《對稱問題》設(shè)計(jì)及反思俞雪峰

《對稱問題》教學(xué)設(shè)計(jì)及反思組別：數(shù)學(xué)姓名：俞雪峰時(shí)間：2022年3月18日一、教材分析一、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱如果點(diǎn)與關(guān)于點(diǎn)M（a，b）對稱，則M是線段的中點(diǎn)，P((依據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式)特別的P()二、點(diǎn)關(guān)于直線對稱求一點(diǎn)P0(x0,y0)關(guān)于一條直線Ax+By+C=0的對稱點(diǎn)P的坐標(biāo)的問題。(1)直線Ax+By+C=0為特殊直線y=x、y=-x、x軸、y軸、x=a、y=b時(shí),對稱點(diǎn)的坐標(biāo)分別為P1(y0,x0)、P2(-y0,-x0)、P3(x0,-y0)、P4(-x0,y0)、P5(2a-x0,y0)、P6(x0,2b-y0)。(2)直線Ax+By+C=0為一般直線時(shí)，可設(shè)P1的坐標(biāo)為(x1，y1)，則PP1的中點(diǎn)滿足直線方程Ax+By+C=0,并且PP1的斜率與直線Ax+By+C=0的斜率之積為-1,可以得到關(guān)于x1、y1的一個(gè)二元一次方程組，從而可以解出x1、y1。(3)公式法.設(shè)P1的坐標(biāo)為(x1，y1)，由公式求出x1、y1的值。三、直線和直線關(guān)于點(diǎn)對稱求直線A1x+B1y+C1=0關(guān)于點(diǎn)P(x0,y0)對稱的直線方程。根據(jù)對稱性，只需將直線方程A1x+B1y+C1=0中的x換為2x0-x、y換為2y0-y，即可求出要求直線的方程。四、直線關(guān)于直線對稱求一直線A1x+B1y+C1=0關(guān)于直線A0x+B0y+C0=0對稱的直線方程。(1)直線A0x+B0y+C0=0為特殊的直線x軸、y軸、y=x、y=-x時(shí)，直線A1x+B1y+C1=0關(guān)于直線A0x+B0y+C0=0對稱的直線方程分別為A1x-B1y+C1=0、-A1x+B1y+C1=0、A1y+B1x+C1=0、-A1y-B1x+C1=0。(2)直線A0x+B0y+C0=0為一般直線時(shí):1>直線A0x+B0y+C0=0與直線A1x+B1y+C1=0平行時(shí)，則只需用兩平行直線距離公式即可求出要求直線。2>若直線A0x+B0y+C0=0與直線A1x+B1y+C1=0相交于一A點(diǎn)時(shí),利用到角公式就可以求得直線A1x+B1y+C1=0關(guān)于直線A0x+B0y+C0=0對稱的直線的斜率k,再利用直線的點(diǎn)斜式方程即可求出要求直線的方程。關(guān)于這四類對稱的應(yīng)用常見的有這樣幾種類型：二、學(xué)生分析中心對稱：關(guān)于點(diǎn)的對稱問題：<1>點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱：如果點(diǎn)與關(guān)于點(diǎn)M對稱，則M是線段的__點(diǎn)，P((依據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式)特別的P()<2>曲線關(guān)于點(diǎn)的對稱：：）=0解題步驟：設(shè)P是曲線上的任意一點(diǎn)P關(guān)于M（a，b）的對稱點(diǎn)為(因?yàn)樵谇€上，所以(=0[即的坐標(biāo)是方程（x，y）=0的解]解題方法：代入法求軌跡特別地：曲線C：（x，y）=0曲線：）=0軸對稱問題：關(guān)于直線的對稱問題<1>點(diǎn)P關(guān)于直線的對稱點(diǎn)：過點(diǎn)P做的垂線，垂足為N，延長PN到，使|PN|=|N|，則N是線段P的中點(diǎn)，P,N在直線上。設(shè)P關(guān)于直線：的對稱點(diǎn)為()，則有解得：<2>曲線關(guān)于直線的對稱C：（x，y）=0關(guān)于直線：的對稱曲線的方程解題步驟：設(shè)P是曲線上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)。