2023年九年級中考數(shù)學(xué)高頻考點突破-相似三角形【含答案】

2023年九年級中考數(shù)學(xué)高頻考點突破-相似三角形1．如圖，四邊形ABCD∽四邊形EFGH，連接相應(yīng)的對角線AC，EG．（1）求證△ABC∽△EFG；（2）若ACEG=12，直接寫出四邊形ABCD與四邊形EFGH的面積比為2．如圖，在RtΔABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，E為BC上一點，連接AE，作EF⊥AE交AB于（1）求證：ΔAGC～ΔEFB．（2）除（1）中相似三角形，圖中還有其他相似三角形嗎？如果有，請把它們都寫出來．(證明不做要求)3．如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，動點P以2mm/s的速度從A向B移動，（不與B重合），動點Q以4mm/s的速度從B向C移動，（不與C重合），若P、Q同時出發(fā)，試問：（1）經(jīng)過幾秒后，△PBQ與△ABC相似．（2）經(jīng)過幾秒后，四邊形APQC的面積最??？并求出最小值．4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點O為圓心，2為半徑畫圓，P是⊙O上一動點且在第一象限內(nèi)，過點P作⊙O的切線，與x、y軸分別交于點A、B．（1）求證：△OBP與△OPA相似；（2）當(dāng)點P為AB中點時，求出P點坐標(biāo)；（3）在⊙O上是否存在一點Q，使得以Q，O，A、P為頂點的四邊形是平行四邊形．若存在，試求出Q點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．5．（1）因式分解：4a3-16a；（2）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一點，且BE＝BD；求證：△ABE∽△ACD．6．如圖所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上．（1）填空：∠ABC=，BC=；（2）判斷△ABC與△DEF是否相似？并證明你的結(jié)論．7．如圖，點C是線段AB上一點，△ACD和△BCE都是等邊三角形，連結(jié)AE，BD，設(shè)AE交CD于點F．（1）求證：△ACE≌△DCB；（2）求證：△ADF∽△BAD．8．如圖所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上．（1）填空：∠ABC=，BC=；（2）判斷△ABC與△DEF是否相似？并證明你的結(jié)論．9．如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、CD上的點，AE=ED，DC=4DF，連接EF并延長交BC的延長線于點G．（1）求證：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的邊長為16，求BG的長．10．感知：（1）如圖①，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，點P在BC邊上，當(dāng)∠APD=90°時，可知△ABP∽△PCD．（不要求證明）（2）探究：如圖②，在四邊形ABCD中，點P在BC邊上，當(dāng)∠B=∠C=∠APD時，求證：△ABP∽△PCD．（3）拓展：如圖③，在△ABC中，點P是邊BC的中點，點D、E分別在邊AB、AC上．若∠B=∠C=∠DPE=45°，BC=42，CE=3，則DE的長為．11．如圖，已知拋物線y=﹣x2+3x與x軸的正半軸交于點A，點B在拋物線上，且橫坐標(biāo)為2，作BC⊥x軸于點C，⊙B經(jīng)過原點O，點E為⊙B上一動點，點F在AE上．（1）求點A的坐標(biāo)；（2）如圖1，連結(jié)OE，當(dāng)AF：FE=1：2時，求證：△ACF∽△AOE；（3）如圖2，當(dāng)點F是AE的中點時，求CF的最大值．12．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°．（1）請在圖中用尺規(guī)作圖的方法作出AC的垂直平分線交BC于點D，交AC于點E（不寫作法，保留作圖痕跡）．（2）在（1）的條件下，連接AD，求證：△ABC∽△EDA．13．如圖，已知AB是⊙O的直徑，AC為弦，且平分∠BAD，AD⊥CD，垂足為D．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若⊙O的直徑為4，AD=3，試求∠BAC的度數(shù)．14．在一次關(guān)于相似三角形的探究活動中，如圖所示：∠ACB=∠ADE，老師讓大家適當(dāng)?shù)奶砩陷o助線，看看還能得到哪些相似三角形，小穎連接CD、BE，且CD、BE相交于點F，于是她得到了ΔACD∽ΔABE.下面是她的證明過程的一部分，你能幫助她完成證明嗎？（1）證明：∵∠A=∠A，∠ACB=∠ADE∴ΔACB∽ΔADE∴ACAD又∵∴ΔACD∽ABE（2）你還能得到圖中哪些三角形是相似的？至少寫出兩對.15．如圖，在正方形ABCD中，點M是邊BC上的一點（不與B、C重合），點N在CD邊的延長線上，且滿足∠MAN＝90°，聯(lián)結(jié)MN、AC，N與邊AD交于點E．（1）求證；AM＝AN；（2）如果∠CAD＝2∠NAD，求證：AM2＝AC?AE．16．已知：如圖，⊙O和⊙A相交于C、D，圓心A在⊙O上，過A的直線與CD、⊙A、⊙O分別交于F、E、B。求證：（1）△AFC∽△ACB（2）A

