2017高等代數(shù)第三章小結(jié)

Zhanglizhuo-§3.2線性相關(guān)與線性§3.3向量組§3.4向量空間Kn§3.6線性方程組有解的§3.7齊次線性方程組§3.8非齊次線性方程組Zhanglizhuo-一、n維向量空間Zhanglizhuo-【提綱挈領(lǐng)理解和掌握n理解和掌握向量定義n維向量空間/線性子空間。Zhanglizhuo-【知識點(diǎn)串【命題1】n元線性方程組x11+x22+…+xnn=可以由1,2,…,n線性表1,2,…,nZhanglizhuo-一、線性相關(guān)與二、線性相關(guān)與Zhanglizhuo-【提綱挈領(lǐng)理解與掌握線性義線性相關(guān)/線性無關(guān)。Zhanglizhuo-【知識點(diǎn)串【命題2】設(shè)向量組12…m線性無關(guān)，則向量可由向量組1,2,…,m線性表出1,2,…,m,線性相關(guān)【推論2】設(shè)向量組1,2,…,m線性無關(guān)，則向量不能由向量組1,2,…,m線性表出1,2,…,m,線性無關(guān)Zhanglizhuo-從線性組向量組1,2,…,m(m1)線性相它有系數(shù)不全為0的線性組合等于零向量組1,2,…,m(m1)線性無它只有系數(shù)全為0的線性組合才會等于零向從線性表向量組1,2,…,m(m2)線性相其中至少有一個向量可以由其余向量線向量組1,2,…,m(m2)線性無其中每一個向量都不能由其余向量線性Zhanglizhuo-從齊次線列向量組1,2,…,m(m1)線性齊次線性方程組x11++xmm=O有非零解列向量組1,2,…,m(m1)線性齊次線性方程組x11++xmm=O只有從行列式n個n維列(行)向量組1,2,…,n線性相以1,…,m為列(行)構(gòu)成的行列式等n個n維列(行)向量組1,2,…,n線性無以1,…,n為列(行)構(gòu)成的行列式不等于Zhanglizhuo-Zhanglizhuo-【提綱挈領(lǐng)理解和掌握向量理解向量組的定義極大線性無關(guān)組/向量組等價/向量組的Zhanglizhuo-【知識點(diǎn)串思路1【命題1】向量組與其極大線性無關(guān)【推論2】向量組的任二極大線性無關(guān)組等思路【引理】【推論3】如果(I)線性無關(guān)，則(I)含向量個數(shù)(II)【推論4】等價的線性無關(guān)向量組所含向量數(shù)目相【命題7】組(I)可由組(II)線性表出，則(I)秩(II)秩【推論8】等價的向量組有相同的秩Zhanglizhuo-一、子空間的基二、子空間的相Zhanglizhuo-【提綱挈領(lǐng)理解子空間的基定義基/維數(shù)。Zhanglizhuo-【知識點(diǎn)思路1【定理1】每非零子空間U都有一【定理2】非零子空間U任兩個基含向量數(shù)思路2【命題3】非零子空間U中每一向量可由基唯一線性【命題3】r維子空間U中任意r+1個向量都線性相關(guān)【命題3】r維子空間U中任意r個線性無關(guān)向量【命題3】若兩個非零子空間UW，則dimUdimW【命題3】設(shè)非零子空間UW，若dimU=dimW，則U=W思路3【定理8】1s的極大線性無關(guān)組是U=1s基，從而dim1,…,s=rank{1s}。Zhanglizhuo-§3.5矩陣的一、矩陣的行秩Zhanglizhuo-【提綱挈理解和掌握矩陣?yán)斫夂驼莆站仃嚩x矩陣的秩。Zhanglizhuo-【知識點(diǎn)串燒思路1【定理1】階梯形陣J行秩=列秩=非零行數(shù)，主元列為列組極大無關(guān)【定理2】矩陣初等行變換不改變矩【定理3】矩陣初等行變換不改變矩陣列的關(guān)系【定理4】任一矩陣的行秩=列秩【推論5】矩陣A經(jīng)初等行變換化為階梯形矩陣J，rank(A)=非零行數(shù)，J主元列為列組一極大線性無關(guān)組?！就普?】矩陣的初等列變換不改變思路3【定理8】任一非零矩陣的秩等于它的非零子式【推論9】n級矩陣A的秩=n|A|0【推論10】最高階非零子式所在行(列)為行(列)組一極大線性無關(guān)Zhanglizhuo-Zhanglizhuo-【提綱挈理解和掌握線性理解和掌握有解Zhanglizhuo-rank{12n}=rank{12n}Zhanglizhuo-一、齊次線性方二、齊次線性方Zhanglizhuo-【提綱挈領(lǐng)理解和掌握齊次定義基礎(chǔ)解系。Zhanglizhuo-性質(zhì)1齊次方程組(1)的任意兩個解的和是(1)的解?！径ɡ?】數(shù)域K上n元齊次線性方程組解空間WdimW=n-rank(A)，A為系Zhanglizhuo-一、非齊次線性二、非齊次線性Zhanglizhuo-【提綱挈領(lǐng)理解和掌握非齊理解和掌握非齊Zhanglizhuo- 特解W是方程組(1)的導(dǎo)出組的解空間。Zhanglizhuo-Zhanglizhuo-1設(shè)向量組12m的秩為r，如果12j1j2jr是12m的一個極大線性無【證】設(shè)i1,i2,,ir是它的一個極大線性無關(guān)組，依題設(shè)，i1,i2,,ir可由j1,j2,,jr線性表出，依命題7r=rank{i1i2irrank{j1j2jr}，