第十章概率 章末復(fù)習(xí) 學(xué)案 高一數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)

知識(shí)系統(tǒng)整合規(guī)律方法收藏1．隨機(jī)事件在現(xiàn)實(shí)世界中是廣泛存在的，要注意結(jié)合生活實(shí)例，分析何為必然事件、不可能事件和隨機(jī)事件，要充分理解概率的意義，并學(xué)會(huì)解釋生活中的一些常見(jiàn)的概率問(wèn)題，把自己所學(xué)的概率知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際生活中去．(1)對(duì)隨機(jī)事件的理解應(yīng)包括的兩個(gè)方面①隨機(jī)事件是指一定條件下出現(xiàn)的某種結(jié)果，即隨著條件的改變其結(jié)果也會(huì)不同，因此必須強(qiáng)調(diào)同一事件在相同的條件下進(jìn)行研究；②隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中是否發(fā)生是不確定的，但在大量重復(fù)試驗(yàn)中，隨機(jī)事件的發(fā)生是有規(guī)律的．(2)頻率與概率的聯(lián)系與區(qū)別隨機(jī)事件的頻率，是指事件發(fā)生的次數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)的比值．它具有一定的穩(wěn)定性，總在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，但隨著試驗(yàn)次數(shù)的不斷增加，擺動(dòng)幅度越來(lái)越小，這時(shí)就把這個(gè)常數(shù)叫做這個(gè)事件的概率．概率可看作頻率在理論上的期望值，它從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小．在大量重復(fù)試驗(yàn)的前提下，可以用頻率來(lái)估計(jì)這個(gè)事件的概率．(3)要辯證地看待“隨機(jī)事件”“不可能事件”“必然事件”．一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生，既有隨機(jī)性(對(duì)某次試驗(yàn)來(lái)說(shuō))，又存在著統(tǒng)計(jì)規(guī)律性(對(duì)大量重復(fù)試驗(yàn)來(lái)說(shuō))，這是偶然性與必然性的對(duì)立統(tǒng)一．(4)對(duì)概率的統(tǒng)計(jì)定義應(yīng)注意的幾點(diǎn)①求一個(gè)事件的概率的基本方法是通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn)進(jìn)行估計(jì)；②只有當(dāng)頻率在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)時(shí)，這個(gè)常數(shù)才叫做事件的概率；③概率是頻率的穩(wěn)定值，而頻率是概率的近似值；④概率反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小．(5)互斥事件與對(duì)立事件的區(qū)別與聯(lián)系互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件；對(duì)立事件除要求這兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生外，還要求二者必須有一個(gè)發(fā)生．因此對(duì)立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對(duì)立事件，對(duì)立事件是互斥事件的特殊情況．2．應(yīng)用互斥事件的概率的加法公式時(shí)，要注意首先確定諸事件彼此互斥，然后分別求出各事件發(fā)生的概率，再求和．求復(fù)雜事件的概率通常有兩種方法：一是將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的和；二是先求其對(duì)立事件的概率，然后再應(yīng)用公式P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))求解．3．對(duì)于古典概型概率的計(jì)算，關(guān)鍵是分清樣本點(diǎn)總數(shù)n與事件中包含的樣本點(diǎn)數(shù)k，有時(shí)需用列舉法把樣本點(diǎn)一一列舉出來(lái)，再利用公式P(A)＝eq\f(k,n)求出事件的概率．