答案解析部分1．【答案】（1）解：∵四邊形ABCD∽四邊形EFGH，∴BAFE∴△ABC∽△EFG（2）1【知識點】相似多邊形的性質(zhì)；相似三角形的判定【解析】【解答】解：（2）SABCDSEFGH=（ACEG）2=【分析】（1）由四邊形相似得出BAFE2．【答案】（1）證明：∵CD⊥AB，EF⊥AE∴∠FDG=∠FEG=90°，∴∠DGE+∠DFE=360°?90°?90°=180°又∵∠BFE+∠DFE=180°，∴∠BFE=∠DGE，又∵∠DGE=∠AGC∴∠AGC=∠BFE，又∵∠ACB=∠FEG=90°，∴∠AEC+∠BEF=180°?90°=90°，∠AEC+∠EAC=90°，∴∠EAC=∠BEF，∴△AGC∽△EFB（2）解：∵∠GAD=∠FAE，∠ADG=∠AEF=90°，∴△AGD∽△AFE；∴∠CAD=∠BAC，∴△ACD∽△ABC，同理得△BCD∽△BAC，∴△ACD∽△CBD，即△ACD∽△ABC∽△CBD，【知識點】相似三角形的判定【解析】【分析】（1）通過線段垂直和三角形內(nèi)角之和為180°求出∠BFE=∠DGE和∠EAC=∠BEF，從而證明△AGC∽△EFB．（2）通過兩內(nèi)角相等寫出所有相似三角形即可．3．【答案】（1）解：設(shè)x秒后△PBQ與△ABC相似，則AP＝2x，PB＝12﹣2x，BQ＝4x，∵∠PBQ＝∠ABC∴當(dāng)PBAB即12?2x12解得x＝3（s）；當(dāng)PBCB即12?2x24解得x＝65即經(jīng)過3秒或65（2）解：設(shè)P、Q同時出發(fā)后經(jīng)過的時間為ts，四邊形APQC的面積為Smm2，則有：S＝S△ABC﹣S△PBQ＝12×12×24﹣1＝4t2﹣24t+144＝4（t﹣3）2+108．∵4＞0∴當(dāng)t＝3s時，S取得最小值，最小值為108mm2【知識點】相似三角形的判定；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的性質(zhì)【解析】【分析】（1）設(shè)x秒后△PBQ與原三角形相似，則可用x表示出AP＝2x，PB＝12﹣2x，BQ＝4x，由于△PBQ和△ABC有公共角∠B，則根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，分兩種情況；（2）根據(jù)等量關(guān)系“四邊形APQC的面積＝△ABC的面積﹣△PBQ的面積”列出函數(shù)關(guān)系求最小值即可．4．【答案】（1）證明：如圖，∵AB是過點P的切線，∴AB⊥OP，∴∠OPB=∠OPA=90°；∴在Rt△OPB中，∠1+∠3=90°，又∵∠BOA=90°∴∠1+∠2=90°，∴∠2=∠3；在△OPB中△APO中，∴△OPB∽△APO（2）解：如圖，∵OP⊥AB，且PA=PB，∴OA=OB，∴△AOB是等腰三角形，∴OP是∠AOB的平分線，∴點P到x、y軸的距離相等；又∵點P在第一象限，∴設(shè)點P（x，x）（x＞0），∵圓的半徑為2，∴OP=2x2=2，解得x=2∴P點坐標(biāo)是（2，2）（3）解：存在；①如圖設(shè)OAPQ為平行四邊形，∴PQ∥OA，OQ∥PA；∵AB⊥OP，∴OQ⊥OP，PQ⊥OB，∴∠POQ=90°，∵OP=OQ，∴△POQ是等腰直角三角形，∴OB是∠POQ的平分線且是邊PQ上的中垂線，∴∠BOQ=∠BOP=45°，∴∠AOP=45°，設(shè)P（x，x）、Q（﹣x，x）（x＞0），∵OP=2代入得2x2=2，解得x=2，∴Q點坐標(biāo)是（﹣2②如圖示OPAQ為平行四邊形，同理可得Q點坐標(biāo)是（2，﹣2）．【知識點】圓的綜合題；相似三角形的判定【解析】【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠OPB=∠OPA=90°；然后根據(jù)同角的余角相等得出∠2=∠3；利用兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似得出結(jié)論△OPB∽△APO；

