光電信息物理基礎(chǔ)

光電信息物理基礎(chǔ)第一頁，共六十二頁，2022年，8月28日信息傳輸（通訊與通信）：類似人的神經(jīng)系統(tǒng)，負(fù)責(zé)；信息傳送，屬于通訊領(lǐng)域。通訊：有線（電纜），無線（電磁波），有線光通訊，無線光通訊信息處理（計(jì)算機(jī)技術(shù)）類似人的大腦系統(tǒng)，負(fù)責(zé)對信息的綜合處理，由計(jì)算機(jī)處理。2）如何產(chǎn)生信息、如何傳輸信息、如何采集信息、如何處理信息均要深刻理解其物理原理和本質(zhì)，其主要涉及的內(nèi)容？2.為什么學(xué)習(xí)信息物理基礎(chǔ)？3.怎么學(xué)習(xí)信息物理基礎(chǔ)？科學(xué)與技術(shù)理論與實(shí)踐第二頁，共六十二頁，2022年，8月28日第1章數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

§1.1矢量代數(shù)和矢量函數(shù)1.矢量

需用量值表示其大小，又需要指明方向的量，叫矢量，例如力、速度、加速度、動量、角動量等都是矢量。

需用數(shù)值和單位(合稱量值)表示其大小的量，叫標(biāo)量，如長度、時(shí)間、質(zhì)量、溫度、能量等都是標(biāo)量

用帶箭頭的字母(例如、等)或黑斜體字母(如A、D等)表示矢量。矢量的大小又稱矢量的模，并用，表示。第三頁，共六十二頁，2022年，8月28日2.矢量加減運(yùn)算

加法服從交換律服從結(jié)合律

第四頁，共六十二頁，2022年，8月28日3單位矢量和分矢量:大小為1的矢量

坐標(biāo)軸方向的單位矢量

單位矢量表示為。

常矢和變矢大小和方向都保持不變的矢量稱

任一矢量可以分解為幾個(gè)矢量，它們的和就是這個(gè)矢量。特別是可以分解為沿坐標(biāo)軸的互相垂直的分量

第五頁，共六十二頁，2022年，8月28日其中是矢量和矢量的夾角。若將矢量和矢量用直角坐標(biāo)系方法表示，則有

標(biāo)量積滿足交換律和結(jié)合律4兩矢量的標(biāo)量積第六頁，共六十二頁，2022年，8月28日它的大小等于

不服從交換律，但滿足結(jié)合律直角坐標(biāo)系方法表示，則有

其方向垂直于兩矢量所決定的平面，并且滿足右手螺旋定則

5兩矢量的矢量積第七頁，共六十二頁，2022年，8月28日有三種形式

所謂三重標(biāo)量積

它表示要先求矢量積，然后求標(biāo)量積，其結(jié)果為一個(gè)標(biāo)量，即為平行六面體的體積

6三矢量相乘第八頁，共六十二頁，2022年，8月28日§1.2場、梯度、散度和旋度

1.場的摡念 如果在全部空間或部分空間里的每一個(gè)點(diǎn),都對應(yīng)著某個(gè)物理量的一個(gè)確定的值,就說在這個(gè)空間里確定了該物理量的一個(gè)場。場分類(1)標(biāo)量場(2)矢量場(1)穩(wěn)定場(2)不穩(wěn)定場溫度場電勢場電場磁場第九頁，共六十二頁，2022年，8月28日只有確定數(shù)值的標(biāo)量可以是空間坐標(biāo)（如直角坐標(biāo)系中的x、y、z）和時(shí)間t的函數(shù)，我們稱為標(biāo)量函數(shù)。有確定方向的物理量的矢量，一般都是一個(gè)或幾個(gè)（標(biāo)量）變量的函數(shù)，稱為矢量函數(shù)一個(gè)矢量函數(shù)對應(yīng)三個(gè)標(biāo)量函數(shù)

標(biāo)量函數(shù)與矢量函數(shù)

第十頁，共六十二頁，2022年，8月28日的物理狀態(tài)與時(shí)間無關(guān)

