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2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若函數(shù)的圖象如圖所示,則的解析式可能是()A. B. C. D.2.如圖是一個幾何體的三視圖,則這個幾何體的體積為()A. B. C. D.3.已知是虛數(shù)單位,若,則()A. B.2 C. D.34.已知函數(shù),若,則的最小值為()參考數(shù)據(jù):A. B. C. D.5.明代數(shù)學(xué)家程大位(1533~1606年),有感于當時籌算方法的不便,用其畢生心血寫出《算法統(tǒng)宗》,可謂集成計算的鼻祖.如圖所示的程序框圖的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”問題.執(zhí)行該程序框圖,若輸出的的值為,則輸入的的值為()A. B. C. D.6.如圖,在矩形中的曲線分別是,的一部分,,,在矩形內(nèi)隨機取一點,若此點取自陰影部分的概率為,取自非陰影部分的概率為,則()A. B. C. D.大小關(guān)系不能確定7.函數(shù)在的圖象大致為A. B.C. D.8.已知函數(shù),若方程恰有兩個不同實根,則正數(shù)m的取值范圍為()A. B.C. D.9.設(shè)全集,集合,則=()A. B. C. D.10.已知函數(shù),方程有四個不同的根,記最大的根的所有取值為集合,則“函數(shù)有兩個零點”是“”的().A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11.已知函數(shù),且的圖象經(jīng)過第一、二、四象限,則,,的大小關(guān)系為()A. B.C. D.12.已知全集,函數(shù)的定義域為,集合,則下列結(jié)論正確的是A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知x,y>0,且,則x+y的最小值為_____.14.數(shù)列滿足,則,_____.若存在n∈N*使得成立,則實數(shù)λ的最小值為______15.函數(shù)在區(qū)間(-∞,1)上遞增,則實數(shù)a的取值范圍是____16.已知不等式的解集不是空集,則實數(shù)的取值范圍是;若不等式對任意實數(shù)恒成立,則實數(shù)的取值范圍是___三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,三棱柱的所有棱長均相等,在底面上的投影在棱上,且∥平面(Ⅰ)證明:平面平面;(Ⅱ)求直線與平面所成角的余弦值.18.(12分)在平面直角坐標系中,已知拋物線的焦點為,準線為,是拋物線上上一點,且點的橫坐標為,.(1)求拋物線的方程;(2)過點的直線與拋物線交于、兩點,過點且與直線垂直的直線與準線交于點,設(shè)的中點為,若、、四點共圓,求直線的方程.19.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若,且,求的值.20.(12分)對于非負整數(shù)集合(非空),若對任意,或者,或者,則稱為一個好集合.以下記為的元素個數(shù).(1)給出所有的元素均小于的好集合.(給出結(jié)論即可)(2)求出所有滿足的好集合.(同時說明理由)(3)若好集合滿足,求證:中存在元素,使得中所有元素均為的整數(shù)倍.21.(12分)已知定點,,直線、相交于點,且它們的斜率之積為,記動點的軌跡為曲線。(1)求曲線的方程;(2)過點的直線與曲線交于、兩點,是否存在定點,使得直線與斜率之積為定值,若存在,求出坐標;若不存在,請說明理由。22.(10分)已知,函數(shù)的最小值為1.(1)證明:.(2)若恒成立,求實數(shù)的最大值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.A【解析】
由函數(shù)性質(zhì),結(jié)合特殊值驗證,通過排除法求得結(jié)果.【詳解】對于選項B,為奇函數(shù)可判斷B錯誤;對于選項C,當時,,可判斷C錯誤;對于選項D,,可知函數(shù)在第一象限的圖象無增區(qū)間,故D錯誤;故選:A.【點睛】本題考查已知函數(shù)的圖象判斷解析式問題,通過函數(shù)性質(zhì)及特殊值利用排除法是解決本題的關(guān)鍵,難度一般.2.A【解析】
由三視圖還原原幾何體如圖,該幾何體為組合體,上半部分為半球,下半部分為圓柱,半球的半徑為1,圓柱的底面半徑為1,高為1.再由球與圓柱體積公式求解.【詳解】由三視圖還原原幾何體如圖,該幾何體為組合體,上半部分為半球,下半部分為圓柱,半球的半徑為1,圓柱的底面半徑為1,高為1.則幾何體的體積為.故選:.【點睛】本題主要考查由三視圖求面積、體積,關(guān)鍵是由三視圖還原原幾何體,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.3.A【解析】
直接將兩邊同時乘以求出復(fù)數(shù),再求其模即可.【詳解】解:將兩邊同時乘以,得故選:A【點睛】考查復(fù)數(shù)的運算及其模的求法,是基礎(chǔ)題.4.A【解析】