（2）根據(jù)中垂線定理得出OA=OB，進(jìn)而判斷出△AOB是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的三線合一得出OP是∠AOB的平分線，根據(jù)角平分線上的點到角兩邊的距離相等得出點P到x、y軸的距離相等；根據(jù)p點在第一象限，及該圓的半徑為2，利用勾股定理即可得出P點的坐標(biāo)；

（3）①如圖設(shè)OAPQ為平行四邊形，則PQ∥OA，OQ∥PA；根據(jù)平行線的性質(zhì)得出OQ⊥OP，PQ⊥OB，進(jìn)而得出∠POQ=90°，根據(jù)同圓的半徑相等得出△POQ是等腰直角三角形，根據(jù)等腰三角形的三線和一得出OB是∠POQ的平分線且是邊PQ上的中垂線，進(jìn)而得出∠AOP=45°，根據(jù)角平分線上的點的坐標(biāo)特點設(shè)P（x，x）、Q（﹣x，x）（x＞0），根據(jù)勾股定理求出x的值，從而得出Q點的坐標(biāo)，②如圖示OPAQ為平行四邊形，同理可得Q點坐標(biāo)。5．【答案】（1）解：原式=4a(a=4a(a+2)(a?2).（2）解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵BE=BD，∴∠BED=∠BDE，∴∠AEB=∠ADC，∴△ABE∽△ACD．【知識點】提公因式法與公式法的綜合運用；相似三角形的判定【解析】【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解即可；

（2）由角平分線的定義得出∠BAD=∠CAD，由等邊對等角得出∠BED=∠BDE，從而得出∠AEB=

∠ADC，利用兩角分別相等可證△ABE∽△ACD.6．【答案】（1）135°；22（2）解：△ABC∽△DEF．證明：∵在4×4的正方形方格中，∠ABC=135°，∠DEF=90°+45°=135°，∴∠ABC=∠DEF．∵AB=2，BC=22，F(xiàn)E=2，DE=2∴ABDE=22=2，BCFE=2∴△ABC∽△DEF．【知識點】勾股定理；相似三角形的判定【解析】【解答】⑴解：∠ABC=90°+45°=135°，BC=22+22=故答案為：135°；22．【分析】（1）根據(jù)題意，可以求出∠ABC=135°；△ABC頂點在邊長為1的小正方形的頂點上，利用勾股定理可求出線段BC的長；（2）兩個三角形的夾角相等，對應(yīng)邊成比例時候，三角形相似，這里即△ABC與△DEF相似．7．【答案】（1）證明：∵△ACD和△BCE都是等邊三角形，∴AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE=60°∴∠ACE=∠DCB=120°．∴△ACE≌△DCB（SAS）（2）證明：∵△ACE≌△DCB，∴∠CAE=∠CDB．∵∠ADC=∠CAD=∠ACD=∠CBE=60°，∴DC∥BE，∴∠CDB=∠DBE，∴∠CAE=∠DBE，∴∠DAF=∠DBA．∴△ADF∽△BAD【知識點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；相似三角形的判定【解析】【分析】（1）利用等邊三角形的性質(zhì)，可證得AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE，再證明∠ACE=∠DCB，然后利用SAS可證得結(jié)論。