矢量和矢量場的不變特性

矢量函數(shù)對時(shí)間和空間坐標(biāo)變量的微分，仍然是個(gè)矢量

靜態(tài)場動態(tài)場靜態(tài)場動態(tài)場或時(shí)變場第十一頁，共六十二頁，2022年，8月28日為了形象地描述矢量場在空間的分布狀態(tài)，引入矢量線概念。矢量線上的每一點(diǎn)的切線方向都代表該點(diǎn)的矢量場方向。矢量場中的每一點(diǎn)均有唯一的一條矢量線通過。所以矢量線充滿了整個(gè)矢量所在空間。

任一點(diǎn)的切向長度元與該點(diǎn)矢量場的方向平行

電力線、磁力線就是電場和磁場中的矢量線

矢量線第十二頁，共六十二頁，2022年，8月28日直角坐標(biāo)系中：

=0這就是矢量線的微分方程，求得它的通解可繪出矢量線。

第十三頁，共六十二頁，2022年，8月28日標(biāo)量場中，分布于各點(diǎn)的物理量是其空間坐標(biāo)的單值函數(shù)，即：2.標(biāo)量場的方向?qū)?shù)和梯度定義:設(shè)為標(biāo)量場u中的一點(diǎn),從點(diǎn)出發(fā)引一條射線L,在點(diǎn)的鄰近取一點(diǎn),記若當(dāng)時(shí),的極限存在,則稱此極限為函數(shù)在處沿方向L的方向?qū)?shù)標(biāo)量場方向?qū)?shù)第十四頁，共六十二頁，2022年，8月28日其中:有兩種函數(shù)u沿直線的方向?qū)?shù)函數(shù)u沿曲線的方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)實(shí)質(zhì):函數(shù)U(m)在給定點(diǎn)處沿某個(gè)方向的變化率，可見標(biāo)量場在此點(diǎn)沿不同的方向具有不同的方向?qū)?shù)。方向?qū)?shù)計(jì)算為該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)為L方向的方向余弦第十五頁，共六十二頁，2022年，8月28日定義:若在標(biāo)量場u中一點(diǎn)M處，存在一個(gè)矢量,且滿足如下兩個(gè)條件：方向:為u在M點(diǎn)變化率最大方向；模:為u在M點(diǎn)最大變化率的數(shù)值,則稱為標(biāo)量場u在M點(diǎn)處的梯度.梯度在直角坐標(biāo)系中表達(dá)式引進(jìn)矢量微分算子則梯度為：標(biāo)量場梯度gradU（矢量）第十六頁，共六十二頁，2022年，8月28日梯度運(yùn)算基本公式C為常量第十七頁，共六十二頁，2022年，8月28日1）面積矢量定義定義：面積矢量是大小等于該面元的面積，方向和該面元的外法線方向一致。面積矢量直角坐標(biāo)系下的表達(dá)式：面積矢量直角坐標(biāo)系下的表達(dá)式證明過程：3矢量場的通量和散度第十八頁，共六十二頁，2022年，8月28日矢量A沿任一有向曲面S的面積分,叫做矢量場穿過曲面S的通量通量在直角坐標(biāo)系中表示法：2）通量定義、表達(dá)式、證明過程矢量A在閉合曲面S的通量通量在直角坐標(biāo)系中表示法的證明過程：第十九頁，共六十二頁，2022年，8月28日3）封閉曲面通量的物理意義封閉曲面內(nèi)有源封閉曲面內(nèi)有負(fù)源封閉曲面內(nèi)無源封閉曲面通量的缺點(diǎn)：是一個(gè)整體的描述，不能描述內(nèi)部源的分布情況，如何描述內(nèi)部的分布？第二十頁，共六十二頁，2022年，8月28日高斯公式：高斯公式作用：封閉曲面積分轉(zhuǎn)換為體積分散度直角坐標(biāo)系表示法:表示法證明：定義：設(shè)有矢量場A,于場中任一點(diǎn)m的某個(gè)鄰域內(nèi)作一包含點(diǎn)m在內(nèi)的任一閉曲面△s,設(shè)其包圍的空間區(qū)域?yàn)椤鳓?以△v表示其體積，以△Ψ表示從其內(nèi)部穿出S的通量,若當(dāng)△Ω以任意方式縮向m點(diǎn)時(shí),比式的極限存在,則稱此極限為矢量場在m點(diǎn)處的散度,記為:4）散度定義(divA)（標(biāo)量）、表達(dá)式、證明過程第二十一頁，共六十二頁，2022年，8月28日7）散度實(shí)質(zhì)：表示矢量場中某一點(diǎn)的通量對體積的變化率，即通量體密度，表示該點(diǎn)作為場源的強(qiáng)度5）散度矢量微分算子表示法:第二十二頁，共六十二頁，2022年，8月28日8）散度運(yùn)算基本公式第二十三頁，共六十二頁，2022年，8月28日高斯散度定理任一矢量場的散度的體積分等于該矢量場穿過該限定體積的閉合面的總通量。第二十四頁，共六十二頁，2022年，8月28日1）環(huán)量定義4矢量場的環(huán)量、環(huán)量面密度和旋度定義：設(shè)有矢量場A,則沿場中任一有向封閉曲線L的曲線積分,叫做此矢量A沿L曲線的環(huán)量。L表達(dá)方法：2）環(huán)量直角坐標(biāo)系中表示方法第二十五頁，共六十二頁，2022年，8月28日3）環(huán)量直角坐標(biāo)系表示方法證明：為L的切向矢量n的方向余弦4）環(huán)量的物理意義是一個(gè)整體的描述，不能描述內(nèi)部源的分布情況，如何描述內(nèi)部的分布？第二十六頁，共六十二頁，2022年，8月28日5）環(huán)量面密度定義定義:取矢量場中一點(diǎn)xo,在該點(diǎn)取定方向n，并過該點(diǎn)作一微小曲面，其方向?yàn)閚，取△L的方向?yàn)椤?/p>

