精品解析：北京市豐臺區(qū)2022屆高三下學期一模數(shù)學試題（解析版）

北京市豐臺區(qū)2021—2022學年度第二學期綜合練習（一）高三數(shù)學2022.03第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【1題答案】【答案】D【解析】【分析】利用并集的定義計算即可.【詳解】∵集合，，∴.故選：D.2.已知命題：，，那么是（）A.， B.，C.， D.，【2題答案】【答案】B【解析】【分析】由特稱命題的否定，直接判斷得出答案.【詳解】解：已知命題：，，則為：，.故選：B.3.若復數(shù)（a，b為實數(shù)）則“”是“復數(shù)z為純虛數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件【3題答案】【答案】B【解析】【分析】根據(jù)當且時，復數(shù)z為純虛數(shù)判斷即可.【詳解】解：根據(jù)復數(shù)的概念，當且時，復數(shù)z為純虛數(shù)，反之，當復數(shù)z為純虛數(shù)時，且所以“”是“復數(shù)z為純虛數(shù)”的必要不充分條件故選：B4.已知圓，則圓心到直線的距離等于（）A. B. C. D.【4題答案】【答案】C【解析】【分析】求出圓心的坐標，即可求得圓心到直線的距離.【詳解】圓的標準方程為，圓心為，故圓心到直線的距離為.故選：C.5.若數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的前項和等于（）A. B. C. D.【5題答案】【答案】C【解析】【分析】由等比數(shù)列定義和通項公式可得，然后由前n項和公式可得.【詳解】因為，且，所以數(shù)列是以2為公比的等比數(shù)列，又，得，所以.故選：C6.在△中，，則（）A. B. C. D.或【6題答案】【答案】A【解析】【分析】先求出，再借助正弦定理求解即可.【詳解】由得，由正弦定理得，，解得，又，故，.故選：A.7.在抗擊新冠疫情期間，有3男3女共6位志愿者報名參加某社區(qū)“人員流調(diào)”、“社區(qū)值守”這兩種崗位的志愿服務，其中3位志愿者參加“人員流調(diào)”，另外3位志愿者參加“社區(qū)值守”．若該社區(qū)“社區(qū)值守”崗位至少需要1位男性志愿者．則這6位志愿者不同的分配方式共有（）A.19種 B.20種 C.30種 D.60種【7題答案】【答案】A【解析】【分析】利用對立事件，用總的分配方式減去“社區(qū)值守”崗位全是女性的情況可得.【詳解】6位志愿者3位志愿者參加“人員流調(diào)”，另外3位志愿者參加“社區(qū)值守”的分配方式共有種，“社區(qū)值守”崗位全是女性的分配方式共1種，故“社區(qū)值守”崗位至少需要1位男性志愿者的分配方式共有種.故選：A8.已知是雙曲線的一個焦點，點在雙曲線的一條漸近線上，為坐標原點．若，則△的面積為（）A B. C. D.【8題答案】【答案】C【解析】【分析】由等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合漸近線方程得出點的坐標，再求面積.【詳解】不妨設為雙曲線的左焦點，點在漸近線上，因為，，所以，，即△的面積.故選：C9.已知函數(shù)無最小值，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【9題答案】【答案】D【解析】【分析】利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，作出函數(shù)函數(shù)與直線的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即得.【詳解】對于函數(shù)，可得，由，得或，由，得，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴函數(shù)在時有極大值2，在時有極小值，作出函數(shù)與直線的圖象，由圖可知，當時，函數(shù)有最小值，當時，函數(shù)沒有最小值.故選：D.10.對任意，若遞增數(shù)列中不大于的項的個數(shù)恰為，且，則的最小值為（）A.8 B.9 C.10 D.11【10題答案】【答案】C【解析】【分析】先由條件得出，進而結(jié)合等差數(shù)列前n項和列出不等式，解不等式即可.【詳解】由遞增數(shù)列中不大于的項的個數(shù)恰為可知，又，故，即，解得或，又，故的最小值為10.故選：C.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.函數(shù)=的定義域是_________.