這是一個(gè)形象、直觀的好方法，但列舉時(shí)必須做到不重復(fù)、不遺漏．4．利用相互獨(dú)立事件的定義(即P(AB)＝P(A)P(B))可以判定兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立，這是用定量方法進(jìn)行分析的定量計(jì)算，可以較為準(zhǔn)確、果斷地判斷兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立．因此我們必須熟練掌握這種方法，但需要注意的是互斥事件與相互獨(dú)立事件之間有一定的關(guān)系，也就是若兩個(gè)事件相互獨(dú)立，則一定不能互斥(對(duì)立)；反之，若兩個(gè)事件互斥(對(duì)立)，則不能相互獨(dú)立．5．本章用到較多的是化歸思想，而化歸思想是數(shù)學(xué)中最基本的思想方法之一，在數(shù)學(xué)研究和學(xué)習(xí)中有著廣泛的應(yīng)用，化歸的核心是把一個(gè)生疏復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題．學(xué)科素養(yǎng)培優(yōu)一、互斥事件與對(duì)立事件互斥事件和對(duì)立事件都是反映事件的相互關(guān)系．互斥事件、對(duì)立事件的概率公式是基本公式，必須學(xué)會(huì)正確運(yùn)用．應(yīng)用互斥事件的概率加法公式解題時(shí)，一定要注意首先確定各個(gè)事件是否彼此互斥，然后求出各事件分別發(fā)生的概率，再求和．對(duì)于較復(fù)雜事件的概率，可以轉(zhuǎn)化為求對(duì)立事件的概率．高考對(duì)互斥事件和對(duì)立事件很少單獨(dú)考查，多是在具體解題過(guò)程中需要用到互斥事件或?qū)α⑹录闹R(shí)．[典例1]黃種人群中各種血型的人所占的比例如下：血型ABABO該血型的人所占比例(%)2829835已知同種血型的人可以互相輸血，O型血可以輸給任一種血型的人，其他不同血型的人不能互相輸血．小明是B型血，若小明因病需要輸血，問(wèn)：(1)任找一個(gè)人，其血可以輸給小明的概率是多少？(2)任找一個(gè)人，其血不能輸給小明的概率是多少？二、古典概型古典概型是一種最基本的概型，也是學(xué)習(xí)其他概率的基礎(chǔ)．在高考題中，經(jīng)常出現(xiàn)此種概型的題目．用古典概型計(jì)算概率時(shí)，一定要驗(yàn)證所構(gòu)造的基本事件是否是等可能的，同時(shí)要弄清事件A所包含的等可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)的個(gè)數(shù)．[典例2]在人流量較大的街道，有一中年人吆喝“送錢(qián)”，只見(jiàn)他手拿一黑色小布袋，袋中有3個(gè)黃色、3個(gè)白色的乒乓球(各球的體積、質(zhì)地完全相同)，旁邊立著一塊小黑板寫(xiě)著摸球方法：從袋中隨機(jī)摸出3個(gè)球，若摸得同一顏色的3個(gè)球，攤主送給摸球者5元錢(qián)；若摸得非同一顏色的3個(gè)球，摸球者付給攤主1元錢(qián)．(1)求摸出的3個(gè)球都為白球的概率；(2)求摸出的3個(gè)球?yàn)?個(gè)黃球，1個(gè)白球的概率；(3)假定一天中有100人參與摸球游戲，試從概率的角度估算一下這個(gè)攤主一個(gè)月(按30天計(jì))能賺多少錢(qián)．三、事件的相互獨(dú)立性判斷事件是否相互獨(dú)立的方法有：(1)定義法：事件A，B相互獨(dú)立?P(AB)＝P(A)·P(B)．(2)直接法：由事件本身的性質(zhì)直接判定兩個(gè)事件發(fā)生是否相互影響．[典例3]某項(xiàng)選拔共有四輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問(wèn)題，能正確回答者進(jìn)入下一輪考核，否則即被淘汰．已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪的問(wèn)題的概率分別為0.6,0.4,0.5,0.2.已知各輪問(wèn)題能否正確回答互不影響．(1)求該選手被淘汰的概率；(2)求該選手在選拔中至少回答了2個(gè)問(wèn)題后最終被淘汰的概率．四、頻率與概率依據(jù)概率的定義，可以用事件發(fā)生的頻率去估計(jì)概率．頻率的計(jì)算公式為fn(A)＝eq\f(nA,n)，其中nA是事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，n為重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)．