內蒙古自治區(qū)呼和浩特市北堡中學2023年高三數學文期末試卷含解析

內蒙古自治區(qū)呼和浩特市北堡中學2023年高三數學文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖，在邊長為4的長方形ABCD中，動圓Q的半徑為1，圓心Q在線段BC（含端點）上運動，P是圓Q上及內部的動點，設向量=m+n（m，n為實數），則m+n的取值范圍是（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】向量在幾何中的應用．【分析】如圖所示，=（4，0），=（0，4）．可得=m+n=（4m，4n）．當圓心為點B時，AP與⊙B相切且點P在x軸的下方時，P（4﹣，﹣）．此時m+n取得最小值；當圓心為點C時，AP經過圓心時，P（，）．此時m+n取得最大值．【解答】解：如圖所示，邊長為4的長方形ABCD中，動圓Q的半徑為1，圓心Q在線段BC（含端點）上運動，P是圓Q上及內部的動點，向量=m+n（m，n為實數）；=（4，0），=（0，4）．可得=m+n=（4m，4n）．當動圓Q的圓心經過點C時，如圖：P（，）．此時m+n取得最大值：4m+4n=8+，可得m+n=2+．當動圓Q的圓心為點B時，AP與⊙B相切且點P在x軸的下方時，P（4﹣，﹣）．此時，4m+4n=4﹣，m+n取得最小值為：1﹣；∴則m+n的取值范圍為．故選：A．【點評】本題考查了向量的坐標運算、點與圓的位置關系，考查了分類討論思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．2.下列推斷錯誤的是()A.命題“若則”的逆否命題為“若則”B.命題p：存在，使得，則非p：任意x∈R，都有C.若p且q為假命題，則p，q均為假命題D.“”是“”的充分不必要條件參考答案：C3.以橢圓的兩個焦點為直徑的端點的圓與橢圓交于四個不同的點,順次連接這四個點和兩個焦點恰好組成一個正六邊形,那么這個橢圓的離心率為()A. B. C. D.參考答案：B【分析】設橢圓的兩個焦點為,,圓與橢圓交于,,,四個不同的點,設,則,．由橢圓的定義知,根據離心率公式求得答案．【詳解】解：設橢圓的兩個焦點為,,圓與橢圓交于,,,四個不同的點,設,則,．橢圓定義,得,所以,故選：B．

4.在等差數列則此數列前13項的和為（

）A．13

B．26

C．52

D．156參考答案：B略5.當時，函數取得最小值，則函數是A.奇函數且圖像關于點對稱B.偶函數且圖像關于點對稱C.奇函數且圖像關于直線對稱D.偶函數且圖像關于點對稱參考答案：C6.已知G是的重心，點P是內一點，若的取值范圍是A.

B.

C.

D.

參考答案：B7.下列函數中，以為周期且在區(qū)間(，)單調遞增的是A．f(x)=│cos2x│

B．f(x)=│sin2x│

C．f(x)=cos│x│

D．f(x)=sin│x│參考答案：A對于A,函數的周期T=,在區(qū)間單調遞增,符合題意；對于B,函數的周期T=,在區(qū)間單調遞減,不符合題意；對于C，函數，周期T=2π,不符合題意；對于D,函數的周期T=π,不符合題意.

8.設數列是等差數列，若，則（

）

A．28

B．21

C．14

D．35參考答案：A略9.已知實數x，y滿足，則z=2|x﹣2|+|y|的最小值是（）A．6 B．5 C．4 D．3參考答案：C【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優(yōu)解，聯立方程組求得最優(yōu)解的坐標，代入目標函數得答案．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，聯立，解得A（2，4），z=2|x﹣2|+|y|=﹣2x+y+4，化為y=2x+z﹣4．由圖可知，當直線y=2x+z﹣4過A時，直線在y軸上的截距最小，z有最大值為4．故選：C．【點評】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數形結合的解題思想方法，是中檔題．10.已知是球表面上的點，，，，，則球的表面積等于（

）A.4

B.3

C.2

D.

參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.一個幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的表面積為

；參考答案：12.設拋物線y2=4x的焦點為F，準線為l.則以F為圓心，且與l相切的圓的方程為__________．參考答案：(x-1)2+y2=4.【分析】由拋物線方程可得焦點坐標，即圓心，焦點到準線距離即半徑，進而求得結果.【詳解】拋物線y2=4x中，2P=4，P=2，焦點F（1,0），準線l的方程為x=-1，以F為圓心，且與l相切的圓的方程為(x-1)2+y2=22,即為(x-1)2+y2=4.

13.已知集合，．則

。參考答案：[1，3]14.拋物線的焦點與雙曲線的右焦點重合，則該雙曲線的虛軸長等于________．參考答案：15.某學校三個興趣小組的學生人數分布如下表（每名同學只參加一個小組）（單位：人）

籃球組書畫組樂器組高一4530高二151020學校要對這三個小組的活動效果進行抽樣調查，按小組分層抽樣的方法，從參加這三個興趣小組的學生中抽取30人，結果籃球組被抽出12人，則的值為

.參考答案：30由題意知，，解得。16.已知定義在上的函數，滿足，且對任意的都有，則

．參考答案：17.已知點P在拋物線y2=4x上，那么點P到點Q（2，-1）的距離與點P到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點P的坐標為

.

參考答案：（,-1）

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分14分）如圖所示，某學校的教學樓前有一塊矩形空地，其長為32米，寬為18米，現要在此空地上種植一塊矩形草坪，三邊留有人行道，人行道寬度為米與米均不小于2米，且要求“轉角處”（圖中矩形）的面積為8平方米(1)試用表示草坪的面積，并指出的取值范圍;(2)如何設計人行道的寬度、，才能使草坪的面積最大？并求出草坪的最大面積.

參考答案：19.已知函數其中當時，求曲線處的切線的斜率；

當時，求函數的單調區(qū)間與極值。

參考答案：略20.（12分）．在平面直角坐標系中，已知圓的圓心為，過點且斜率為的直線與圓相交于不同的兩點．（Ⅰ）求的取值范圍；（Ⅱ）以OA,OB為鄰邊作平行四邊形OADB,是否存在常數，使得直線OD與PQ平行？如果存在，求值；如果不存在，請說明理由．參考答案：21.已知橢圓的一個焦點為，其左頂點在圓上．（1）求橢圓的方程；（2）直線交橢圓于兩點，設點關于軸的對稱點為（點與點不重合），證明：直線過x軸上的一定點，并求出定點坐標．參考答案：（1）∵橢圓的左頂點在圓上，∴又∵橢圓的一個焦點為，∴∴∴橢圓的方程為

………………4分（2）設，則直線與橢圓方程聯立化簡并整理得，

∴