因?yàn)樵谇€C上，則的坐標(biāo)方程是（x，y）=0的解，將的坐標(biāo)代入曲線C的方程，化簡即得的方程。特別地：代換法<1>點(diǎn)曲線C：(x，y)=0：(x，-y)=0<2>點(diǎn)曲線C：(x，y)=0：(-x，y)=0<3>點(diǎn)曲線C：(x，y)=0：(y，x)=0<4>點(diǎn)曲線C：(x，y)=0:(y+m，x-m)=0(由直線可得曲線C：(x，y)=0:(-y-m，-x-m)=0(由直線可得當(dāng)且僅當(dāng)對稱軸的系數(shù)滿足|A|=|B|=1是可用代換法四、教學(xué)環(huán)境□簡易多媒體教學(xué)環(huán)境√交互式多媒體教學(xué)環(huán)境□網(wǎng)絡(luò)多媒體環(huán)境教學(xué)環(huán)境□移動(dòng)學(xué)習(xí)□其他五、信息技術(shù)應(yīng)用思路（突出三個(gè)方面：使用哪些技術(shù)？在哪些教學(xué)環(huán)節(jié)如何使用這些技術(shù)？使用這些技術(shù)的預(yù)期效果是？）1、借助平臺改變教、學(xué)模式：利用在“福建省教育資源公共服務(wù)平臺”創(chuàng)設(shè)的教師空間（已獲“福建省中小學(xué)教師網(wǎng)絡(luò)空間”省級優(yōu)秀空間）和“家校幫”，引導(dǎo)學(xué)生自習(xí)幾何畫板相關(guān)技能，奠定本節(jié)課技術(shù)基礎(chǔ)，讓學(xué)生被動(dòng)的學(xué)變?yōu)橹鲃?dòng)學(xué)，讓移動(dòng)教學(xué)助力成長.利用“福建省教育資源公共服務(wù)平臺”提供的“家校幫”和“教學(xué)助手”等軟件，在“課堂小測”環(huán)節(jié)針對學(xué)生問題，現(xiàn)場組卷，當(dāng)場測評，實(shí)時(shí)反饋，因材施教;學(xué)生課后也可以使用賬號登錄繼續(xù)學(xué)習(xí)，擴(kuò)展課堂時(shí)間和空間.2、借助智慧教室促進(jìn)深度學(xué)習(xí)：在”例題講解”環(huán)節(jié)，利用智慧教室的保存答案功能，對一個(gè)問題進(jìn)行多次回答或?qū)σ粋€(gè)問題進(jìn)行變式教學(xué)，讓學(xué)生思考的深度和廣度得到提高;利用智慧教室的搶答、必答功能和實(shí)時(shí)反饋系統(tǒng)，提高學(xué)生參與意識，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí).3、借助PPT中宏和ActiveX控件推進(jìn)教學(xué)精、準(zhǔn)度：在“學(xué)生課堂練習(xí)”環(huán)節(jié)，設(shè)計(jì)了“學(xué)生用PPT”，利用“宏”，學(xué)生運(yùn)行課件，輸入答案，計(jì)算機(jī)實(shí)時(shí)反饋，對于錯(cuò)題可以點(diǎn)擊“分析”查看解題思路，實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)、有針對性、個(gè)性化自主學(xué)習(xí).六、教學(xué)流程設(shè)計(jì)（可加行）教學(xué)環(huán)節(jié)（如：導(dǎo)入、講授、復(fù)習(xí)、訓(xùn)練、實(shí)驗(yàn)、研討、探究、評價(jià)、建構(gòu)）教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)信息技術(shù)支持（資源、方法、手段等）導(dǎo)入激發(fā)興趣（0’5”-1’50”）一、角平分線問題已知的一頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x0,y0),∠B、∠C的內(nèi)角平分線分別為直線A1x+B1y+C1=0與A2x+B2y+C2=0,求邊BC所在的直線方程。