2017高等代數(shù)第4章課件

Zhanglizhuo-Zhanglizhuo-三、正交單位向引言在平面上取一個(gè)直角坐標(biāo)系Oxy，設(shè)向量,的坐標(biāo)分別為(a1a2b1b2如果都是單位向量，并且互相垂直，則a2a21,ababa 1 b2b21,bab b 上述4個(gè)等式b a b 0 1 a2b a b 0 1 2 2 A

a2

則AAT=E 2Zhanglizhuo-一、正交矩陣及定義1實(shí)數(shù)域上的方陣A實(shí)數(shù)域上的方陣AA可逆，并且A-Zhanglizhuo-正交矩陣具有下10E是正交矩20若A,B都是n級(jí)正交矩陣，則AB30若A是正交矩陣，則A-1(即AT)40若A是正交矩陣，則A=1或-1【證】(AB)(AB)T=A(BBT)AT=AEAT=EA-1(A-1)T=A-1(AT)-1=(ATA)-1=E-1=E因此A=1或-1。Zhanglizhuo-例1判斷矩陣是否A A cos 【解】依正

sin

sin 0,

sin

1 因此A是正交矩Zhanglizhuo-AAT=E

T 2

0 1

2 2

1T

1 T

當(dāng)i 當(dāng)iZhanglizhuo-TATA=E

2T 2T T

0 2 2T T 2T T T T T

i i一般的n級(jí)正交矩陣的行(列)Zhanglizhuo-定理1設(shè)實(shí)數(shù)域上n級(jí)矩陣A的行向量組為12n；列向量組為1,2,…,n，則A為正交矩陣當(dāng)且僅當(dāng)A

i iA為正交矩陣當(dāng)且僅當(dāng)A T

i iZhanglizhuo-【證】(1)A為正交1

0 AAT=E

T

001 01 n

0 T T

0

T

1

當(dāng)i

n 當(dāng)iZhanglizhuo-(2)A為正交1T1

0T

ATA=E

2

0T

1 nT T

T

0

n

T T T n 0T T T

1 n T

當(dāng)i 當(dāng)i Zhanglizhuo-

當(dāng)i

當(dāng)iA為正交矩陣

,1i,j A為正交矩陣T,1i,j Zhanglizhuo-二、歐幾里得定義2在Rn中，任給=(a1a2an=(b1b2規(guī)(,)defab+ab+…+ab 這個(gè)二元實(shí)值函數(shù)(,)稱為Rn的一個(gè)內(nèi)積()=T=T【注】如果,是列向量，則(,)=T=TZhanglizhuo-Rn的標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)積具有下列基本性質(zhì)：對(duì)于一切,,kR，10()=(對(duì)稱性20(+)=()+(線性30(k)=k(線性40()0=O正定性)。由10,20,30可以看出，(k1+k2,)=k1(,)+k2(,(,k1+k2)=k1(,)+k2()Zhanglizhuo-在歐幾里得空間Rn中，向量的長(zhǎng)度長(zhǎng)度為1的向量稱為單位向量Zhanglizhuo-在歐幾里得空間Rn如果O

1一定是單位向把非零向量乘以1/，稱為把單位化Zhanglizhuo-三、正交單位向Zhanglizhuo-命題2歐氏空間Rn中，正交向 上式兩端的向量都與i(k11+k22+…+kss,i)=(O,i)，由于(i,j)=0，當(dāng)ij時(shí)，因此ki(i由于iO，(ii)>0，于是ki=0，其中i=1,2s，于是12…,s線性無(wú)關(guān)。Zhanglizhuo-Zhanglizhuo-【證】設(shè)A的行向量組為12n，則由定理1，矩陣A為正交矩陣ijT=ij,1i,jn(i,j)=ij,1i,1n是Rn的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基?！咀ⅰ繕?gòu)造正交矩陣需求RnZhanglizhuo-平面上兩個(gè)不共線的向量1,2，容易找到一個(gè)