S按右手螺旋定則，其矢量場環(huán)量與面積△

S

的比值。6）直角坐標(biāo)系環(huán)量面密度計(jì)算公式X0n△

S

的方向余旋第二十七頁，共六十二頁，2022年，8月28日8）環(huán)量面密度行列式表示7）直角坐標(biāo)系環(huán)量面密度計(jì)算公式的證明過程斯特克斯公式中值定理第二十八頁，共六十二頁，2022年，8月28日若矢量場A中一點(diǎn)M處存在一個(gè)矢量,且該矢量滿足：1.方向：為此點(diǎn)環(huán)量面密度最大方向;2.大小:等于此點(diǎn)最大環(huán)量面密度值,則該矢量稱為矢量場M點(diǎn)的旋度。10)旋度(rotA)11）旋度直角坐標(biāo)系表示法9）環(huán)量面密度的物理意義：雖能夠描述各場點(diǎn)的源強(qiáng)度，但必須指定一個(gè)方向，方向?qū)?shù)一樣，如何辦？第二十九頁，共六十二頁，2022年，8月28日12)旋度矢量微分算子表示法:旋度在任一方向上投影等于該方向的環(huán)量面密度13)旋度和環(huán)量面密度：14)旋度運(yùn)算基本公式第三十頁，共六十二頁，2022年，8月28日斯托克斯定理數(shù)學(xué)描述矢量場旋度的面積分，等于該矢量沿包圍此曲面的閉合路徑的線積分。它同散度定理一樣，是場論中的重要定理

第三十一頁，共六十二頁，2022年，8月28日5亥姆霍茲定理

（1）兩個(gè)零恒等式亥姆霍茲定理就是對矢量場性質(zhì)的總結(jié)說明

恒等式I的逆定理也成立，即：如果一個(gè)矢量的旋度為零，則該矢量可以表示為一個(gè)標(biāo)量場的梯度。物理意義：任何標(biāo)量場的梯度的旋度恒等于零

第三十二頁，共六十二頁，2022年，8月28日將逆定理應(yīng)用于電磁場理論中，可以引入輔助位函數(shù)

式中負(fù)號表明矢量沿減小的方向

可引入標(biāo)量電位函數(shù)

