有奇偶性的是(

)B解析

選項(xiàng)A中的圖象關(guān)于原點(diǎn)或y軸均不對稱，故排除；選項(xiàng)C，D中的圖象所示的函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，不具有奇偶性，故排除；選項(xiàng)B中的圖象關(guān)于y軸對稱，其表示的函數(shù)是偶函數(shù).故選B.3.已知函數(shù)f(x)＝|x3＋1|＋|x3－1|，則下列坐標(biāo)表示的點(diǎn)一定在函數(shù)f(x)的圖象上的是(

)A.(－a，－f(a)) B.(a，f(－a))C.(a，－f(a)) D.(－a，－f(－a))

解析

∵f(－x)＝|－x3＋1|＋|－x3－1|＝|x3－1|＋|x3＋1|＝f(x)，且f(x)的定義域?yàn)镽，∴f(x)為偶函數(shù).∵點(diǎn)(a，f(a))一定在函數(shù)f(x)的圖象上，又f(a)＝f(－a)，∴點(diǎn)(a，f(－a))也一定在函數(shù)f(x)的圖象上.B34.若f(x)為R上的偶函數(shù)，且f(2)＝3，則f(－2)＝________.

解析

f(x)為偶函數(shù)，故f(－2)＝f(2)＝3.課堂互動(dòng)題型剖析2題型一判斷函數(shù)的奇偶性解函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱，又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，所以f(x)為偶函數(shù).(2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧－1，1}，關(guān)于原點(diǎn)對稱，且f(x)＝0，又f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，所以f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).解(3)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠1}，不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以f(x)是非奇非偶函數(shù).(4)f(x)的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點(diǎn)對稱.當(dāng)x>0時(shí)，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x).綜上可知，對于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)為偶函數(shù).判斷函數(shù)的奇偶性，一般有以下幾種方法：(1)定義法：若函數(shù)定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；若函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，則應(yīng)進(jìn)一步判斷f(－x)是否等于±f(x)，或判斷f(－x)±f(x)是否等于0，從而確定奇偶性.(2)圖象法：若函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則函數(shù)為奇函數(shù)；若函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，則函數(shù)為偶函數(shù).分段函數(shù)奇偶性的判斷，要分別從關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上來尋找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有當(dāng)對稱的兩個(gè)區(qū)間上滿足相同關(guān)系時(shí)，分段函數(shù)才具有奇偶性.思維升華解

(1)函數(shù)的定義域?yàn)镽.又f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，所以f(x)是奇函數(shù).(2)f(x)的定義域是R.因?yàn)閒(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，所以f(x)是偶函數(shù).(3)函數(shù)f(x)的定義域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以f(x)是非奇非偶函數(shù).題型二奇、偶函數(shù)的圖象【例2】

定義在R上的奇函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上的圖象如圖所示.(1)畫出f(x)的圖象；解

先描出(1，1)，(2，0)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)(－1，－1)，(－2，0)，連線可得f(x)的圖象如圖.(2)解不等式xf(x)>0.解

xf(x)>0即圖象上橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)同號.結(jié)合圖象可知，xf(x)>0的解集是(－2，0)∪(0，2).函數(shù)奇偶性反映到圖象上是圖象的對稱性，作出對應(yīng)圖象根據(jù)圖象觀察得結(jié)論.思維升華【訓(xùn)練2】

已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇－5，5]，且在區(qū)間[0，5]上的圖象如圖所示.(1)畫出在區(qū)間[－5，0]上的圖象；解

如圖，在[0，5]上的圖象上選取5個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)O，A，B，C，D.分別描出它們關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)O，A′，B′，C′，D′，再用光滑曲線連接即可.(2)寫出使f(x)<0的x的取值集合.解

由(1)圖可知，當(dāng)且僅當(dāng)x∈(－2，0)∪(2，5)時(shí)，f(x)<0.∴使f(x)<0的x的取值集合為(－2，0)∪(2，5).題型三利用函數(shù)奇偶性求參數(shù)值【例3】

(1)若函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函數(shù)，定義域?yàn)閇a－1，2a]，則a＝________，b＝________； (2)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋2x是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝________.(2)由奇函數(shù)定義有f(－x)＋f(x)＝0，得a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0，又x∈R使其恒成立，故a＝0.00利用奇偶性求參數(shù)的常見類型(1)定義域含參數(shù)：奇偶函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，根據(jù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，利用a＋b＝0求參數(shù).(2)解析式含參數(shù)：根據(jù)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比較系數(shù)利用待定系數(shù)法求解.思維升華解析