=，=+k

k11=1為求k，在上式兩端用1(2,1)=(2+k1,1)=(2,1)+k(1,從 0=(2,1)+k(1,解之得k(2,1) 于(1,β

(α2,β1) 1(1,1 1Zhanglizhuo-1容易找到一個(gè)正交向量組1,2,3,1=， α

設(shè)

=+k

+k

(1,1

(3,1)=(3+k11+k22,1)=(3,1)+k1(1,從 0=(3,1)+k1(1,解之

k

同理

(32,于 (, (, β

(α3,β1)β(α3,β2)β （β,β） (β,β Zhanglizhuo-β1 1βα(α2,β1)β 1(β1,β

(α3,β1)β(α3,β2)β 3（β,β） (β,β 11 β

(αs,β1)β(αs,β2)β(s,βs-1) (β,β

(β,β

( ,

s- s- s-則1,…,s是正交向量組，且1,…,s與1,…,s等價(jià)Zhanglizhuo-s=11是正交向量組。顯然{1}{1}當(dāng)s=2時(shí)，向量組為1,2線性無(wú)關(guān)(,)((2,

,)(,)

(,

(2,1)(2,1) 即1,2是正交{1,2}{1,2}Zhanglizhuo-假設(shè)s=m-1時(shí)結(jié)論成立，即1,…,m-1是正交向量組 {1,2,…,m-1}{1,2,…,m-1}。 12 (αm,β1)β(αm,β2)β (αm, 12(

,

(β2,β2

(

,βm1

因此1jm-1(β,β)

(αm,β1)β(αm,β2)β (αm,βm-1) ,β

(β,β

(β,β

( ,

m- j

m- (α,β)(αm,βj)(β,β)(α,β)(α,β) (βj,βj

則1,…,m是正交向量組,且1,…,m與1,…,m等價(jià)Zhanglizhuo-據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理，命題為真 組12…,s出發(fā)，構(gòu)造出與它等價(jià)的一個(gè)正交向量只要再將1,2,…,s中每個(gè)向 1, 1,2,…,s是與1,2,…,s等價(jià)的正交單位向量Zhanglizhuo-歐幾里得空間Rn中，如果給定一個(gè)基1,2,…,n，則向量組12…n就是Rn的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基。Zhanglizhuo-施密特正交化過程的幾何解釋 設(shè)1,2,3為R3的一個(gè)基 令c2為2在1上的投影向 2

T 1T

1T T111T T111

1) 這樣得到的2與1正交(垂直)Zhanglizhuo- 1c3為3在1,2所在的平面上,

T T

c3c31 11 2

的投

向Zhanglizhuo- 令3=3-

T

T

例2設(shè)10，21，31為歐幾里得空間R3 一個(gè)基，將其化為R3【解】(1)利用施密1 1

1

T

1 0

2 T

2

11

1

2 2 Zhanglizhuo-1

2 1 1

3

3

32

2 T

T

2

3 1

3 2 2 2 2則1,2,3是正交向(2)施以單位

23 3 1

1263 263

1 2 1 1 0, , 632 632

111

2 12

63 63 Zhanglizhuo-則1,2,3為R3Zhanglizhuo-例3已知1=(111)TR3，求一組非零向量23，123兩兩正交1 0 11

0,1

1，把基礎(chǔ)解系1 1

1 2取0 , ,

1

1 則123兩兩正交

2Zhanglizhuo-【證】由題設(shè)，V={|(,)=0,Rn}，OV，所以V非空若V，()=0，()=0，(+)=()+()=0，所以若kR，V，(,)=0，(k)=k()=0，所以V對(duì)加法、數(shù)量乘法封閉，所以V為RnZhanglizhuo-a1a

k1k設(shè) 2，向量 2a a n

k knV(,Zhanglizhuo-例5設(shè)12n-1是向量空間Rn中線性無(wú)關(guān)向量組，又知列向量1,2與1,2,…,n-1的每個(gè)向量都正交，證明向量組1,2