【11題答案】【答案】【解析】【詳解】∵函數(shù)=∴要使函數(shù)有意義，則∴∴函數(shù)=的定義域為故答案為12.已知向量，．若，則______．【12題答案】【答案】4【解析】【分析】利用兩向量共線的條件即求.【詳解】∵向量，，，∴，解得.故答案為：4.13.設函數(shù)的定義域為，能說明“若函數(shù)在上的最大值為，則函數(shù)在上單調(diào)遞增“為假命題的一個函數(shù)是__________.【13題答案】【答案】，，（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)題意，可以構(gòu)造在定義域為上，先減后增的函數(shù)，滿足最大值為1，即可得答案.【詳解】根據(jù)題意，要求函數(shù)的定義域為，在上的最大值為，但在上不是增函數(shù)，可以考慮定義域為上，先減后增的函數(shù)的二次函數(shù)，函數(shù)，符合，故答案為：，，（答案不唯一）.14.已知拋物線的焦點為，則的坐標為______；設點在拋物線上，若以線段為直徑的圓過點，則______．【14題答案】【答案】①.②.5【解析】【分析】由題可得，設，結(jié)合條件可得，，進而可得，即得.【詳解】∵拋物線，∴，設，則，又以線段為直徑的圓過點，∴，即，又，∴，解得，，∴.故答案為：；5.15.如圖，在棱長為2的正方體中，分別是棱的中點，點在線段上運動，給出下列四個結(jié)論：①平面截正方體所得的截面圖形是五邊形；②直線到平面的距離是；③存在點，使得；④△面積的最小值是．其中所有正確結(jié)論的序號是______．【15題答案】【答案】①③【解析】【分析】作出截面圖形判斷①，利用等積法可判斷②，利用坐標法可判斷③④.【詳解】對于①，如圖直線與、的延長線分別交于，連接分別交于，連接，則五邊形即為所得的截面圖形，故①正確；對于②，由題可知，平面，平面，∴平面，故點到平面的距離即為直線到平面的距離，設點到平面的距離為h，由正方體的棱長為2可得，，，∴，，∴由，可得，所以直線到平面距離是，故②錯誤；對于③，如圖建立空間直角坐標系，則，設，∴，又，∴，，假設存在點，使得，∴，整理得，∴（舍去）或，故存在點，使得，故③正確；對于④，由上知，所以點在的射影為，∴點到的距離為：，∴當時，，∴故△面積的最小值是，故④錯誤.故答案為：①③.三、解答題共6小題，共85分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.已知函數(shù)，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作為一組已知條件，使的解析式唯一確定．（1）求的解析式；（2）設函數(shù)，求在區(qū)間上的最大值．條件①：的最小正周期為；條件②：為奇函數(shù)；條件③：圖象的一條對稱軸為．注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個解答計分．【16~17題答案】【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）可以選擇條件①②或條件①③，先由周期計算，再計算即可；（2）先求出整體的范圍，再結(jié)合單調(diào)性求最大值即可.【小問1詳解】選擇條件①②：由條件①及已知得，所以．由條件②得，所以，即．解得．因為，所以，所以．經(jīng)檢驗符合題意．選擇條件①③：由條件①及已知得，所以．由條件③得，解得．因為，所以．所以．【小問2詳解】由題意得，化簡得．因為，所以，所以當，即時，的最大值為．17.如圖，在直角梯形中，，，．以直線為軸，將直角梯形旋轉(zhuǎn)得到直角梯形，且．（1）求證：平面；（2）在線段上是否存在點，使得直線和平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【17~18題答案】【答案】（1）證明見解析（2）存在；【解析】【分析】（1）證明出四邊形為平行四邊形，進而證明出線面平行；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量求解.【小問1詳解】證明：由題意得，，所以四邊形為平行四邊形．所以．因為平面，平面，所以平面．【小問2詳解】線段上存在點，使得直線和平面所成角的正弦值為，理由如下：由題意得AD，AB，AF兩兩垂直．如圖，建立空間直角坐標系．設，則，，，，，．所以，，，．設，則設平面的一個法向量為，所以，即令，則，．于是設直線和平面所成角為，由題意得：，整理得：，解得或．因為，所以，即．所以線段上存在點，當時，直線和平面所成角的正弦值為．18.