(1)因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，－10顯然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，故a＋1＝0，得a＝－1.當(dāng)a＝－1，b＝1時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)知f(x)為奇函數(shù)，故a＋b＝0.課堂小結(jié)分層訓(xùn)練素養(yǎng)提升3一、選擇題1.下列函數(shù)為偶函數(shù)的是(

) A.f(x)＝x－1 B.f(x)＝x2＋x C.f(x)＝2x－2－x D.f(x)＝2x＋2－x

解析

D中，函數(shù)f(x)＝2x＋2－x的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱，又f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)， ∴f(x)為偶函數(shù).D2.(多選題)下列說法正確的為(

)A.圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)是奇函數(shù)B.圖象關(guān)于y軸對稱的函數(shù)是偶函數(shù)C.奇函數(shù)的圖象一定過原點(diǎn)D.偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交AB3.對于定義在R上的函數(shù)f(x)，給出下列判斷：(1)若f(－2)＝f(2)，則函數(shù)f(x)是偶函數(shù)；(2)若f(－2)≠f(2)，則函數(shù)f(x)不是偶函數(shù)；(3)若f(－2)＝f(2)，則函數(shù)f(x)不是奇函數(shù).其中正確的判斷的個(gè)數(shù)是(

)A.0 B.1 C.2 D.3

解析(1)僅有f(－2)＝f(2)不足以確定函數(shù)的奇偶性，不滿足奇函數(shù)、偶函數(shù)定義中的“任意”，故(1)錯(cuò)誤； (2)當(dāng)f(－2)≠f(2)時(shí)，該函數(shù)就一定不是偶函數(shù)，故(2)正確； (3)若f(－2)＝f(2)，則不能確定函數(shù)f(x)不是奇函數(shù).如若f(x)＝0，x∈R，則f(－2)＝f(2)，但函數(shù)f(x)＝0，x∈R既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，故(3)錯(cuò)誤.BA.是奇函數(shù) B.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)C.是偶函數(shù) D.是非奇非偶函數(shù)解析函數(shù)定義域是{x|x≥1}，不關(guān)于原點(diǎn)對稱，是非奇非偶函數(shù)，選D.D5.下圖的四個(gè)函數(shù)圖象中奇函數(shù)的個(gè)數(shù)為(

)BA.1 B.2 C.3 D.4解析從圖中可看出(2)(4)兩個(gè)圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，故為奇函數(shù).二、填空題6.若函數(shù)f(x)＝(x＋a)(x－4)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝________.

解析

f(x)＝x2＋(a－4)x－4a，若為偶函數(shù)，則a－4＝0，∴a＝4.47.已知f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，則a的值為________.

解析

f(x)為奇函數(shù)，∴f(－3)＝－f(3)＝－6，代入得：9－3a＝－6，∴a＝5.58.已知函數(shù)y＝f(x)為偶函數(shù)，其圖象與x軸有四個(gè)交點(diǎn)，則方程f(x)＝0的所有實(shí)根之和是________.0解析

由于偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以偶函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)也關(guān)于y軸對稱，因此，四個(gè)交點(diǎn)中，有兩個(gè)在x軸的負(fù)半軸上，另外兩個(gè)在x軸的正半軸上，所以四個(gè)實(shí)根的和為0.三、解答題9.判斷下列函數(shù)的奇偶性：解

(1)定義域?yàn)镽，f(－x)＝f(x)＝5，∴f(x)是偶函數(shù).(2)∵f(x)的定義域?yàn)閇－1，0)∪(0，1]，10.(1)如圖(1)，給出奇函數(shù)y＝f(x)的局部圖象，試作出y軸右側(cè)的圖象并求出f(3)的值.解

奇函數(shù)y＝f(x)在y軸左側(cè)圖象上任一點(diǎn)P(－x，f(－x))關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為P′(x，f(x))，圖(3)為圖(1)補(bǔ)充后的圖象，易知f(3)＝－2.(2)如圖(2)，給出偶函數(shù)y＝f(x)的局部圖象，試作出y軸右側(cè)的圖象并比較f(1)與f(3)的大小.解偶函數(shù)y＝f(x)在y軸左側(cè)圖