云南省大理市白龍橋中學2021年高三數學理月考試題含解析

云南省大理市白龍橋中學2021年高三數學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知拋物線y2=4x的焦點F，若A，B是該拋物線上的點，∠AFB=90°，線段AB中點M在拋物線的準線上的射影為N，則的最大值為

（）A． B．1 C． D．參考答案：C【考點】直線與拋物線的位置關系．【分析】設|AF|=a、|BF|=b，由拋物線定義結合梯形的中位線定理，得2|MN|=a+b．再由勾股定理得|AB|2=a2+b2，結合基本不等式求得|AB|的范圍，從而可得的最大值．【解答】解：設|AF|=a，|BF|=b，A、B在準線上的射影點分別為Q、P，連接AQ、BQ由拋物線定義，得AF|=|AQ|且|BF|=|BP|在梯形ABPQ中根據中位線定理，得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由勾股定理得|AB|2=a2+b2，配方得|AB|2=（a+b）2﹣2ab，又∵ab≤（）2，∴（a+b）2﹣2ab≥（a+b）2﹣2×（）2=（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．所以≤=，即的最大值為．故選C．2.已知正項，奇數項成公差為1的等差數列，當n為偶數時點等于A．

B．

C．

D．參考答案：D3.（改編）已知雙曲線的左、右焦點分別為,過作雙曲線的一條漸近線的垂線,垂足為,若的中點在雙曲線上,則雙曲線的離心率為（

）A．

B．

C．2

D．3參考答案：A4.已知，若，使得，則實數的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B5.已知雙曲線：（）的離心率為，則的漸近線方程為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C6.

已知函數是定義在實數集R上的不恒為零的偶函數，且對任意實數都有，則的值是(

)A．

0

B．

C．1

D．參考答案：A7.設曲線（e為自然對數的底數）上任意一點處的切線為，總存在曲線上某點處的切線，使得，則實數a的取值范圍是（

）A．[－1,2]

B．(3,+∞)

C．

D．參考答案：D8.設函數f（x）=sin（2x﹣）的圖象為C，下面結論中正確的是（）A．函數f（x）的最小正周期是2πB．函數f（x）在區(qū)間（﹣，）上是增函數C．圖象C可由函數g（x）=sin2x的圖象向右平移個單位得到D．圖象C關于點（，0）對稱參考答案：D【考點】正弦函數的圖象．【分析】由條件利用正弦函數的周期性、單調性、以及圖象的對稱性，y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結論【解答】解：根據函數f（x）=sin（2x﹣）的周期為=π，可得A錯誤；在區(qū)間（﹣，）上，2x﹣∈（﹣，），故f（x）沒有單調性，故B錯誤；把函數g（x）=sin2x的圖象向右平移個單位，可得y=sin（2x﹣）的圖象，故C錯誤；令x=，可得f（x）=sin（2x﹣）=0，圖象C關于點（，0）對稱，故D正確，故選：D．9.已知條件p：函數為減函數，條件q：關于x的二次方程有解，則p是q的

A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A函數為減函數，則有，即。關于x的二次方程有解，則判別式，解得，即。所以p是q的充分而不必要條件，選A.10.已知函數，若方程有五個不同的實數根，則a的取值范圍是（

）A.(0,+∞) B. C.(－∞,0) D.(0,1)參考答案：B【分析】由方程的解與函數圖象的交點問題得：方程f（﹣x）＝﹣f（x）有五個不同的實數根等價于y＝f（x）的圖象與y＝g（x）的圖象有5個交點，作圖可知，只需y＝ax與曲線y＝lnx在第一象限由兩個交點即可，利用導數求切線方程得：設過原點的直線與y＝lnx切于點P（x0，y0），得lnx0＝1，即f′（e），即過原點的直線與y＝lnx相切的直線方程為yx，即所求a的取值范圍為0，得解．【詳解】設g（x）＝﹣f（﹣x），則y＝g（x）的圖象與y＝f（x）的圖象關于原點對稱，方程f（﹣x）＝﹣f（x）有五個不同的實數根等價于函數y＝f（x）的圖象與y＝g（x）的圖象有5個交點，由圖可知，只需y＝ax與曲線y＝lnx在第一象限有兩個交點即可，設過原點的直線與y＝lnx切于點P（x0，y0），由f′（x），則y＝lnx的切線為y﹣lnx0（x﹣x0），又此直線過點（0，0），所以lnx0＝1，所以x0＝e，即f′（e），即過原點的直線與y＝lnx相切的直線方程為yx，即所求a的取值范圍為0，故選：B．【點睛】本題考查了方程的解與函數圖象的交點個數問題及利用導數求切線方程，屬中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.命題“，使得．”的否定是___________________．參考答案：12.已知數列a1，a2，…，a8，滿足a1=2013，a8=2014，且an+1﹣an∈{﹣1，，1}（其中n=1，2，…，7），則這樣的數列{an}共有個．參考答案：252【考點】數列的函數特性．【專題】創(chuàng)新題型；排列組合．【分析】運用數列相鄰兩項差的值，可能夠取值的情況分類討論，轉化為排列組合問題求解．【解答】解：∵數列a1，a2，…，a8，滿足a1=2013，a8=2014，∴a8﹣a1=a8﹣a7+a7﹣a6+a6﹣a5+a5﹣a4+a4﹣a3+a3﹣a2+a2﹣a1=1，an+1﹣an∈{﹣1，，1}（其中n=1，2，…，7），共有7對差，可能an+1﹣an=﹣1，或an+1﹣an=，或an+1﹣an=1．設﹣1有x個，有y個，1有7﹣x﹣y個，則想x（﹣1）++1×（7﹣x﹣y）=1，即6x+2y=18，x，y∈[0，7]的整數，可判斷；x=1，y=6；x=2，y=3；x=3，y=0，三組符合所以共有數列C+CCC+=7+210+35=252．故答案為：252【點評】本題考查了方程的解轉化為組合問題等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力，轉化能力．13.下面求的值的偽代碼中，正整數的值可以為