根據(jù)角平分線的性質(zhì)，點(diǎn)Ａ分別關(guān)于∠B、∠C的內(nèi)角平分線分別為直線A1x+B1y+C1=0與A2x+B2y+C2=0的對稱點(diǎn)P、D均在直線BC上,所以只要分別計(jì)算出P、D的坐標(biāo),再由兩點(diǎn)式方程即可得BC所在直線方程。例1：已知△ABC的頂點(diǎn)A（-1，-4），內(nèi)角B、C的平分線所在直線分別為l1：y+1=0，l2：x+y+1=0，求BC邊所在的直線方程。解：A關(guān)于l1：y+1=0對稱點(diǎn)A1（-1，2），A（-1，-4）關(guān)于l2：x+y+1=0的對稱點(diǎn)A2（3，0）。l1和l2分別是內(nèi)角B、C的平分線，∴A1，A2在BC上，1、問題，嘗試尋找解決問題的方法.2、感受函數(shù)圖象的直觀性與函數(shù)圖象的美.1、利用白板展示功能，展示故事，提高學(xué)生興趣.2、利用幾何畫板的參數(shù)與動(dòng)畫功能畫出動(dòng)態(tài)的正弦函數(shù)圖象，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.新課講授(1’51”-13’0”)二、入射光線和反射光線問題關(guān)于過點(diǎn)A(x0,y0),入射光線遇直線A1x+B1y+C1=0的反射光線經(jīng)過點(diǎn)B(x1,y1),求反射線所在直線方程的有關(guān)問題。根據(jù)光學(xué)性質(zhì)，點(diǎn)A關(guān)于直線A1x+B1y+C1=0的對稱點(diǎn)C在反射光線所在的直線上.因此,只要求出A點(diǎn)關(guān)于直線A1x+B1y+C1=0的對稱點(diǎn)C的坐標(biāo)。這樣,就知道了反射光線BD上兩點(diǎn)的坐標(biāo),由兩點(diǎn)式就得到反射線所在直線方程。例2：光線從點(diǎn)M(－2，3）射到x軸上一點(diǎn)P(1，0)后被x軸反射，求反射光線所在的直線的方程.解：設(shè)M′是M（－2，3）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，則M′的坐標(biāo)為（－2，-3）.又反射線所在直線就是過點(diǎn)M′、P的直線，所以反射線所在的直線方程為，即：x－y－1＝0利用幾何畫板的畫圖和顯示隱藏功能，有序展開教學(xué);利用幾何畫板的取點(diǎn)，度量坐標(biāo)等功能，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，直觀形象.例題講解培養(yǎng)能力(13’01”-31’31”)三、線段之和最小問題例3求y=+的最小值原式可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)(x,x)到A（-3，3），B（1，5）兩點(diǎn)的距離之和.∴此題即為直線y=x上求一點(diǎn)P，使P與兩點(diǎn)A（-3，3），B（1，5）的距離之和最小，B（1，5）關(guān)于y=x的對稱點(diǎn)B1（5，1），連AB1交直線y=x于點(diǎn)P，設(shè)P1為y=x上不同于p的點(diǎn)，則∣P1A∣+∣P1B∣=∣P1A∣+∣P1B1∣＞∣AB1∣=∣PA∣+∣PBP為所求，最小值為∣AB1∣==2利用幾何畫板畫圖，通過思考、討論完成例題講解.1、利用智慧教室的保存答案功能，引發(fā)學(xué)生對同一問題的再思考，加深學(xué)生對所學(xué)知識的掌握;利用智慧教室的按鍵器開展搶答，提高學(xué)生參與熱情;利用智慧教室開展必答，幫助教師充分了解每個(gè)學(xué)生的掌握情況.2、利用智慧教室的實(shí)時(shí)反饋系統(tǒng)，結(jié)合圖表和展示學(xué)生答案，教師能掌握教學(xué)效果;利用分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)實(shí)時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生，激發(fā)內(nèi)因，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí).3、幾何畫板幫助展開變式教學(xué).4、利用白板的書寫功能，針對課堂出現(xiàn)的新問題，及時(shí)調(diào)整上課節(jié)奏，結(jié)合智慧教室引發(fā)學(xué)生對所學(xué)知識的思考與再應(yīng)用.