例子：靜電場無旋場定義

矢量場所在的全部空間中，場的旋度處處為零。

無旋場不可能存在旋渦源

第三十三頁，共六十二頁，2022年，8月28日無旋場特點(diǎn)：同時(shí)也是位場、保守場

圖1.2.2位場的線積分

P1P2C1C2證明：由斯托克斯定理第三十四頁，共六十二頁，2022年，8月28日恒等式Ⅱ與無散場恒等式Ⅱ的逆定理是：如果一個(gè)矢量場的散度為零，則它可表示為另一個(gè)矢量的旋度。物理意義：任何矢量場旋度的散度恒等于零。

例如恒定磁場，因，可引入矢量磁位，令

該定理應(yīng)用于電磁場研究中，可引入輔助矢量位（即矢勢），有利于場矢量的求解。

第三十五頁，共六十二頁，2022年，8月28日無散場穿過任何閉合曲面的通量都等于零，即：

如果矢量場所在的全部空間中，場的散度處處為零，即，則這種場中不可能存在通量源，因而稱之為無散場，或無源場

無散場定義：無散場特點(diǎn)：第三十六頁，共六十二頁，2022年，8月28日例

已知

(1)如果是無旋的，試確定常數(shù)；

(2)將代入，判斷F能否表示為一個(gè)矢量的旋度解(1)因?yàn)?/p>

第三十七頁，共六十二頁，2022年，8月28日c1=0，c2=3，c3=2。

(2)只有當(dāng)，才可使因此計(jì)算可見不能表示為一個(gè)矢量的旋度，本題中屬有源無旋場。第三十八頁，共六十二頁，2022年，8月28日亥姆霍茲定理可以證明，在有限的區(qū)域V內(nèi)，任一矢量場由它的散度、旋度和邊界條件（即限定區(qū)域V的閉合曲面S上的矢量場的分布）唯一的確定，這就是亥姆霍茲定理。亥姆霍茲定理的理解亥姆霍茲定理的數(shù)學(xué)理解亥姆霍茲定理的物理理解無旋場的散度不恒等于零

第三十九頁，共六十二頁，2022年，8月28日總結(jié)：2矢量場描述1）矢量線1）矢量線2）環(huán)量：描述橫場場源3）環(huán)量面密度4）旋度rotA：描述橫場場源強(qiáng)度

橫場（靜磁場強(qiáng)度為例）

橫場處處散度為零，無散場縱場處處旋度為零，無旋場1標(biāo)量場描述（溫度場為例）1）等值面（等值線）2）方向?qū)?shù)3）梯度縱場（靜電場強(qiáng)度為例）2）通量：描述縱場場源3）通量體密度散度divA：描述縱場場源強(qiáng)度

第四十頁，共六十二頁，2022年，8月28日§1.3哈密頓算子▽1哈密頓算子▽

3哈密頓算子常見公式2拉普拉斯算子▽2

在運(yùn)算中具有矢性和微分雙重特性2周第四十一頁，共六十二頁，2022年，8月28日第四十二頁，共六十二頁，2022年，8月28日第四十三頁，共六十二頁，2022年，8月28日算符性質(zhì)證明例子1：證：微分性質(zhì)：矢量性質(zhì)：第四十四頁，共六十二頁，2022年，8月28日算符性質(zhì)證明例子2：

：證：微分性質(zhì)：矢量性質(zhì)：第四十五頁，共六十二頁，2022年，8月28日XZYrr‘R第四十六頁，共六十二頁，2022年，8月28日第四十七頁，共六十二頁，2022年，8月28日高斯公式斯特克斯公式格林公式第四十八頁，共六十二頁，2022年，8月28日例題：計(jì)算下列各式的值，其中為常矢量,求：解：(1)(2)第四十九頁，共六十二頁，2022年，8月28日求，其中為常矢量。

而

解：

第五十頁，共六十二頁，2022年，8月28日

§1.4正交曲線坐標(biāo)系

1曲線坐標(biāo)：空間每個(gè)點(diǎn)的位置也可由在此相交的三個(gè)曲面的標(biāo)識值唯一