[典例4]下表分別表示從甲、乙兩廠隨機(jī)抽取的某批乒乓球的質(zhì)量檢查情況．甲廠抽取的乒乓球的質(zhì)量檢查情況抽取球數(shù)n5010020050010002000優(yōu)等品數(shù)m45921944709541902優(yōu)等品頻率eq\f(m,n)乙廠抽取的乒乓球的質(zhì)量檢查情況抽取球數(shù)n7013031070015002000優(yōu)等品數(shù)m6011628263913391806優(yōu)等品頻率eq\f(m,n)(1)分別計(jì)算兩個(gè)表中乒乓球優(yōu)等品的頻率(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后第三位)；(2)從甲、乙兩廠分別抽取一個(gè)乒乓球，質(zhì)檢結(jié)果為優(yōu)等品的概率分別是多少？(3)若甲、乙兩廠的乒乓球價(jià)格相同，你打算從哪個(gè)廠家購(gòu)貨？知識(shí)系統(tǒng)整合規(guī)律方法收藏1．隨機(jī)事件在現(xiàn)實(shí)世界中是廣泛存在的，要注意結(jié)合生活實(shí)例，分析何為必然事件、不可能事件和隨機(jī)事件，要充分理解概率的意義，并學(xué)會(huì)解釋生活中的一些常見(jiàn)的概率問(wèn)題，把自己所學(xué)的概率知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際生活中去．(1)對(duì)隨機(jī)事件的理解應(yīng)包括的兩個(gè)方面①隨機(jī)事件是指一定條件下出現(xiàn)的某種結(jié)果，即隨著條件的改變其結(jié)果也會(huì)不同，因此必須強(qiáng)調(diào)同一事件在相同的條件下進(jìn)行研究；②隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中是否發(fā)生是不確定的，但在大量重復(fù)試驗(yàn)中，隨機(jī)事件的發(fā)生是有規(guī)律的．(2)頻率與概率的聯(lián)系與區(qū)別隨機(jī)事件的頻率，是指事件發(fā)生的次數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)的比值．它具有一定的穩(wěn)定性，總在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，但隨著試驗(yàn)次數(shù)的不斷增加，擺動(dòng)幅度越來(lái)越小，這時(shí)就把這個(gè)常數(shù)叫做這個(gè)事件的概率．概率可看作頻率在理論上的期望值，它從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小．在大量重復(fù)試驗(yàn)的前提下，可以用頻率來(lái)估計(jì)這個(gè)事件的概率．(3)要辯證地看待“隨機(jī)事件”“不可能事件”“必然事件”．一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生，既有隨機(jī)性(對(duì)某次試驗(yàn)來(lái)說(shuō))，又存在著統(tǒng)計(jì)規(guī)律性(對(duì)大量重復(fù)試驗(yàn)來(lái)說(shuō))，這是偶然性與必然性的對(duì)立統(tǒng)一．(4)對(duì)概率的統(tǒng)計(jì)定義應(yīng)注意的幾點(diǎn)①求一個(gè)事件的概率的基本方法是通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn)進(jìn)行估計(jì)；②只有當(dāng)頻率在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)時(shí)，這個(gè)常數(shù)才叫做事件的概率；③概率是頻率的穩(wěn)定值，而頻率是概率的近似值；④概率反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大?。?5)互斥事件與對(duì)立事件的區(qū)別與聯(lián)系互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件；對(duì)立事件除要求這兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生外，還要求二者必須有一個(gè)發(fā)生．因此對(duì)立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對(duì)立事件，對(duì)立事件是互斥事件的特殊情況．2．