課堂練習(xí)精準(zhǔn)教學(xué)(31’32”-40’0”)1、巡視班級，針對學(xué)生出現(xiàn)的問題實(shí)時(shí)輔導(dǎo).2、學(xué)生結(jié)束課堂練習(xí)后，針對出現(xiàn)較多的問題進(jìn)行講解.學(xué)生利用學(xué)生電腦獨(dú)立完成下列課堂練習(xí)（用幾何畫板畫圖）1、利用每人一臺的學(xué)生電腦，學(xué)生獨(dú)立自主完成課堂練習(xí)，實(shí)現(xiàn)個(gè)性化學(xué)習(xí).2、利用PPT的“宏”功能：輸入正確答案提示“回答正確，你真棒！”回答錯(cuò)誤提示“真遺憾，答錯(cuò)了，請重新輸入！”，實(shí)時(shí)反饋，學(xué)生根據(jù)自己情況作答，實(shí)現(xiàn)自主學(xué)習(xí).3、教師將“學(xué)生課堂練習(xí)”發(fā)布到班級群，讓學(xué)生在課后也能使用，使課堂得到延伸，使教師精心準(zhǔn)備的學(xué)習(xí)資料得到充分利用.小測反饋云端補(bǔ)救(40’02”-43”0”)指導(dǎo)學(xué)生打開“福建省教育資源公共服務(wù)平臺”，推送在線試題，針對學(xué)生試題進(jìn)行分析指導(dǎo).打開“福建省教育資源公共服務(wù)平臺”，完成在線試題.1、教師針對本節(jié)課出現(xiàn)的問題，現(xiàn)場組卷，現(xiàn)場小測，現(xiàn)場反饋，做到有針對性，實(shí)時(shí)性，提高課堂效率.2、學(xué)生若在課堂上無法完成小測，可以下課后在合適的時(shí)間再進(jìn)行答題，將課堂的時(shí)間、空間延伸到下課后，做到何時(shí)何地都可以學(xué)習(xí)，讓“互聯(lián)網(wǎng)+”學(xué)習(xí)真實(shí)地發(fā)揮作用.3、學(xué)生根據(jù)小測的分析解答可以做到隨時(shí)隨地想學(xué)就學(xué)，網(wǎng)絡(luò)多媒體環(huán)境教學(xué)環(huán)境改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式.總結(jié)反思意義建構(gòu)(43’-45‘)1、小結(jié)知識點(diǎn).2、解答課前“國王尋找財(cái)政大臣”的問題.1、總結(jié)課堂所學(xué)內(nèi)容.2、解答課前“國王尋找財(cái)政大臣”的問題.課后作業(yè)補(bǔ)救學(xué)習(xí)1、利用“福建省教育資源公共服務(wù)平臺”發(fā)布作業(yè).2、指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)小測成績選擇合適難度的作業(yè).課后登錄“福建省教育資源公共服務(wù)平臺”查看并完成作業(yè).1、教師利用網(wǎng)絡(luò)平臺及時(shí)布置作業(yè)，不再受限于教室，隨時(shí)隨地教與學(xué).2、學(xué)生根據(jù)小測成績選擇作業(yè)難度，真正做到因材施教.七、教學(xué)反思（如為個(gè)性化教學(xué)所做的調(diào)整，為自主學(xué)習(xí)所做的支持、對學(xué)生能力的培養(yǎng)的設(shè)計(jì)，教與學(xué)方式的創(chuàng)新等）制作了教師用幾何畫板、學(xué)生用課堂練習(xí)PPT，借助智慧教室和“福建省教育資源公共服務(wù)平臺”，創(chuàng)新教學(xué)模式，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，推進(jìn)教學(xué)精準(zhǔn)度，讓教材服務(wù)教學(xué).1、對教學(xué)所做的調(diào)整：在計(jì)算機(jī)和幾何畫板的幫助下，改變傳統(tǒng)課堂所學(xué)內(nèi)容，為學(xué)生