為研究某地區(qū)2021屆大學畢業(yè)生畢業(yè)三個月后的畢業(yè)去向，某調(diào)查公司從該地區(qū)2021屆大學畢業(yè)生中隨機選取了1000人作為樣本進行調(diào)查，結(jié)果如下：畢業(yè)去向繼續(xù)學習深造單位就業(yè)自主創(chuàng)業(yè)自由職業(yè)慢就業(yè)人數(shù)2005601412898假設該地區(qū)2021屆大學畢業(yè)生選擇的畢業(yè)去向相互獨立．（1）若該地區(qū)一所高校2021屆大學畢業(yè)生的人數(shù)為2500，試根據(jù)樣本估計該校2021屆大學畢業(yè)生選擇“單位就業(yè)”的人數(shù)；（2）從該地區(qū)2021屆大學畢業(yè)生中隨機選取3人，記隨機變量為這3人中選擇“繼續(xù)學習深造”的人數(shù)．以樣本的頻率估計概率，求的分布列和數(shù)學期望；（3）該公司在半年后對樣本中的畢業(yè)生進行再調(diào)查，發(fā)現(xiàn)僅有選擇“慢就業(yè)”的畢業(yè)生中的人選擇了上表中其他的畢業(yè)去向，記此時表中五種畢業(yè)去向?qū)藬?shù)的方差為．當為何值時，最?。ńY(jié)論不要求證明）【18~20題答案】【答案】（1）（2）分布列見解析；期望為（3）【解析】【分析】(1)用樣本中“單位就業(yè)”的頻率乘以畢業(yè)生人數(shù)可得；(2)先由樣本數(shù)據(jù)得選擇“繼續(xù)學習深造”的頻率，然后由二項分布可得；(3)由方差的意義可得.【小問1詳解】由題意得，該校2021屆大學畢業(yè)生選擇“單位就業(yè)”的人數(shù)為．【小問2詳解】由題意得，樣本中名畢業(yè)生選擇“繼續(xù)學習深造”的頻率為．用頻率估計概率，從該地區(qū)2021屆大學畢業(yè)生中隨機選取1名學生，估計該生選擇“繼續(xù)學習深造”的概率為．隨機變量的所有可能取值為0，1，2，3．所以，，，．所以的分布列為0123．【小問3詳解】易知五種畢業(yè)去向的人數(shù)的平均數(shù)為200，要使方差最小，則數(shù)據(jù)波動性越小，故當自主創(chuàng)業(yè)和慢就業(yè)人數(shù)相等時方差最小，所以．19.已知橢圓（）的左、右頂點分別為，，且，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）設是橢圓上不同于，的一點，直線，與直線分別交于點．若，求點橫坐標的取值范圍．【19~20題答案】【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接由條件計算即可；（2）設出點坐標，分別寫出直線，的方程，表示出坐標，由得到不等式，解不等式即可.【小問1詳解】由題意得解得，．所以橢圓的方程是．【小問2詳解】設（），由已知得，，所以直線，的方程分別為，．令，得點的縱坐標為，點的縱坐標為，所以．因為點在橢圓上，所以，所以，即．因為，所以，即．所以．整理得，解得．所以點橫坐標取值范圍是．20.已知函數(shù)．（1）當時，求曲線的斜率為1的切線方程；（2）若函數(shù)恰有兩個不同的零點，求的取值范圍．【20~21題答案】【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接求導，由求出切點，寫出切線方程即可；（2）求導后分類討論確定函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理確定零點個數(shù)即可求出的取值范圍.【小問1詳解】當時，，所以．令，解得．因，所以切點坐標為．故切線方程為．【小問2詳解】因為，所以令，解得．當時，由，得，所以，則在定義域上是增函數(shù)．故至多有一個零點，不合題意，舍去．當時，隨變化和的變化情況如下表：0單調(diào)遞增單調(diào)遞減故在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當時，取得最大值．若時，，此時至多有一個零點；若時，，又，由零點存在性定理可得在區(qū)間和區(qū)間上各有一個零點，所以函數(shù)恰有兩個不同的零點，符合題意．綜上所述，的取值范圍是．21.已知集合(且），，且．若對任意（），當時，存在()，使得，則稱是的元完美子集．（1）判斷下列集合是否是的3元完美子集，并說明理由；①；②．（2）若是的3元完美子集，求的最小值；（3）若是（且）的元完美子集，求證：，并指出等號成立的條件．【21~23題答案】【答案】（1）不是的3元完美子集；是的3元完美子集；理由見解析（2）12（3）證明見解析；等號成立的條件是且【解析】【分析】（1）根據(jù)元完美子集的定義判斷可得結(jié)論；（2）不妨設．由，，分別由定義可求得的最小值；（3）不妨設，