應(yīng)用互斥事件的概率的加法公式時(shí)，要注意首先確定諸事件彼此互斥，然后分別求出各事件發(fā)生的概率，再求和．求復(fù)雜事件的概率通常有兩種方法：一是將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的和；二是先求其對(duì)立事件的概率，然后再應(yīng)用公式P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))求解．3．對(duì)于古典概型概率的計(jì)算，關(guān)鍵是分清樣本點(diǎn)總數(shù)n與事件中包含的樣本點(diǎn)數(shù)k，有時(shí)需用列舉法把樣本點(diǎn)一一列舉出來(lái)，再利用公式P(A)＝eq\f(k,n)求出事件的概率．這是一個(gè)形象、直觀的好方法，但列舉時(shí)必須做到不重復(fù)、不遺漏．4．利用相互獨(dú)立事件的定義(即P(AB)＝P(A)P(B))可以判定兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立，這是用定量方法進(jìn)行分析的定量計(jì)算，可以較為準(zhǔn)確、果斷地判斷兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立．因此我們必須熟練掌握這種方法，但需要注意的是互斥事件與相互獨(dú)立事件之間有一定的關(guān)系，也就是若兩個(gè)事件相互獨(dú)立，則一定不能互斥(對(duì)立)；反之，若兩個(gè)事件互斥(對(duì)立)，則不能相互獨(dú)立．5．本章用到較多的是化歸思想，而化歸思想是數(shù)學(xué)中最基本的思想方法之一，在數(shù)學(xué)研究和學(xué)習(xí)中有著廣泛的應(yīng)用，化歸的核心是把一個(gè)生疏復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題．學(xué)科素養(yǎng)培優(yōu)一、互斥事件與對(duì)立事件互斥事件和對(duì)立事件都是反映事件的相互關(guān)系．互斥事件、對(duì)立事件的概率公式是基本公式，必須學(xué)會(huì)正確運(yùn)用．應(yīng)用互斥事件的概率加法公式解題時(shí)，一定要注意首先確定各個(gè)事件是否彼此互斥，然后求出各事件分別發(fā)生的概率，再求和．對(duì)于較復(fù)雜事件的概率，可以轉(zhuǎn)化為求對(duì)立事件的概率．高考對(duì)互斥事件和對(duì)立事件很少單獨(dú)考查，多是在具體解題過(guò)程中需要用到互斥事件或?qū)α⑹录闹R(shí)．[典例1]黃種人群中各種血型的人所占的比例如下：血型ABABO該血型的人所占比例(%)2829835已知同種血型的人可以互相輸血，O型血可以輸給任一種血型的人，其他不同血型的人不能互相輸血．小明是B型血，若小明因病需要輸血，問(wèn)：(1)任找一個(gè)人，其血可以輸給小明的概率是多少？(2)任找一個(gè)人，其血不能輸給小明的概率是多少？解(1)記“血型為A型、B型、AB型、O型”分別為事件A′，B′，C′，D′.由已知，得P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.因?yàn)锽型、O型血可以輸給B型血的人，所以“可以輸給B型血的人”為事件B′∪D′.根據(jù)互斥事件的概率加法公式，有P(B′∪D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.故任找一個(gè)人，其血可以輸給小明的概率是0.64.(2)解法一：由于A型、AB型血不能輸給B型血的人，故“不能輸給B型血的人”為事件A′∪C′.根據(jù)互斥事件的概率加法公式，有P(A′∪C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.故任找一個(gè)人，其血不能輸給小明的概率是0.36.解法二：由(1)，知不能輸血給B型血的人的概率為1－P(B′∪D′)＝1－0.64＝0.36.故任找一個(gè)人，其血不能輸給小明的概率是0.36.二、古典概型古典概型是一種最基本的概型，也是學(xué)習(xí)其他概率的基礎(chǔ)．在高考題中，經(jīng)常出現(xiàn)此種概型的題目．用古典概型計(jì)算概率時(shí)，一定要驗(yàn)證所構(gòu)造的基本事件是否是等可能的，同時(shí)要弄清事件A所包含的等可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)的個(gè)數(shù)．