（2）利用全等三角形的性質(zhì)，可證得∠CAE=∠CDB，再由∠ADC=∠CAD=∠ACD=∠CBE=60°，去證明∠DAF=∠DBA，然后利用兩組角對應(yīng)相等的兩三角形相似，可證得結(jié)論。8．【答案】（1）135°；22（2）解：△ABC∽△DEF．證明：∵在4×4的正方形方格中，∠ABC=135°，∠DEF=90°+45°=135°，∴∠ABC=∠DEF．∵AB=2，BC=22，F(xiàn)E=2，DE=2∴ABDE=22=2，BCFE=2∴△ABC∽△DEF【知識點】勾股定理；相似三角形的判定【解析】【解答】（1）解：∠ABC=90°+45°=135°，BC=22+22=故答案為：135°；22．【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合網(wǎng)格可以求出∠ABC的度數(shù)，根據(jù)，△ABC和△DEF的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上，利用勾股定理即可求出線段BC的長；（2）根據(jù)相似三角形的判定定理，夾角相等，對應(yīng)邊成比例即可證明△ABC與△DEF相似．9．【答案】（1）證明：∵ABCD為正方形，∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，∵AE=ED，∴AEAB=1∵DC=4DF，∴DFDE=1∴AEAB=DF∴△ABE∽△DEF（2）解：∵ABCD為正方形，∴ED∥BG，∴△DEF∽△CGF，∴EDCG=DF又∵DC=4DF，正方形的邊長為16，∴ED=8，CG=24，∴BG=BC+CG=40【知識點】正方形的性質(zhì)；相似三角形的性質(zhì)；相似三角形的判定【解析】【分析】（1）根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似進(jìn)行求證；（2）通過證明△DEF∽△CGF得出EDCG=DF10．【答案】（1）解：∵∠APD=90°，∴∠APB+∠DPC=90°，∵∠B=90°，∴∠APB+∠BAP=90°，∴∠BAP=∠DPC，∵AB∥CD，∠B=90°，∴∠C=∠B=90°，∴△ABP∽△DCP（2）解：∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠CPD，∴∠BAP+∠B=∠APD+∠CPD．∵∠B=∠APD，∴∠BAP=∠CPD．∵∠B=∠C，∴△ABP∽△PCD（3）5【知識點】相似三角形的性質(zhì)；相似三角形的判定【解析】【解答】（3）解：拓展：同探究的方法得出，△BDP∽△CPE，∴BDCP∵點P是邊BC的中點，∴BP=CP=22，∵CE=3，∴BD2∴BD=83∵∠B=∠C=45°，∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=90°，即AC⊥BC且AC=BC=4，∴AD=AB﹣BD=43在Rt△ADE中，DE=AD2+A故答案是：53【分析】感知：先判斷出，∠BAP=∠DPC，進(jìn)而得出結(jié)論；探究：通過相似三角形△ABP∽△PCD的對應(yīng)邊成比例來證得BP?PC=AB?CD；拓展：利用相似三角形△BDP∽△CPE得出比例式求出BD，三角形內(nèi)角和定理證得AC⊥BC且AC=BC；然后在直角△ABC中由勾股定理求得AC=BC=4；最后利用在直角△ADE中利用勾股定理來求DE的長度．11．【答案】（1）解：令y=0，則﹣x2+3x=0，解得x1=0，x2=3，則A（3，0）（2）解：如圖1，當(dāng)x=2時，y=﹣22+3×2=2，∴B（2，2）．∵BC⊥OA，∴OC=2，AC=OA﹣OC=1．∵AF：FE=1：2，∴AFAE=13=∵∠CAF=∠OAE，∴△ACF∽△AOE（3）解：取OC的中點D，連接DE，BD，BE，BO，如圖2，則有OD=DC=1，BD=22+12=5根據(jù)兩點之間線段最短可得：DE≤BD+BE=5+22．∵AC=DC=1，AF=EF，∴CF=12DE≤5∴CF的最大值為5+2【知識點】線段的性質(zhì)：兩點之間線段最短；勾股定理；圓的綜合題；相似三角形的判定；三角形的中位線定理【解析】【分析】（1）只需令y=0，就可求出點A的坐標(biāo)；（2）由于∠CAF=∠OAE，要證△ACF∽△AOE，只需證AFAE=ACAO，只需求出點B的坐標(biāo)就可解決問題；（3）由點F是AE的中點，聯(lián)想到三角形中位線定理，取OC的中點D，連接DE，BD，BE，BO，如圖2，則有CF=12．【答案】（1）解：如圖所示：（2）解：∵∠BAC=90°，∠C=30°又∵點D在AC的垂直平分線上，∴DA=DC，∴∠CAD=∠C=30°，∵∠DEA=∠BAC=90°，∴△ABC∽△EDA．【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；相似三角形的判定；作圖-線段垂直平分線【解析】【分析】（1）利用尺規(guī)作圖作出AC的垂直平分線交BC于點D，交AC于點E即可。

（2）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)證出DA=DC，可證得∠CAD=∠C，然后根據(jù)兩組角對應(yīng)相等的兩三角形相似，即可證得結(jié)論。13．【答案】（1）證明：連結(jié)OC.∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC.又OA=OC，∴∠BAC=∠OCA，∴∠OCA=∠DAC，∴OC∥AD.∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切線.（2）解：連結(jié)BC.∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠ADC=90°.又∠BAC=∠DAC，∴△ACB∽△ADC.∴，ACAD=ABAC，，在Rt△ACB中，cos∠BAC=ACAB=3【知識點】平行線的判定；切線的判定；相似三角形的判定；銳角三角函數(shù)的定義；特殊角的三角函數(shù)值；角平分線的定義【解析】【分析】（1）連接OC，證明∠OCD=90°，得出CD是圓O的切線；

（2）連接BC，證明△ACB∽△ADC，求出AC的長度，再求出∠BAC的余弦，得出∠BAC的度數(shù)。14．【答案】（1）ABAE；∠A=∠A，（2）解：△DFB∽△EFC，△BFC∽△DFE．理由：∵△ACD∽△ABE，∴∠BDF=∠FEC，∵∠DFB=∠EFC，∴△DFB∽△EFC，∴BFCF∴BFDF∵∠BFC=∠EFD，∴△BFC∽△DFE【知識點】相似三角形的判定【解析】【解答】解：證明：∵∠A