．

參考答案：2013,2014,2015.14.一個梯形的直觀圖是一個底角為45°的等腰梯形，且梯形的面積為，則原梯形的面積為______________.

參考答案：4略15.若復數（，為虛數單位）是純虛數,則實數的值為

．參考答案：16.曲線與直線及軸所圍成的圖形的面積是

．參考答案：17.設[x]表示不超過的最大整數，如：，。給出以下命題：①若，則;②;③若，則可由解得的范圍為;④函數，則函數的值域為;你認為以上正確的是

參考答案：①②④三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范圍．參考答案：【考點】R4：絕對值三角不等式；R5：絕對值不等式的解法．【專題】32：分類討論；33：函數思想；4C：分類法；4R：轉化法；51：函數的性質及應用；5T：不等式．【分析】（1）由于f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|=，解不等式f（x）≥1可分﹣1≤x≤2與x＞2兩類討論即可解得不等式f（x）≥1的解集；（2）依題意可得m≤[f（x）﹣x2+x]max，設g（x）=f（x）﹣x2+x，分x≤1、﹣1＜x＜2、x≥2三類討論，可求得g（x）max=，從而可得m的取值范圍．【解答】解：（1）∵f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|=，f（x）≥1，∴當﹣1≤x≤2時，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；當x＞2時，3≥1恒成立，故x＞2；綜上，不等式f（x）≥1的解集為{x|x≥1}．（2）原式等價于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m成立，即m≤[f（x）﹣x2+x]max，設g（x）=f（x）﹣x2+x．由（1）知，g（x）=，當x≤﹣1時，g（x）=﹣x2+x﹣3，其開口向下，對稱軸方程為x=＞﹣1，∴g（x）≤g（﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5；當﹣1＜x＜2時，g（x）=﹣x2+3x﹣1，其開口向下，對稱軸方程為x=∈（﹣1，2），∴g（x）≤g（）=﹣+﹣1=；當x≥2時，g（x）=﹣x2+x+3，其開口向下，對稱軸方程為x=＜2，∴g（x）≤g（2）=﹣4+2+3=1；綜上，g（x）max=，∴m的取值范圍為（﹣∞，]．19.（12分）如圖，三棱錐P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC=，點D、E在線段AC上，且AD=DE=EC=1，PD=PC=2，點F在線段AB上，且EF∥BC．（1）證明：AB⊥平面PFE；（2）若BC=，求四棱錐P﹣DFBC的體積．參考答案：【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面垂直的判定．【分析】（1）由已知可得△PDE≌△PCE，得PE⊥DC，又平面PAC⊥平面ABC，可得PE⊥平面ABC，則PE⊥AB，再由AB⊥BC，EF∥BC，結合線面垂直的判定可得AB⊥平面PEF；（2）求解直角三角形可得三角形ABC的面積，再由比例關系求得四邊形BCEF的面積及三角形DEF的面積，可得四邊形DFBC的面積，代入棱錐體積公式求得四棱錐P﹣DFBC的體積．【解答】（1）證明：在△PDE與△PCE中，∵PD=PC，DE=EC，PE=PE，∴△PDE≌△PCE，則PE⊥DC，∵平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC=AC，∴PE⊥平面ABC，則PE⊥AB，∵AB⊥BC，EF∥BC，∴AB⊥EF，又PE∩EF=E，∴AB⊥平面PEF；（2）解：∵AC=3，BC=，且∠ABC=，∴，∴，∵AE：AC=2：3，∴S△AEF：S△ABC=4：9，則，∴，，∴．∴．【點評】本題考查直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．20.若數列的前項和記為，又求證：（1）數列是等比數列；（2）。參考答案：證明：（1），，且所以數列是以1為首相，2為公比的等比數列；

（6分）（2）由（1）可知，，，當時，，當時，綜上，成立。

（12分）21.設函數f(θ)＝sinθ＋cosθ，其中，角θ的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸非負半軸重合，終邊經過點P(x，y)，且0≤θ≤π.(1)若點P的坐標為(，)，求f(θ)的值；(2)若點P(x，y)為平面區(qū)域Ω：，上的一個動點，試確定角θ的取值范圍，并求函數f(θ)的最小值和最