[典例2]在人流量較大的街道，有一中年人吆喝“送錢(qián)”，只見(jiàn)他手拿一黑色小布袋，袋中有3個(gè)黃色、3個(gè)白色的乒乓球(各球的體積、質(zhì)地完全相同)，旁邊立著一塊小黑板寫(xiě)著摸球方法：從袋中隨機(jī)摸出3個(gè)球，若摸得同一顏色的3個(gè)球，攤主送給摸球者5元錢(qián)；若摸得非同一顏色的3個(gè)球，摸球者付給攤主1元錢(qián)．(1)求摸出的3個(gè)球都為白球的概率；(2)求摸出的3個(gè)球?yàn)?個(gè)黃球，1個(gè)白球的概率；(3)假定一天中有100人參與摸球游戲，試從概率的角度估算一下這個(gè)攤主一個(gè)月(按30天計(jì))能賺多少錢(qián)．解把3個(gè)黃色乒乓球分別標(biāo)記為A，B，C,3個(gè)白色乒乓球分別標(biāo)記為1,2,3.從6個(gè)球中隨機(jī)摸出3個(gè)球的樣本空間Ω＝{ABC，AB1，AB2，AB3，AC1，AC2，AC3，BC1，BC2，BC3，A12，A13，A23，B12，B13，B23，C12，C13，C23,123}，共20個(gè)樣本點(diǎn)，這20個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性是相等的．(1)設(shè)事件E＝{摸出的3個(gè)球都為白球}，則事件E包含的樣本點(diǎn)有1個(gè)，即摸出123，則P(E)＝eq\f(1,20)＝0.05.(2)設(shè)事件F＝{摸出的3個(gè)球?yàn)?個(gè)黃球，1個(gè)白球}，則事件F包含的樣本點(diǎn)有9個(gè)，P(F)＝eq\f(9,20)＝0.45.(3)設(shè)事件G＝{摸出的3個(gè)球?yàn)橥活伾珆＝{摸出的3個(gè)球都為白球或摸出的3個(gè)球都為黃球}，則事件G包含的樣本點(diǎn)有2個(gè)，故P(G)＝eq\f(2,20)＝0.1.假定一天中有100人參與摸球游戲，由摸出的3個(gè)球?yàn)橥活伾母怕士晒烙?jì)事件“攤主送給摸球者5元錢(qián)”發(fā)生10次，事件“摸球者付給攤主1元錢(qián)”發(fā)生90次，故可估計(jì)該攤主一天可賺90×1－10×5＝40(元)，每月可賺1200元．三、事件的相互獨(dú)立性判斷事件是否相互獨(dú)立的方法有：(1)定義法：事件A，B相互獨(dú)立?P(AB)＝P(A)·P(B)．(2)直接法：由事件本身的性質(zhì)直接判定兩個(gè)事件發(fā)生是否相互影響．[典例3]某項(xiàng)選拔共有四輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問(wèn)題，能正確回答者進(jìn)入下一輪考核，否則即被淘汰．已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪的問(wèn)題的概率分別為0.6,0.4,0.5,0.2.已知各輪問(wèn)題能否正確回答互不影響．(1)求該選手被淘汰的概率；(2)求該選手在選拔中至少回答了2個(gè)問(wèn)題后最終被淘汰的概率．解設(shè)“該選手能正確回答第i輪的問(wèn)題”為事件Ai(i＝1,2,3,4)，則P(A1)＝0.6，P(A2)＝0.4，P(A3)＝0.5，P(A4)＝0.2.(1)解法一：該選手被淘汰的概率為P＝P(eq\o(A,\s\up6(－))1∪A1eq\o(A,\s\up6(－))2∪A1A2eq\o(A,\s\up6(－))3∪A1A2A3eq\o(A,\s\up6(－))4)＝P(eq\o(A,\s\up6(－))1)＋P(A1)P(eq\o(A,\s\up6(－))2)＋P(A1)P(A2)P(eq\o(A,\s\up6(－))3)＋P(A1)P(A2)·P(A3)P(eq\o(A,\s\up6(－))4)＝0.4＋0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.976.解法二：P＝1－P(A1A2A3A4)＝1－P(A1)P(A2)·P(A3)P(A4)＝1－0.6×0.4×0.5×0.2＝1－0.024＝0.976.(2)解法一：所求概率P＝P(A1eq\o(A,\s\up6(－))2∪A1A2eq\o(A,\s\up6(－))3∪A1A2A3eq\o(A,\s\up6(－))4)＝P(A1)P(eq\o(A,\s\up6(－))2)＋P(A1)P(A2)P(eq\o(A,\s\up6(－))3)＋P(A1)P(A2)P(A3)P(eq\o(A,\s\up6(－))4)＝0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.576.解法二：所求概率P＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－))1)－P(A1A2A3A4)＝1－(1－0.6)－0