首先的單調(diào)性,由此判斷出,由求得的關(guān)系式.利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值,由此求得的最小值.【詳解】由于函數(shù),所以在上遞減,在上遞增.由于,,令,解得,所以,且,化簡得,所以,構(gòu)造函數(shù),.構(gòu)造函數(shù),,所以在區(qū)間上遞減,而,,所以存在,使.所以在上大于零,在上小于零.所以在區(qū)間上遞增,在區(qū)間上遞減.而,所以在區(qū)間上的最小值為,也即的最小值為,所以的最小值為.故選:A【點睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值,考查分段函數(shù)的圖像與性質(zhì),考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于難題.5.C【解析】
根據(jù)程序框圖依次計算得到答案.【詳解】,;,;,;,;,此時不滿足,跳出循環(huán),輸出結(jié)果為,由題意,得.故選:【點睛】本題考查了程序框圖的計算,意在考查學(xué)生的理解能力和計算能力.6.B【解析】
先用定積分求得陰影部分一半的面積,再根據(jù)幾何概型概率公式可求得.【詳解】根據(jù)題意,陰影部分的面積的一半為:,于是此點取自陰影部分的概率為.又,故.故選B.【點睛】本題考查了幾何概型,定積分的計算以及幾何意義,屬于中檔題.7.A【解析】
因為,所以排除C、D.當從負方向趨近于0時,,可得.故選A.8.D【解析】
當時,函數(shù)周期為,畫出函數(shù)圖像,如圖所示,方程兩個不同實根,即函數(shù)和有圖像兩個交點,計算,,根據(jù)圖像得到答案.【詳解】當時,,故函數(shù)周期為,畫出函數(shù)圖像,如圖所示:方程,即,即函數(shù)和有兩個交點.,,故,,,,.根據(jù)圖像知:.故選:.【點睛】本題考查了函數(shù)的零點問題,確定函數(shù)周期畫出函數(shù)圖像是解題的關(guān)鍵.9.A【解析】
先求得全集包含的元素,由此求得集合的補集.【詳解】由解得,故,所以,故選A.【點睛】本小題主要考查補集的概念及運算,考查一元二次不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題.10.A【解析】
作出函數(shù)的圖象,得到,把函數(shù)有零點轉(zhuǎn)化為與在(2,4]上有交點,利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率,即可求得的取值范圍,再根據(jù)充分、必要條件的定義即可判斷.【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖,由圖可知,,函數(shù)有2個零點,即有兩個不同的根,也就是與在上有2個交點,則的最小值為;設(shè)過原點的直線與的切點為,斜率為,則切線方程為,把代入,可得,即,∴切線斜率為,∴k的取值范圍是,∴函數(shù)有兩個零點”是“”的充分不必要條件,故選A.【點睛】本題主要考查了函數(shù)零點的判定,考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程,試題有一定的綜合性,屬于中檔題.11.C【解析】
根據(jù)題意,得,,則為減函數(shù),從而得出函數(shù)的單調(diào)性,可比較和,而,比較,即可比較.【詳解】因為,且的圖象經(jīng)過第一、二、四象限,所以,,所以函數(shù)為減函數(shù),函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,又因為,所以,又,,則|,即,所以.故選:C.【點睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小,還考查化簡能力和轉(zhuǎn)化思想.12.A【解析】
求函數(shù)定義域得集合M,N后,再判斷.【詳解】由題意,,∴.故選A.【點睛】本題考查集合的運算,解題關(guān)鍵是確定集合中的元素.確定集合的元素時要注意代表元形式,集合是函數(shù)的定義域,還是函數(shù)的值域,是不等式的解集還是曲線上的點集,都由代表元決定.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.1【解析】
處理變形x+y=x()+y結(jié)合均值不等式求解最值.【詳解】x,y>0,且,則x+y=x()+y1,當且僅當時取等號,此時x=4,y=2,取得最小值1.故答案為:1【點睛】此題考查利用均值不等式求解最值,關(guān)鍵在于熟練掌握均值不等式的適用條件,注意考慮等號成立的條件.14.【解析】
利用“退一作差法”求得數(shù)列的通項公式,將不等式分離常數(shù),利用商比較法求得的最小值,由此求得的取值范圍,進而求得的最小值.【詳解】當時兩式相減得所以當時,滿足上式綜上所述存在使得成立的充要條件為存在使得,設(shè),所以,即,所以單調(diào)遞增,的最小項,即有的最小值為.故答案為:(1).(2).【點睛】本小題主要考查根據(jù)遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項公式,考查數(shù)列單調(diào)性的判斷方法,考查不等式成立的存在性問題的求解策略,屬于中檔題.15.【解析】
根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)、對數(shù)型函數(shù)的定義域列不等式組,解不等式求得的取值范圍.【詳解】由二次函數(shù)的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得解得.故答案為:【點睛】本小題主要考查根據(jù)對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍,屬于基礎(chǔ)題.16.【解析】
利用絕對值的幾何意義,確定出的最小值,然后根據(jù)題意即可得到的取值范圍化簡不等式,求出的最大值,然后求出結(jié)果【詳解】的最小值為,則要使不等式的解集不是空集,則有化簡不等式有,即而當時滿足題意,解得或所以答案為【點睛】本題主要考查的是函數(shù)恒成立的問題和絕對值不等式,要注意到絕對值的幾何意義,數(shù)形結(jié)合來解答本題,注意去絕對值時的分類討論化簡三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(Ⅰ)見解析(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)連接交于點,連接,由于平面,得出,根據(jù)線線位置關(guān)系得出,利用線面垂直的判定和性質(zhì)得出,結(jié)合條件以及面面垂直的判定,即可證出平面平面;(Ⅱ)根據(jù)題意,建立空間直角坐標系,利用空間向量法分別求出和平面的法向量,利用空間向量線面角公式,即可求出直線與平面所成角的余弦值.【詳解】解:(Ⅰ)證明:連接交于點,連接,則平面平面,平面,,為的中點,為的中點,平面,,平面,平面,平面平面(Ⅱ)建立如圖所示空間直角坐標系,設(shè)則,,,,,設(shè)平面的法向量為,則,取得,設(shè)直線與平面所成角為,直線與平面所成角的余弦值為.【點睛】本題考查面面垂直的判定以及利用空間向量法求線面角的余弦值,考查空間想象能力和推理能力.18.(1)(2)【解析】
(1)由拋物線的定義可得,即可求出,從而得到拋物線方程;(2)設(shè)直線的方程為,代入,得.設(shè),,列出韋達定理,表示出中點的坐標,若、、、四點共圓,再結(jié)合,得,則即可求出參數(shù),從而得解;【詳解】解:(1)由拋物線定義,得,解得,所以拋物線的方程為.(2)設(shè)直線的方程為,代入,得.設(shè),,則,.由,,得,所以.因為直線的斜率為,所以直線的斜率為,則直線的方程為.由解得.若、、、四點共圓,再結(jié)合,得,則,解得,所以直線的方程為.【點睛】本題考查拋物線的定義及性質(zhì)的應(yīng)用,直線與拋物線綜合問題,屬于中檔題.19.(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)直接代入再由誘導(dǎo)公式計算可得;(Ⅱ)先得到,再根據(jù)利用兩角差的余弦公式計算可得.【詳解】解:(Ⅰ);(Ⅱ)因為所以,由得,又因為,故,所以,所以.【點睛】本題考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,屬于中檔題.20.(1),,,.(2);證明見解析.(3)證明見解析.【解析】
(1)根據(jù)好集合的定義列舉即可得到結(jié)果;(2)設(shè),其中,由知;由可知或,分別討論兩種情況可的結(jié)果;(3)記,則,設(shè),由歸納推理可求得,從而得到,從而得到,可知存在元素滿足題意.【詳解】(1),,,.(2)設(shè),其中,則由題意:,故,即,考慮,可知:,或,若,則考慮,,,則,,但此時,,不滿足題意;若,此時,滿足題意,,其中為相異正整數(shù).(3)記,則,首先,,設(shè),其中,分別考慮和其他任一元素,由題意可得:也在中,而,,,對于,考慮,,其和大于,故其差,特別的,,,由,且,,以此類推:,,此時,故中存在元素,使得中所有元素均為的整數(shù)倍.【點睛】本題考查集合中的新定義問題的求解,關(guān)鍵是明確已知中所給的新定義的具體要求,根據(jù)集合元素的要求進行推理說明,對于學(xué)生分析和解決問題能力、邏輯推理能力有較高的要求,屬于較難題.21.(1);(2)存在定點,見解析【解析】
(1)設(shè)動點,則,利用,求出曲線的方程.(2)由已知直線過點,設(shè)的方程為,則聯(lián)立方程組,消去得,設(shè),,,利用韋達定理求解直線的斜率,然后求解指向性方程,推出結(jié)果.【詳解】解:(1)設(shè)動點,則,,,即,化簡得:。由已知,故曲線的方程為。(2)由已知直線過點,設(shè)的方程為,則聯(lián)立方程組,消去得,設(shè)
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